幾乎周期點稠密系統(tǒng)的研究

付 瑤，李 楠，范欽杰

（1.吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平 136000；2.吉林師范大學 博達學院，吉林 四平 136000）

0 引 言

1972年洛倫茲發(fā)表了《蝴蝶效應》的文章后，激發(fā)啟了人們對混沌學研究的濃厚興趣?；煦绮粌H是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，而且是非線性動力系統(tǒng)所固有的特性。同時，混沌學也不是獨立存在的一門學科，它與其它各門科學之間相互依靠、相互促進。而且混沌是無處不在的，在實踐生產(chǎn)中應用是非常廣泛的。隨著混沌理論研究的逐漸深入，拓撲熵大于零已經(jīng)被廣大學者作為刻畫系統(tǒng)復雜程度的一個重要指標。它是迄今為止唯一的拓撲共軛數(shù)值不變量。并且在研究問題過程中也存在一定的局限性，所以僅僅用拓撲熵來刻畫系統(tǒng)的復雜程度是不夠的。于是廣大學者開始把目光轉(zhuǎn)移到了系統(tǒng)的中心測度上。

已有的成果表明：一個緊致系統(tǒng)全部重要的動力性態(tài)完全集中在它的測度中心上［1］，所以研究極小系統(tǒng)的性態(tài)就能夠滿足需要。從而在極小系統(tǒng)基礎(chǔ)上，構(gòu)建了幾乎周期點稠密系統(tǒng)。這對更深入研究緊致動力系統(tǒng)的本質(zhì)有重要地啟示作用，也揭示了幾乎周期點稠密集與Li－Yorke混沌的關(guān)系.

前期的研究成果已經(jīng)對幾乎周期點稠密系統(tǒng)的混沌性有了一個初步認識，經(jīng)過對問題深入的探討，筆者對這個系統(tǒng)的動力性態(tài)進行了進一步的研究。

1 基本概念

設X為緊致度量空間，f：X→X為從X到自身的連續(xù)映射。

定義1［2］稱y∈X為x的ω極限點，如果存在正整數(shù)的子序列｛ni｝，使ni→∞。x的所有ω極限點的集合叫作x的ω極限集，記作ω（x，f）。

定義2［3］稱x是幾乎周期點的，如果對任意ε＞0，存在整數(shù)N＞0，使得對任何q≥0，存在整數(shù)r，q＜r≤q＋N滿足d（fr（x），x）＜ε。f的全體幾乎周期點的集合記作A（f）。

定義3［4］稱M?X為（相對于f）極小集，如果M是f的非空不變閉集且M中不存在f的非空不變的真子集。如果X本身是極小的，則稱f為極小映射。

定義4［5］稱f為（拓撲）傳遞的，如果對X的任何非空開集U，V，存在n＞0，使得fn（U）∩V≠?。稱軌道在X中稠密的點為f的傳遞點。

定義5［6］設f是度量空間（X，d）到自身的連續(xù)映射，x，y∈X。如果滿足：

則稱x，y為f的Li－yorke對；如果一個不少于兩點的子集中任何不同兩點均是f的Li－yorke對，則稱該集合為f的Li－yorke混沌集，或簡單地L－Y混沌集；如果f有一個由不可數(shù)多點構(gòu)成的L－Y混沌集，則稱它為Li－yorke混沌。

2 主要結(jié)論及證明

引理1［7］緊致系統(tǒng)（X，f）總存在極小集。

引理2［10］設M是X的非空閉子集且f（M）?M，則M極小當且僅當?x∈M＝M。

引理3 設x∈A（f），則x∈A（f）當且僅當x∈ω（x，f）且x∈ω（x，f）是極小的。

證明見文獻［8－9］。

引理4［10］下述條件等價：

1）f是極小的；

2）若ω（x，f）?X閉的，且對f不變，則ω（x，f）＝X或ω（x，f）＝?。

證明 1）?2），設ω（x，f）?X閉，且對f不變。又設因此

2）?1），設x∈X。顯然是X對f不變的非空閉子集是極小的。

引理5［10］若X緊致，則f傳遞當且僅當存在x∈X使得ω（x，f）＝X。

證明 令x∈X使得ω（x，f）＝X，同時，令U，V為X中的任意非空開子集。于是存在n＞m＞0，使得即有f是拓撲傳遞的。

另一方面令f是拓撲傳遞的。對任意的n＞0，存在半徑為的有限多個開球覆蓋X。當n取任意正整數(shù)時，所得這些開球覆蓋可寫成序列：U1，U2，…。對任意的正整數(shù)k，這個集合均是X的稠密開子集。因此知X是完備的，則根據(jù)Bairc綱定理［11］，存在。因為x的軌道穿過每個Uk，于是orb（x，f）在X中是稠密的。此時f拓撲傳遞蘊涵著f（X）＝X。則存在y∈X使得f（y）＝x。若y∈orb（x，f），則x是周期點且ω（x，f）＝X。否則y∈ω（x，f），這蘊涵x∈ω（x，f），于是ω（x，f）?orb（x，f）。進而這是因為ω（x，f）是閉集。從而也有ω（x，f）＝X。

定理1 設（X，f）為緊致系統(tǒng)，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f中存在Li－Yorke混沌。

證明f：X→X是連續(xù)自映射：ω（x，f）→ω（x，f）的轉(zhuǎn)移自映射＝X，而ω（x，f）由文獻［12］中定理1說明存在SS混沌集。顯然存在Li－Yorke混沌集。所以f中存在Li－Yorke混沌集，定理得證。

定理2 若幾乎周期點稠密系統(tǒng)具有混合性，則該系統(tǒng)是Li－Yorke混沌的。

引理6［10］設（X，f）為緊致系統(tǒng)，則f是拓撲混合的，蘊涵f是Li－Yorke混沌的。

定理2的證明 根據(jù)引理6的敘述，顯然知道定理2成立。

定理3 設（X，f）為緊致系統(tǒng)，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f是拓撲遍歷的。

證明 根據(jù)文獻［13］中推論3顯然可以得到f是拓撲傳遞的，設U，V是2個非空開子集，U，V∈（X，f），肯定?n＞0，可以有f－n（U）∩V≠?。由＝X知?x∈A（f）∩f－n（U）∩V，即有x∈V滿足fn（x）∈U。同時，根據(jù)f－n（U）的連續(xù)性可以判斷，存在x的鄰域D?V，使得f－n（D）?U。而且x∈X，x∈A（f），于是?L使得即f是拓撲遍歷的。

3 結(jié) 論

拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論的研究是相輔相成的，其中一者研究的突破和進展或新思路新方法，必然促進另一者相關(guān)理論的發(fā)展。因為拓撲動力系統(tǒng)可以自然的視為一個保測系統(tǒng)；并且任何遍歷系統(tǒng)都具備相應的拓撲表示。同時，它們的基礎(chǔ)理論有很多著極為相似的表述。而且拓撲方法在研究中有其局限性。純拓撲方法不能解決這類問題，但是應用遍歷理論的有關(guān)知識和方法卻可以對問題繼續(xù)討論。所以在研究問題時，對拓撲遍歷性也進行了討論。

以往的研究都是集中在對整個系統(tǒng)的動力性態(tài)上，而筆者的創(chuàng)新之處就在于研究系統(tǒng)中心測度的性質(zhì)，從而推斷整個系統(tǒng)的性質(zhì)。于是經(jīng)過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點稠密系統(tǒng)中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點稠密系統(tǒng)的混沌性態(tài)；闡明了該系統(tǒng)的拓撲遍歷性。同時在問題研究的過程中發(fā)現(xiàn)想要找到產(chǎn)生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結(jié)果建立起聯(lián)系，并簡化相關(guān)的結(jié)論。

以往的研究都是集中在對整個系統(tǒng)的動力性態(tài)上，而筆者的創(chuàng)新之處就在于研究系統(tǒng)中心測度的性質(zhì)，從而推斷整個系統(tǒng)的性質(zhì)。于是經(jīng)過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點稠密系統(tǒng)中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點稠密系統(tǒng)的混沌性態(tài)；闡明了該系統(tǒng)的拓撲遍歷性。同時在問題研究的過程中發(fā)現(xiàn)想要找到產(chǎn)生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結(jié)果建立起聯(lián)系，并簡化相關(guān)的結(jié)論。

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