低矮房屋風(fēng)壓時(shí)程的概率分布

陶 玲，黃 鵬，顧 明，全 涌

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

低矮房屋的風(fēng)荷載與風(fēng)壓有關(guān)，且低矮房屋的風(fēng)壓脈動(dòng)性很大，其極值的大小和出現(xiàn)的頻率決定了房屋圍護(hù)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)能力.風(fēng)壓時(shí)程的概率分布是研究極值風(fēng)壓特性的首要條件，也是風(fēng)工程研究者一直關(guān)注的問(wèn)題.早在20世紀(jì)60年代，Davenport［1］就提出脈動(dòng)風(fēng)壓服從正態(tài)（Normal）分布的假設(shè).1980年，Stathopoulos［2］通過(guò)對(duì)一系列低矮房屋的風(fēng)洞試驗(yàn)，得出峰值因子小的風(fēng)壓時(shí)程符合正態(tài)分布，峰值因子較大的風(fēng)壓時(shí)程不太符合正態(tài)分布，而是較符合 Weibull分布，但是 Weibull分布的參數(shù)較難確定.到了2002年，Sadek等［3］則通過(guò)概率圖相關(guān)系數(shù)（probability plot correlation coefficient，PPCC）方法［4］對(duì)各種可能的概率分布進(jìn)行了比較，最終篩選出極值I型（Gumbel）分布、正態(tài)分布和Gamma分布，又對(duì)該三種分布進(jìn)行比較，得出概率分布的低端符合正態(tài)分布，而整個(gè)風(fēng)壓時(shí)程則和 Gamma分布很吻合.2007年，Tieleman等［5］再次驗(yàn)證了風(fēng)壓時(shí)程和Gamma分布吻合得很好，且給出了Gamma分布三參數(shù)的矩估計(jì)方法，大大簡(jiǎn)化了Gamma分布參數(shù)的估計(jì)過(guò)程.但是Sadek等［3］和Tieleman等［5］關(guān)于Gamma分布的分析都基于風(fēng)壓時(shí)程偏度都較?。ㄔ?.20以下）的情況，而實(shí)際的時(shí)程偏度有時(shí)會(huì)較大.

本文對(duì)一低坡度低矮房屋進(jìn)行了剛性模型測(cè)壓試驗(yàn)，通過(guò)引進(jìn)廣義極值（GEV）分布、對(duì)數(shù)正態(tài)（Lognorm）分布和Gamma分布，將偏度從0.20～2.90的時(shí)程用該三種分布進(jìn)行擬合比較，發(fā)現(xiàn)對(duì)于偏度較小的時(shí)程，對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好，偏度較大的時(shí)程，廣義極值分布擬合得最好.最后對(duì)面積平均后的時(shí)程進(jìn)行了概率分布分析.

1 試驗(yàn)概況

本次試驗(yàn)是在同濟(jì)大學(xué)TJ-2風(fēng)洞完成的.選取低矮房屋的長(zhǎng)度、寬度和高度分別為21.6m，12.0 m和6.6m，屋面坡度為4.8°，其測(cè)壓試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閯傂阅Ｐ停ㄒ?jiàn)圖1），用有機(jī)玻璃板和ABS板制成，具有足夠的剛度和強(qiáng)度，使得在參考高度1m處的試驗(yàn)風(fēng)速達(dá)12m·s-1時(shí)模型不會(huì)發(fā)生變形，也不會(huì)出現(xiàn)明顯的振動(dòng)現(xiàn)象，以保證測(cè)壓試驗(yàn)的精度.模型的幾何縮尺比為1／40，與實(shí)物在外形上保持幾何相似，風(fēng)速比設(shè)為1／3，則相應(yīng)的時(shí)間比為3／40.試驗(yàn)時(shí)將模型放置在轉(zhuǎn)盤(pán)中心，通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)模擬不同風(fēng)向，本次采樣的風(fēng)向角為0°和45°.為了和低矮房屋的環(huán)境相對(duì)應(yīng)，試驗(yàn)的大氣邊界層流場(chǎng)模擬為B類(lèi)地貌風(fēng)場(chǎng)［6］，風(fēng)場(chǎng)模擬結(jié)果如圖2所示，平均風(fēng)速剖面指數(shù)α＝0.16，模型頂部（對(duì)應(yīng)實(shí)際6.6m）紊流度約為24%.試驗(yàn)中掃描閥掃描頻率設(shè)置為312.5Hz，一次采樣57.6s（對(duì)應(yīng)實(shí)際12.6min）.整個(gè)屋面布點(diǎn)357個(gè)，本文要討論的屋面測(cè)點(diǎn)分成三個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的5個(gè)測(cè)點(diǎn)及A和B區(qū)域用于面積平均的測(cè)點(diǎn)如圖3所示.

圖1 測(cè)壓試驗(yàn)中的剛性模型Fig.1 Rigid pressure measurement model

2 數(shù)據(jù)處理方法

2.1 風(fēng)壓時(shí)程概率分布

由于Sadek等［3］已經(jīng)驗(yàn)證了對(duì)于較小偏度的風(fēng)壓時(shí)程概率分布和Gamma分布較接近，因此本文先探討Gamma分布，然后引進(jìn)廣義極值分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行討論.

（1）Gamma分布

基于風(fēng)壓時(shí)程的非正態(tài)性，Sadek等［3］通過(guò)PPCC方法對(duì)多種分布函數(shù)進(jìn)行了測(cè)試，確定了低矮建筑表面不同區(qū)域風(fēng)壓時(shí)程的最優(yōu)概率分布為三參數(shù)Gamma分布，而低端較適合正態(tài)分布.其三參數(shù)Gamma分布函數(shù)為

式中：μ，a，γ分別為位置參數(shù)、比例參數(shù)及形狀參數(shù)，Γ為Gamma函數(shù).x＞μ表示分離區(qū)域的吸力必須乘以-1.Tieleman等［5］給出了Gamma分布三參數(shù)的矩估計(jì)為

式中：X，σ和S分別為風(fēng)壓時(shí)程的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和偏度.這里注意S始終為正值，當(dāng)風(fēng)壓系數(shù)位于吸力區(qū)域，偏度S為負(fù)時(shí)，須乘以-1，來(lái)得到正值，當(dāng)偏度S太小時(shí)，形狀參數(shù)γ就會(huì)過(guò)大，Γ函數(shù)就會(huì)趨于無(wú)窮大.這種情況下，矩估計(jì)的方法就失效，只有用PPCC方法.而時(shí)程的概率分布也很符合正態(tài)分布，可以用正態(tài)分布去擬合.

（2）廣義極值分布

由于Sadek等［3］驗(yàn)證了極值I型分布和風(fēng)壓時(shí)程概率分布擬合得不是很好，但極值I型分布是廣義極值的特殊形式，故而本文嘗試了廣義極值分布，其概率密度函數(shù)為

式中：γ是形狀參數(shù)，μ是位置參數(shù)，a是比例參數(shù)，可采用以下概率權(quán)重矩方法［7］得到.值得注意的是，當(dāng)γ＝0時(shí)，該分布即為極值I型分布，當(dāng)γ＜0時(shí)，該分布為極值II型分布，極值I型分布和極值II型分布均為無(wú)極限分布.當(dāng)γ＞0時(shí)，該分布為極值III型分布，也是Weibull分布的一種形式，這種分布是有極限的.樣本x的分布函數(shù)F（x）＝P（X≤x）的概率權(quán)重矩可表示為

式中：i，j，k均為實(shí)數(shù)，當(dāng)j和k均為0時(shí)，上式即為普通的x 的i階原點(diǎn)矩，E 表示數(shù)學(xué)期望.M1，j，k是用來(lái)估計(jì)分布參數(shù)的常用形式，其中又有 M1，0，k和M1，j，0兩種方法.本文采用 M1，j，0的方法，則對(duì)于廣義極值分布，有

為極值樣本序列，求極大值時(shí)，按照從小到大排列.

（3）對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)于兩參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，Sadek等［3］經(jīng)過(guò)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)其和風(fēng)壓時(shí)程的概率分布吻合得不好，但是陳斌［8］通過(guò)L矩方法估計(jì)參數(shù)證明三參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布卻吻合得較好.其概率密度函數(shù)為

式中：a為比例參數(shù)，μ為位置參數(shù)，γ在下文的PPCC比較中，按照形狀參數(shù)處理.其參數(shù)可以通過(guò)L矩方法［9］估計(jì).

式中：M1，0，0，M1，1，0和 M1，2，0為0階、1階和2階概率權(quán)重矩，計(jì)算式同上文；E0＝2.04665340，E1＝-3.65443710；E2＝ 1.83967330，E3＝-0.20360244，F(xiàn)1＝ -2.0182173，F(xiàn)2＝1.2420401，F(xiàn)3＝-0.2174801；Ф（X）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（高斯分布）x≤X的概率.這種方法只有在τ3≤0.93時(shí)才有效.

2.2 比較方法

PPCC［3］是用擬合的值和原始時(shí)程之間的相關(guān)性來(lái)估計(jì)分布參數(shù).相關(guān)系數(shù)的定義如下：

式中：σx和σy分別表示變量x和y的標(biāo)準(zhǔn)差.相關(guān)系數(shù)是用最小二乘法分析兩個(gè)變量之間關(guān)系的緊密程度，取值在0～1之間，當(dāng)它達(dá)到1時(shí)，表示兩個(gè)變量之間最緊密，成線性關(guān)系.

對(duì)于三參數(shù)分布，給定若干個(gè)形狀參數(shù)，其中PPCC達(dá)到最大的值即為該分布的最優(yōu)形狀參數(shù)，廣義極值分布的形狀參數(shù)選取如圖4所示.當(dāng)選定了形狀參數(shù)，位置參數(shù)和比例參數(shù)通過(guò)最小二乘法可以確定.該最大值PPCC也為該分布和原始時(shí)程之間的相關(guān)性衡量指標(biāo).

圖4 GEV分布的PPCC隨形狀參數(shù)的變化Fig.4 Variation of the PPCC of GEV distribution with the shape parameters

3 數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

3.1 測(cè)點(diǎn)的各種分布比較

屋面在45°風(fēng)向角下的偏度分布如圖5所示，可以看出偏度都是負(fù)值，而偏度的正負(fù)值僅表示偏的方向，下文僅討論它的大小.從圖中可知，在45°風(fēng)向角下，平屋面的屋角出現(xiàn)了錐形渦，錐形渦的兩翼偏度較大，最大達(dá)到3.00以上，而沿著渦軸上的偏度最小，在0.50以下，所以屋面的不同區(qū)域偏度分布差異較大.0°風(fēng)向角下的偏度分布要均勻些，都是小于2.00的，限于篇幅，圖示沒(méi)有給出.考慮到不同風(fēng)向角下可能會(huì)產(chǎn)生的差別，根據(jù)屋面的偏度分布圖選取了45°風(fēng)向角下的屋面較小偏度區(qū)域（A）和較大偏度區(qū)域（C）以及0°風(fēng)向角下的中等偏度區(qū)域（B）（見(jiàn)圖3），對(duì)其時(shí)程的各種概率分布進(jìn)行比較.各區(qū)域PPCC的比較如表1所示.先看A區(qū)域的各測(cè)點(diǎn)，其偏度都在0.50以下，這三種分布的PPCC都在0.99000以上，可以說(shuō)吻合得很好，通過(guò)圖6a則可以更清楚地看出，對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Gamma分布更好，其PPCC始終是大于0.99700的.再看B區(qū)域的各測(cè)點(diǎn)，注意這是在0°風(fēng)向角下，但是其偏度的大小是和45°風(fēng)向角下幾乎相同，為0.50～1.50.對(duì)于該區(qū)域的各點(diǎn)，這三種分布的PPCC也均較好.通過(guò)圖6b可知廣義極值分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布略好，這兩種分布的PPCC均都是在0.99800以上的.C區(qū)域的各測(cè)點(diǎn)偏度越來(lái)越大，當(dāng)偏度超過(guò)2.00時(shí)，三種分布的PPCC均小于0.99000了.從圖6c也能清楚地看出當(dāng)偏度超過(guò)1.50時(shí)，原始時(shí)程的概率分布和三種分布的相關(guān)性均急劇下滑，相比較而言，廣義極值分布占有優(yōu)勢(shì).這樣就不難得出，當(dāng)偏度較小時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好.當(dāng)偏度很大時(shí)，這三種分布都不能很好地?cái)M合時(shí)程的概率分布，廣義極值分布要好些，且隨著偏度的增大，廣義極值分布的優(yōu)勢(shì)更明顯.為了更清楚地看出這三種分布的優(yōu)劣，圖7給出了各區(qū)域的代表測(cè)點(diǎn)風(fēng)壓時(shí)程各種分布的概率密度比較及原始時(shí)程和擬合值的比較.文中的風(fēng)壓系數(shù)大多是負(fù)值，為了方便比較，全部轉(zhuǎn)為相反數(shù).圖中的結(jié)論和上文的分析是一致的，值得注意的是，從圖7e中可以看出，原始風(fēng)壓時(shí)程的概率密度輪廓參差不齊，這就意味著不可能找到一條完美的曲線和它擬合.

圖5 屋面的偏度分布圖（45°風(fēng)向角）Fig.5 Skewness distribution over the roof（45°wind direction angle）

3.2 面積平均后風(fēng)壓時(shí)程的概率分布

對(duì)于B區(qū)和C區(qū)不同面積的時(shí)程進(jìn)行即時(shí)平均，得到其面積平均后的風(fēng)壓時(shí)程，對(duì)其概率分布也進(jìn)行了比較，如表2所示.從表中可知，B區(qū)面積平均后的時(shí)程偏度變化不是很大，與單個(gè)測(cè)點(diǎn)一樣，和三種分布吻合得均很好.值得一提的是，45°風(fēng)向角下的C區(qū)單個(gè)測(cè)點(diǎn)的時(shí)程大多偏度較大（見(jiàn)表1），而面積平均后時(shí)程的偏度大大減小，為0.70～1.20，不同的測(cè)點(diǎn)數(shù)面積平均后的時(shí)程，和三種分布吻合得均很好，PPCC均在0.99000以上.其中9個(gè)測(cè)點(diǎn)面積平均后的時(shí)程概率密度比較、原始時(shí)程和擬合值的比較及累計(jì)概率比較如圖8所示，從圖中可見(jiàn)，這三種分布和面積平均后的時(shí)程概率密度均擬合得較好.

表1 單個(gè)測(cè)點(diǎn)風(fēng)壓系數(shù)時(shí)程的PPCC比較Tab.1 PPCC comparison of single tap pressure coefficient time series

表2 面積平均后時(shí)程的PPCC比較Tab.2 PPCC comparison of area-average pressure coefficient time series

圖8 C區(qū)域45°風(fēng)向角下9個(gè)測(cè)點(diǎn)面積平均后時(shí)程的各種分布概率密度及累計(jì)概率比較（S＝0.89）Fig.8 Comparison of probability density and accumulative probability among different distribution of 9taps area-average time series of C region at 45°wind direction angle（S＝0.89）

4 結(jié)論

（1）對(duì)于斜風(fēng)向下的屋面，偏度分布很不均勻，錐形渦渦軸上的偏度較小，為0.50以下，而兩翼的偏度較大，達(dá)到3.00以上.

（2）偏度較小的時(shí)程和Gamma分布、廣義極值分布及對(duì)數(shù)正態(tài)分布均吻合得較好，當(dāng)偏度增大到1.50以上時(shí)，這三種分布和風(fēng)壓時(shí)程本身的概率分布誤差較大，且隨著偏度的增大，誤差也增大.偏度小于0.80時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得最好.偏度大于0.80時(shí)，廣義極值分布擬合得最好.

（3）面積平均后的時(shí)程偏度都不是很大（小于1.50），與Gamma分布、廣義極值分布及對(duì)數(shù)正態(tài)分布都吻合得較好.

（4）不同區(qū)域在相同風(fēng)向角下偏度不同，相同區(qū)域在不同風(fēng)向角下偏度也會(huì)不同，而風(fēng)壓時(shí)程的概率分布和偏度緊密相關(guān)，故而風(fēng)壓時(shí)程的概率分布是不能以區(qū)域劃分的.

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