連接密度對于均勻網絡上耦合映象同步方式和同步時間的影響

吳興森，王圣軍，屈世顯

（陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西 西安710062）

同步是一個在物理學、生物學、化學和社會學中都普遍存在的現(xiàn)象［1－4］，在人工系統(tǒng)和自然系統(tǒng)中都發(fā)揮著重要的作用，如：耦合激光器［5－6］，神經網絡［7－8］，等．在過去的幾年中，耦合映象格子的同步問題引起了人們的很大興趣［4，9－13］，但是少有關于網絡的同步速度和進入同步方式的研究［14］．對于一個真實的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)以多快的速度達到同步，是一個和系統(tǒng)能否達到同步一樣重要的問題［14－18］．換句話說，系統(tǒng)內部的相互作用能否在系統(tǒng)執(zhí)行其功能的時間尺度內促使其動力學單元達成同步，是真實系統(tǒng)中必須考慮的問題．例如，在神經科學的研究中，同步速度與視覺處理速度以及嗅覺的辨別速度之間有重要的關系［19－20］．

近來，關于同步時間的研究引起越來越多研究者們的注意［15，21－22］．目前，關于同步時間，已經有一些非常有趣的性質被發(fā)現(xiàn)．文獻［14］分析了網絡的拓撲結構對同步時間的影響，認為當固定網絡節(jié)點的入度時，同步時間隨著拓撲結構隨機性的增強而單調地減?。敼潭ňW絡的平均路徑長度時，同步時間隨著網絡拓撲隨機性非單調地變化．近年來關于Logistic映象同步時間的研究中發(fā)現(xiàn)，隨著耦合強度的增加，平均同步時間可以非單調地變化．但是，這種非單調地變化只出現(xiàn)在Logistic映象的控制參數(shù)μ＝4．0以及耦合映象格子尺寸比較小（N＝5）的參數(shù)條件下［21］．最近，我們研究了Logistic映象的同步問題，發(fā)現(xiàn)了稀疏隨機網絡上同步時間與耦合強度的非單調關系，以及不同耦合強度下存在著不同的同步方式［23］．

在本文中，我們研究均勻網絡上連接密度影響Logistic映象的同步時間和同步方式的規(guī)律．通過研究發(fā)現(xiàn)，隨著隨機網絡中連接概率的增加，平均同步時間這種非單調的變化消失．我們對引起這種現(xiàn)象的機制進行進一步分析，發(fā)現(xiàn)隨著連接密度增大，弱耦合下的同步方式變的與強耦合下一致．通過本文的分析研究，可以有助于加深對非線性系統(tǒng)的同步規(guī)律的理解．

1 模型

本文采用隨機網絡模型建立連接均勻分布的網絡．為了建立一個隨機網絡，從N個未連接的節(jié)點開始，連接隨機選出來的節(jié)點對，同時避免重復連接，直到邊的數(shù)量為M．在這個隨機網絡中，連接密度為．接下來選取的節(jié)點數(shù)為N＝1 000，連接概率分別為p＝0．02，0．05，0．10，0．20，0．30，0．50，1．0．

Logistic映象是一個受到廣泛關注的非線性動力學系統(tǒng)，它已經成為一個研究混沌理論的范式．它反映了低維混沌耗散系統(tǒng)的普遍特征［23］．Logistic映象的形式如下：

式中的控制參數(shù)μ∈［0，4］，狀態(tài)變量xn∈［0，1］．本文研究的耦合Logistic映象系統(tǒng)由下面的方程描述：

式中的f（x）＝μx（1－x）是Logistic映象函數(shù)．ε是耦合強度，取值范圍是ε∈［0，1］．xin代表第i個節(jié)點第n步的狀態(tài)．每個Logistic映象的初始值xi0是［0，1］之間均勻分布的隨機數(shù)．｛aij｝是隨機網絡的鄰接矩陣，aij＝aji＝1代表節(jié)點i和節(jié)點j相連接，如果aij＝aji＝0表示節(jié)點i和節(jié)點j沒有連接．ki表示第i個節(jié)點的連接度．

同步序參量Rn是檢測系統(tǒng)是否達到同步的一個重要的參量［24］，其定義如下：

式中Rn是n時刻復數(shù)Zn的振幅，φn是相應的相位．當系統(tǒng)出現(xiàn)同步時，所有的節(jié)點上Logistic系統(tǒng)的取值相同，即xn1＝xn2＝…xnj．此時同步序參數(shù)Rn＝1．

2 數(shù)值模擬結果

對于隨機網絡上的Logistic映象，耦合強度存在一個閾值，當耦合強度大于這個閾值的時候，同步狀態(tài)總是系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，從隨機初態(tài)開始演化的系統(tǒng)將進入同步狀態(tài)．對于這些能夠同步的系統(tǒng)，我們把系統(tǒng)從隨機初態(tài)演化到同步態(tài)經過的時間步數(shù)稱為同步時間，用符號ts表示．

我們用模擬的方法計算了Logistic映象在隨機網絡中的同步時間隨著耦合強度的變化關系．在構造網絡的過程中選取不同的連接概率來研究連接密度對系統(tǒng)同步時間的影響．模擬的結果如圖1所示．模擬中在每一個耦合強度參數(shù)下對系統(tǒng)的同步時間作了1 000次平均．

圖1 不同連接概率下Logistic映象的同步時間隨著耦合強度的變化關系Fig．1 The average synchronization time tsversus the coupling strengthεunder different connection probability p

從圖可以看出，在稀疏的連接概率下系統(tǒng)的同步時間會在中等耦合強度下出現(xiàn)非單調地變化的現(xiàn)象，這和我們以前的發(fā)現(xiàn)一致．以前的研究表明了存在兩種同步方式：在弱的耦合強度下系統(tǒng)由網絡組成的節(jié)點被單映象的軌道所吸引；對于強耦合強度作用下的耦合映象系統(tǒng)，網絡中的節(jié)點首先靠攏在一塊達到同步，然后一起向單映象的軌道靠近．而在中等耦合強度下，是由于系統(tǒng)的同步方式發(fā)生轉變導致系統(tǒng)的同步時間變長．現(xiàn)在，我們的結果表明在不同的連接概率下，系統(tǒng)同步時間與耦合強度關系中的峰值隨著網絡連接密度的增加而明顯地減?。@個峰以外的耦合強度參數(shù)區(qū)間上，同步時間的變化并不明顯．這表明，連接密度影響了同步行為．

進一步研究網絡的連接密度對于系統(tǒng)同步過程的影響，從而揭示連接密度影響同步時間的機制．我們模擬出網絡的連接概率為p＝1．0和控制Logistic映象的控制參數(shù)為μ＝3．56的情況下固定選取3個耦合強度，ε1＝0．44（此耦合強度在非單調地峰值之前），ε2＝0．50（出現(xiàn)峰值附近），ε3＝0．70（此耦合強度在非單調地峰值之后）的Rn隨著時間的變化．為了更加清楚地了解同步序參數(shù)Rn隨著時間的變化關系，對同步序參數(shù)Rn作變動得到ΔRn，ΔRn和Rn的關系為

由以上描述的同步序參數(shù)Rn和ΔRn的關系，計算了固定選取Logistic映象控制參數(shù)μ＝3．56，在給定的3個耦合強度下，ΔRn隨著時間步的變化關系如圖2所示．

圖2 3種不同耦合強度下ΔRn隨著時間的變化關系Fig．2 The distance of network state from synchronization ΔRnfor three different coupling strengths

從圖2可以看出ΔRn在耦合強度ε1＝0．44和ε2＝0．50的時候變化幾乎一致，在強耦合（ε3＝0．70）的時候ΔRn迅速的趨于零，即系統(tǒng)的同步序參數(shù)迅速趨于1．不同于稀疏網絡，在耦合強度為ε2＝0．50的情況下，同步序參量的變化和線性穩(wěn)定性理論預言的一致是指數(shù)衰減的，而沒有出現(xiàn)兩個階段．說明這里不存在兩種動力學以及它們之間的轉變導致的臨界慢化現(xiàn)象．

圖3是連接概率p＝1．0和Logistic映象的控制參數(shù)為μ＝3．56的網絡中節(jié)點狀態(tài)的時間序列．從圖中可以看出．在耦合強度為ε2＝0．50的系統(tǒng)中，節(jié)點狀態(tài)很快彼此同步，同時偏離8周期的狀態(tài)值．這種同步過程中的集體行為和更大耦合強度的網絡（耦合強度ε3＝0．70）是一致的．說明它不再處于一個中間態(tài)．

圖3 在三種不同的耦合強度ε＝0．44（a），ε＝0．50（b），ε＝0．70（c）節(jié)點狀態(tài)的時間序列Fig．3 The time series of xnfor all nodes under three different coupling strengthε＝0．44（a），ε＝0．50（b），ε＝0．70（c）

我們進一步研究了在耦合強度為ε1＝0．44下，同步過程中集體行為如何隨著網絡的連接密度變化．在同步過程中，對比了不同連接密度的網絡上節(jié)點狀態(tài)值的方差以及節(jié)點狀態(tài)平均值與同步軌道的偏離．圖4a表明隨著網絡連接概率的增加節(jié)點狀態(tài)值的方差減小，而圖4b表明隨著網絡連接概率的增加節(jié)點狀態(tài)平均值與同步軌道的偏離也增大了．這個結果說明，隨著網絡連接概率的增加系統(tǒng)在弱耦合下表現(xiàn)出的同步動力學變成與強耦合下的同步動力學一致：在同步過程中節(jié)點狀態(tài)相互吸引，并偏離8周期態(tài)．

圖4 系統(tǒng)在第5時間步（t＝5）的方差δn（a）和差值dn（b）隨著連接概率的變化Fig．4 The time series of node state′s standard deviationδn（a）and the difference dnbetween mean value ofˉxnand the state of the final orbit（b）under the time t＝5

因為在稠密的網絡中只存在一種同步動力學，所以中等耦合強度下的臨界慢化不再出現(xiàn)，同步時間趨于單調變化．

3 結論

研究了網絡的連接密度對于連接分布均勻的網絡上耦合映象系統(tǒng)的同步方式以及同步時間的影響．使用隨機網絡構造連接分布均勻的網絡，通過改變連接概率調整連接密度．對于一個給定的連接密度，計算了網絡的同步時間與Logistic映象之間耦合強度的關系．在稀疏的網絡上，得到了與以前一致的結果，同步時間與耦合強度之間存在非單調關系．這里的研究發(fā)現(xiàn)，連接密度影響了同步時間．在中間耦合強度上，同步時間明顯地隨著連接密度的增大而減小，而其它耦合強度上，同步時間變化不大．同時，同步時間與耦合強度的函數(shù)關系逐漸變得單調．研究了連接密度產生這些影響的機制，它對于同步方式的影響．在稠密的網絡上，弱耦合網絡中的同步方式與強耦合網絡中的耦合方式一致，不再具有兩種同步方式．從而不再具有中等耦合強度上的同步方式的轉變，以及相應的同步慢化．

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