階梯型圓盤的指向性及相關(guān)因素研究

賀西平，馬奶連，趙凌波

（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710062）

20世紀(jì)70年代，Ggallon等人提出了彎曲振動輻射體［1］，因?qū)嶋H中有大量的應(yīng)用［2－9］，有關(guān)這種類型輻射體的振動性能以及聲學(xué)性能的研究一直沒有間斷．回顧這種振動體形式的演變過程，圍繞的大多是其指向性、大功率、輻射效率、輻射阻抗等問題展開研究的［10－17］．彎曲振動輻射體的特點是輻射面積大，機(jī)械阻抗能與空氣介質(zhì)匹配較好，再加之在其中心驅(qū)動的振動體是一個高效大功率夾心換能器，因此能比較容易地向空氣中輻射強(qiáng)超聲．

起初提出的是彎曲振動平面輻射體，雖然它與空氣介質(zhì)匹配問題不大，但由于在盤面振動節(jié)線的兩側(cè)位相相反，將導(dǎo)致在聲場振動干涉相消，經(jīng)測試后的指向性不尖銳，另外聲場相消的結(jié)果也造成聲能量的浪費．為避免相位相消，在節(jié)線兩側(cè)沿著直徑方向間隔上凸或下凹的階梯盤，凸起或下凹的高度等于輻射介質(zhì)中的半波長．這樣改進(jìn)的階梯盤，理論上來看無論從指向性角度，還是效率角度都是最佳．經(jīng)測試，階梯盤的指向性猶如活塞輻射的盤面一樣［1，15］．指向性是描述輻射體性能的一個很重要的參數(shù)［18－20］．仔細(xì)分析這種類型的輻射體，因其相鄰的節(jié)線之間的各振動面元的振幅畢竟與活塞振動均勻時不同，是有一定起伏的，而且上凸或下凹的階梯盤面又不在一個平面上．正因為輻射表面不在同一幾何平面上，指向性計算顯得很復(fù)雜，已有文獻(xiàn)對其指向性作過一定的測試［15］，未見到過解析方法計算的文獻(xiàn)，這不利于對輻射盤的優(yōu)化設(shè)計和對其性能的綜合評價．本文將階梯盤分成兩個部分，一部分為節(jié)線之外的圓環(huán)形盤，另一部分為節(jié)線以內(nèi)的圓形盤，在階梯圓盤的彎振頻率上，從其實際模型出發(fā)，計算研究了聲場的指向性．利用指向性解析表達(dá)式研究指向性與材料組成、基底厚度之間的關(guān)系，為計算和優(yōu)化設(shè)計這種輻射體得出一些有用的結(jié)論．

1 指向性計算

為簡化計算，考慮有一條節(jié)線的階梯形薄圓盤，假設(shè)其一面置于無限大剛硬障板上，向另一面的介質(zhì)中輻射聲波，如圖1所示．可認(rèn)為節(jié)線把該階梯盤分成了兩個部分，一部分為節(jié)線之外的圓環(huán)形盤，其

圖1 一個節(jié)線的上凸階梯圓盤Fig．1 The stepped circular plate with single raised step

1．1 節(jié)線以內(nèi)的圓心盤產(chǎn)生的輻射聲壓場

微分方程（1）式的一般解為［21］：

其中J0，Y0是一類和二類零階貝塞爾函數(shù)，I0，K0是一類和二類零階修正貝塞爾函數(shù)．對圓心盤，因為在中心處ρ1＝0的Y0和K0函數(shù)為無窮大，實際上是不可能的，故應(yīng)取系數(shù)B和F為零．這樣，圓心盤的表面位移和振動速度分別為

圖2 階梯盤的中心部分 －圓心盤的輻射聲場示意圖Fig．2 The schematic of radiated sound field at the central area of the stepped plate

速度振幅為

式中，k41＝ （ρvh1ω2）／D，D＝Eh31／12（1－σ2），ρ1∈［0，a1］．圓心盤產(chǎn)生的輻射聲壓為

其中l(wèi)1是圓心盤表面上的點源dS1到遠(yuǎn)場點的距離，ρvc0和k是傳播介質(zhì)中的特征阻抗和波數(shù)．因r1?a1，（5）式中的分母中的l1可以用r1近似替代．由圖2可看出，有以下的幾何關(guān)系：

展開該式，因r1?ρ1，l1可近似表示為l1＝r1－ρ1cosβ1．則（5）式變?yōu)?/p>

并由圖2中可以發(fā)現(xiàn)如下的幾何關(guān)系：

將（4）和（7）式代入（6）式中，得到

根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)

則（8）式可以寫為

根據(jù)貝塞爾函數(shù)的積分性質(zhì)

可以得到

將（10）和（11）式代入（9）式中，則圓心盤的輻射聲壓為

1．2 圓環(huán)形盤產(chǎn)生的輻射聲壓場

取圓環(huán)形盤上表面的中心為坐標(biāo)原點O′，如圖3所示．同理，由于其產(chǎn)生的輻射聲場相對于穿過圓盤中心的z軸旋轉(zhuǎn)對稱，可以認(rèn)為聲場中的觀察點p2（r2，θ2）位于xz平面上，該觀察點離開原點距離為r2，位矢r2與z軸的夾角為θ2．

圖3 階梯盤圓環(huán)部分輻射聲場示意圖Fig．3 The schematic of radiated sound field in the circular ring of stepped plate

圓形盤面上的振動位移和振動速度分別為

其中ρ2∈ ［a1，a］．

速度振幅為

圓環(huán)形盤輻射產(chǎn)生的聲壓為

因r2?a，上式中的分母r2可近似地被l2代替．由圖3，有如下幾何關(guān)系：

將上式代入（14）中，得

利用計算p1的相同方法，可以得到

1．3 階梯盤的輻射聲場

遠(yuǎn)場點處，總的輻射聲壓即是由上面兩部分的疊加：

令r2＝r，θ2＝θ，

因r1?a1，r2?a，

對上式中振幅部分可取θ1＝θ2，r1＝r2，相位部分，由圖3可得到幾何關(guān)系為

代入（1）式中，得到

令θ＝0，可得

因此，圓盤指向性表達(dá)式為

這里，pa代表聲壓振幅．C1／A1，A2／A1，B2／A1，C2／A1，F(xiàn)2／A1為（18）和（19）式中的五個振型系數(shù)，可由節(jié)線處ρ1＝ρ2＝a1的四個連續(xù)條件和邊界處ρ2＝a的兩個自由條件得到［22］．

2 指向性與頻率、材料及幾何尺寸之間的關(guān)系

2．1 與頻率的關(guān)系

計算的圓盤材料為鋁合金，基底厚度為7 mm時，頻率對應(yīng)為10kHz、36．5kHz、45kHz、100kHz時一條節(jié)線盤的指向性．幾何參數(shù)及計算得到的5個振型系數(shù)如表1所示，指向性如圖4所示．取空氣中聲速c＝340m／s．

表1 不同頻率下的振型系數(shù)＊Tab．1 The coefficients of vibration modal with different frequency

圖4 表1中的四個階梯盤的指向性圖（階梯盤材料為鋁合金）Fig．4 The directivity of the four stepped plates in the table 1（material：Aluminum alloy）

2．2 與材料的關(guān)系

在同一彎曲振動諧振頻率下（這里為36．5 kHz），計算了一條節(jié)線的鋼、銅、鎳材料階梯盤的指向性，并與上面2．1中的鋁合金材料進(jìn)行比較．相應(yīng)的幾何參數(shù)及計算得到的振型系數(shù)見表2，指向性如圖5所示．

表2 不同材料的振型系數(shù)＊Tab．2 The coefficients of vibration modal with different materials

圖5 表2中的四個階梯盤的指向性圖（諧振頻率為36．5kHz）Fig．5 The directivity of the four stepped plates in the table 2（resonance frequency：36．5kHz）

2．3 與幾何尺寸的關(guān)系

計算的圓盤材料為鋼，頻率為36．5kHz，基底厚度對應(yīng)為1mm、2mm、7mm、11mm時盤的指向性，并對不同基底厚度階梯盤的指向性作了比較，如圖6所示．計算的有關(guān)參數(shù)見表3．

表3 不同幾何尺寸下的振型系數(shù)＊Tab．3 The coefficients of vibration modal with different base thickness

圖6 表3中的四個階梯盤的指向性圖（諧振頻率：36．5Hz，材料：鋼）Fig．6 The directivity of the four stepped plates in the table 3（resonance frequency：36．5kHz，material：Steel）

3 結(jié)果與討論

將上面解算得到的振型系數(shù)代入（20）式中，即可得到階梯盤的指向性圖案．

3．1 基底厚度為7mm、不同諧振頻率鋁合金材料的階梯盤

圖4a、b、c、d與文獻(xiàn)［1］中圖6在n＝1（一條節(jié)線）時，這4個對應(yīng)頻率上的測試結(jié)果幾乎一致．從圖4可看出，隨著輻射頻率的提高，階梯盤的半徑和節(jié)線半徑將隨之減小，主瓣則變得越來越尖銳．相比之下，彎曲振動平面輻射體的指向性較差，圖7為文獻(xiàn)［15］中測試的平面圓盤輻射體的一般指向性圖．

圖7 平面圓盤輻射體的指向性圖Fig．7 The directivity of the flat circular plate

3．2 諧振頻率為f＝36．5kHz的不同材料階梯盤

從圖5，可以看出，對同一種諧振頻率（為36．5kHz）、不同材料的指向性似乎無太大變化．這說明階梯盤材料對指向性沒有太大影響．

3．3 諧振頻率為f＝36．5kHz的不同基底厚度的鋼材料階梯盤

從圖6可以看出，對同一種諧振頻率（這里為36．5kHz）、同一種材料的階梯盤，基底厚度越厚，主瓣的指向性將越尖銳，副瓣似乎也變得窄細(xì)、尖銳起來．

4 結(jié)論

本文為階梯圓盤的指向提供了一個計算方法．利用該方法，對彎曲振動階梯盤的指向性進(jìn)行了計算研究，計算結(jié)果與文獻(xiàn)［10］的測試結(jié)果一致．文中進(jìn)一步研究了階梯盤指向性與材料、基底厚度等之間的關(guān)系．所得結(jié)論為：

（1）隨著輻射頻率的提高，階梯盤的半徑和節(jié)線半徑將隨之減小，主瓣則變得越來越尖銳，但副瓣也會隨之增加．階梯盤的指向性的確比平面盤的指向性要尖銳．

（2）同一種諧振頻率、不同材料的階梯盤，指向性變化不明顯．指向性與階梯盤材料關(guān)系似乎不大．

（3）同一種諧振頻率、同一種材料的階梯盤，基底厚度越厚，主瓣的指向性將越尖銳，副瓣也變得窄細(xì)、尖銳起來．

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