具有離散時(shí)滯的兩種群合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性

陳鳳德，陳婉琳，趙 亮

（福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108）

經(jīng)典的兩種群Lotka-Volterra合作系統(tǒng)可以表示為

由文獻(xiàn)［1-2］可知，對(duì)該系統(tǒng)而言，條件

足以保證系統(tǒng)（1）存在唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn).

考慮到現(xiàn)實(shí)的生物數(shù)學(xué)模型不可避免地都要受到歷史狀態(tài)的影響，在系統(tǒng)（1）中進(jìn)一步考慮時(shí)滯的影響，Chen等人［3］提出了如下模型：他們給出了兩個(gè)反例表明對(duì)這類系統(tǒng)而言，由于時(shí)滯的作用，在條件（2）成立的情況下，系統(tǒng)（3）存在無界解.也就是說，系統(tǒng)（2）不足以保證系統(tǒng)（3）是持久的，從而也就更不可能保證系統(tǒng)（3）有全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn).他們猜測(cè)，對(duì)系統(tǒng)（3）而言，穩(wěn)定性應(yīng)該與時(shí)滯之間的比值等有關(guān)系.系統(tǒng)（3）中，τ1，τ3的存在，使得系統(tǒng)是純時(shí)滯系統(tǒng).最近的研究［4-5］表明，對(duì)純時(shí)滯系統(tǒng)，時(shí)滯將會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性起到非常重要的作用，τ1，τ3要足夠小才有可能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，暫不考慮τ1，τ3，先研究如下較為簡(jiǎn)單的模型：

基于系統(tǒng)的生態(tài)學(xué)意義，本文恒設(shè)系統(tǒng)（4）滿足如下初始條件：

式中，φi（s）（i＝1，2）是［-τ，0］上的連續(xù)函數(shù)，τ＝max｛τi｝（i＝2，4）.問題是：對(duì)系統(tǒng)（4），條件（2）是否足夠保證系統(tǒng)存在唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn)？本文旨在發(fā)展文獻(xiàn)［4-8］的研究方法，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，對(duì)該問題給出肯定的回答.

引理1 系統(tǒng)（4）滿足初值條件（5）的解x1（t）＞0，x2（t）＞0（t≥0）.

證明

作為文獻(xiàn)［6］定理2.2的直接推論，關(guān)于系統(tǒng)（4）的持久性，有如下≡結(jié)論：

引理2 若條件（2）成立，則滿足初值條件（5）的系統(tǒng)（4）是持久≡的，即存在與系統(tǒng)的解無關(guān)的正常數(shù)m和M，使得系統(tǒng)（4）的任一正解均滿足

定理 假設(shè)條件（2）成立，則滿足初值條件（5）的系統(tǒng)（4）存在唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn).

證明 計(jì)算易知，在條件（2）成立的情況下，系統(tǒng)（4）有唯一的正平衡點(diǎn)（x＊1，x＊2），其中

注：定理表明，系統(tǒng)（4）中，時(shí)滯不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這說明時(shí)滯是無害時(shí)滯.

［1］ 馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.合肥：安徽教育出版社，1996.（Ma Zhien. Mathematical Modeling and Study on Population Ecology ［M ］. Hefei：Anhui Education Press，1996.）

［2］ 陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法［M］.成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，2003.（Chen Lansun，Song Xinyu，Lu Zhengyi. Models and Methods of Mathematical Ecology［M］.Chengdu：Sichuan Science and Technology Press，2003.）

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［6］ 林玉花，陳鳳德，王海娜，等.一類非自治兩種群浮游生物相克模型的持久性和全局吸引性［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，24（6）：7-10.（Lin Yuhua，Chen Fengde，Wang Haina，et al.Permanence and Global Attractivity of a Nonautonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2012，24（6）：7-10.）

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