多維隨機變量函數(shù)變量變換法的推廣

王凡彬

多維隨機變量函數(shù)變量變換法的推廣

王凡彬1,2

（1. 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川，內(nèi)江 641110；2. 四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點實驗室，四川，內(nèi)江 641110）

對現(xiàn)行的多維隨機變量函數(shù)的變量變換法進行了討論，克服了其要求存在唯一反函數(shù)的缺陷。應(yīng)用密度函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等方法，把目前的變量變換法推廣到了多值函數(shù)的情形，可利用多值函數(shù)的一支進行變量變換。擴大了現(xiàn)行變量變換法的應(yīng)用范圍。最后給出了應(yīng)用。

多維隨機變量；變量變換法；多值函數(shù)；推廣

在求多維隨機變量的函數(shù)問題中，有多種情形和多種方法。而在維隨機變量到維隨機變量的變換過程中，變量變換法是一個重要的工具。為方便起見，下面主要以二維連續(xù)隨機變量到二維連續(xù)隨機變量的變換為例，探討函數(shù)的密度，更高維情形的討論是類似的。在現(xiàn)行的教材[1]中，一般是這樣對變量變換法進行介紹的：

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的反函數(shù)

其變換的雅可比行列式

若

定理1的證明略。

這個方法也是目前人們研究二維隨機變量到二維隨機變量的變換的主要方法。這個方法雖然能適用于較多變量變換的情形，但是我們要指出，這個方法是存在一定的缺陷的：主要就是要求（1）式存在唯一的反函數(shù)，這個條件過強。我們往往會遇到（1）式的反函數(shù)是多值函數(shù)的情形。這個時候，定理1就不適用，這必然限制了定理1的應(yīng)用。

1 主要結(jié)果

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在一個反函數(shù)

若

證明由二重積分的變量變換法，

由（5）式，

設(shè)

2 應(yīng)用

下面應(yīng)用定理2來求解一個例題。

解 由

得

或

即（6）式的反函數(shù)是多值函數(shù)。我們選擇其反函數(shù)之一（7），則知

所以

從而

即

從而

即

而

上例如用定理1是無法解決的，但用定理2卻較容易解決，由此可見定理2在應(yīng)用上的威力。我們要看到，定理1是定理2的特殊情形，定理2適用的范圍更寬泛。

[1] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].2版.北京:高等教育出版社,2012.

[2] 王凡彬,嚴靂.多維隨機變量函數(shù)密度的求解方法[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報,2012,27(10):17-19.

[3] 李思齊,李昌興,柳曉燕.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布密度的計算[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(5):162-166.

[4] 宋明娟,王悅姣.二維隨機變量函數(shù)的概率密度公式[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報,2011,2(5):422-424.

[5] 李香玲,劉桂霞.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布計算技巧[J].河北建筑工程學(xué)院學(xué)報,2003,21(3):67-69.

[6] 張洪川,盛克敏,馬麗瓊.一維與二維連續(xù)隨機變量的函數(shù)的分布[J].西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2005, 31(6):995-997.

[7] 顧玉娣.求連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度[J].上海師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,3(2):96-98.

[8] 馬醒花,魏蘭閣,彭宗勤.兩個維隨機變量函數(shù)的概率密度的求法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2006,36(4)：174-177.

[9] 馬軍英.一類兩個隨機變量函數(shù)的分布[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(6):157-160.

[10] 楊秀妮,王雪芹.隨機變量函數(shù)的分布問題 [J]．西安科技大學(xué)學(xué)報,2007,27(2):316-319.

PROMOTION OF VARIABLE TRANSFORMATION METHOD OF MULTIDIMENSIONAL RANDOM VARIABLE FUNCTION

WANG Fan-bin1,2

(1. College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal University，Neijiang , Sichuan 641100 ,China；2. Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province College，Neijiang , Sichuan 641100 ,China）

The current variable transformation method of multidimensional random variables function is discussed and its defect is overcome. Related properties which include density function method are applied. Furthermore, the current of the variable transformation method has been generalized to multi-valued function, which can use a variable transform of many-valued function. Application scope of the current variable transformation method is expanded and the application is also given.

multi-dimensional random variables; variables transform method; multi-valued function; promotion

O211.5

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.03.003

1674-8085(2013)03-0010-03

2013-01-03；

2013-03-15

四川省高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革項目（O1249-1）；四川省高校數(shù)值仿真與數(shù)學(xué)實驗教學(xué)示范中心項目（O1247）；四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點實驗室重點科研項目（09NJZZ001）

王凡彬(1957-)，男，四川富順人，教授，主要從事偏微分方程及其應(yīng)用研究(E-meil:wangfanbin@163.com).