整合切線定義 理解概念內(nèi)涵
——一堂有關(guān)切線概念的高三復(fù)習(xí)課

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(余姚中學(xué) 浙江余姚 315400)

整合切線定義理解概念內(nèi)涵
——一堂有關(guān)切線概念的高三復(fù)習(xí)課

●俞萍

(余姚中學(xué) 浙江余姚 315400)

1 背景介紹

前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)，學(xué)生通過(guò)自己的努力去理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西．孔子也說(shuō)過(guò):“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也．”所謂“憤”，就是當(dāng)學(xué)生心求通而未達(dá)的時(shí)候才去開(kāi)導(dǎo)他；所謂“悱”，就是當(dāng)學(xué)生口欲言而未能的時(shí)候才去啟發(fā)他．這就是說(shuō)，我們的教學(xué)應(yīng)注重啟發(fā)式教學(xué)，引而不發(fā)，讓學(xué)生多思考，多實(shí)踐．但是啟發(fā)式教學(xué)也要考慮學(xué)生主體對(duì)知識(shí)的“饑渴”程度和學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)展開(kāi)往往會(huì)事半功倍．

在高三的復(fù)習(xí)中，筆者感覺(jué)學(xué)生對(duì)切線的概念理解比較混亂，主要表現(xiàn)在以下3個(gè)方面：(1)學(xué)生最先接觸的是初中圓的切線，幾何直觀性非常強(qiáng)．隨著課程的進(jìn)一步發(fā)展，他們又感受了圓錐曲線的切線，還沒(méi)從這些復(fù)雜多變的切線中緩過(guò)神來(lái)，函數(shù)曲線的切線又再一次沖擊頭腦．在這個(gè)知識(shí)復(fù)雜多變、螺旋上升的過(guò)程中，學(xué)生的內(nèi)心經(jīng)歷著強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突．(2)我們不少教師在上新課時(shí)往往輕概念教學(xué)，重解題訓(xùn)練，學(xué)生往往囫圇吞棗，不求甚解，如到底什么是切線？與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是不是切線？切線是不是與曲線有且只有一個(gè)切點(diǎn)？(3)切線問(wèn)題紛繁復(fù)雜，但我們的復(fù)習(xí)是章節(jié)性的，如果教師不引導(dǎo)的話，學(xué)生還是把圓錐曲線的切線和一般函數(shù)曲線的切線孤立地看待，不會(huì)主動(dòng)建構(gòu)切線概念，使之有機(jī)統(tǒng)一．這些現(xiàn)狀給后續(xù)學(xué)習(xí)帶來(lái)了較大的影響，同時(shí)學(xué)生對(duì)于理解整合切線概念的意愿也非常強(qiáng)烈．在這個(gè)背景下，筆者有意識(shí)地安排了一堂切線的復(fù)習(xí)課，展開(kāi)啟發(fā)式教學(xué)，盡可能地把切線問(wèn)題包羅進(jìn)來(lái)，主要以問(wèn)題串的形式進(jìn)行．

2 課堂實(shí)錄

2.1 切線的表象，讓我們感受直觀

師：從初中開(kāi)始我們就接觸切線了，大家也感受著各種各樣的切線，這堂課我們就圍繞切線，展開(kāi)深層次討論，希望通過(guò)這堂課，大家對(duì)切線的認(rèn)識(shí)更清晰．請(qǐng)大家在下面圖1～圖4中各畫(huà)出一條切線．觀察圖形，對(duì)于切線你有何理解？

圖1 圖2

圖3 圖4

由于是復(fù)習(xí)課，學(xué)生非?？旖莸禺?huà)好了，筆者把一位學(xué)生的圖用投影儀展示在黑板上．學(xué)生們討論起來(lái)．

生1：圓和橢圓的切線非常直觀；拋物線也還好，但是圖形不封閉，給了我們一些遐想；雙曲線的切線更復(fù)雜了．

生2：圖1～圖3中，過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn)不能作曲線的切線，過(guò)曲線上一點(diǎn)能作曲線的一條切線，過(guò)曲線外一點(diǎn)能作2條切線．圖4中的雙曲線問(wèn)題我說(shuō)不準(zhǔn)．

筆者點(diǎn)頭微笑地看著學(xué)生，默不作聲．

生3：圖1～圖3中的曲線都在切線的一側(cè)，圖4中的曲線在切線的2側(cè)．

生4：圖1～圖4中的切線與曲線都有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

生5馬上反駁：在圖4中，這條直線會(huì)不會(huì)與雙曲線在右支相切的同時(shí)還與左支相交？

旁邊也有幾位學(xué)生齊聲附和，教室里開(kāi)始議論紛紛．

生6：不會(huì)與左支相交的．這條線比雙曲線的漸近線要陡．

雙曲線有左、右2支，又是不封閉曲線，因此它的切線相對(duì)復(fù)雜，從上面的回答中，筆者看到學(xué)生的問(wèn)題也主要集中在雙曲線上．由于目前課標(biāo)對(duì)雙曲線的教學(xué)要求不高，筆者不打算在課堂上耗費(fèi)時(shí)間，因此對(duì)于生2關(guān)于雙曲線的的說(shuō)法筆者并沒(méi)有展開(kāi)討論．但生5的問(wèn)題非常實(shí)際，它也是一次鞏固數(shù)形結(jié)合思想的好機(jī)會(huì)．筆者在肯定生6的同時(shí)，順?biāo)浦郏龑?dǎo)他們往數(shù)的角度想．

師：形缺數(shù)時(shí)難入微．我們知道，從代數(shù)角度看，直線和雙曲線方程聯(lián)立，得到最多的是二次方程，最多2個(gè)實(shí)根．相切時(shí)二次方程Δ=0，已經(jīng)有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根了，因此它不可能還與左支相交．

不少學(xué)生若有所思地點(diǎn)點(diǎn)頭，對(duì)筆者的回答較為滿(mǎn)意．

生7馬上接了上來(lái)：哦！我懂了．那就是說(shuō)，也不可能出現(xiàn)直線與雙曲線左支和右支同時(shí)相切的情形了，對(duì)嗎？

師(小結(jié))：你說(shuō)得太棒了！前面其他同學(xué)也都說(shuō)得相當(dāng)好，把切線的表象看得準(zhǔn)確且到位．其中雙曲線的問(wèn)題要復(fù)雜很多，考慮到課標(biāo)的要求，這里就不過(guò)多展開(kāi)討論，有興趣的同學(xué)可以課后和我交流．這里的3類(lèi)曲線：圓、橢圓和拋物線，它們的切線方程在前面的課中已經(jīng)進(jìn)行了深入研究．由最簡(jiǎn)單的圓x2+y2=r2引出了一條重要的直線x0x+y0y=r2，它的內(nèi)涵十分豐富．當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上時(shí)，方程x0x+y0y=r2表示的是在點(diǎn)P處圓的切線方程；當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外時(shí)，方程x0x+y0y=r2表示的是過(guò)點(diǎn)P作圓的2條切線，切點(diǎn)弦所在的直線方程；甚至當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2內(nèi)時(shí)，方程x0x+y0y=r2也有實(shí)際意義．我們把它推廣到橢圓和拋物線，也有類(lèi)似的結(jié)論，可見(jiàn)數(shù)學(xué)是多么和諧的統(tǒng)一！

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭贊同．

2.2 切線的內(nèi)涵，讓我們把握精髓

透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，有了前面的鋪墊，筆者又順理成章地引出下面的問(wèn)題．

師：前面我們感受了切線的表象，師生一起努力，肯定了生4的說(shuō)法，上面4幅圖中切線確實(shí)都與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．那么是不是所有的切線都與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)呢？

生8不假思索地回答：是的吧．連最復(fù)雜的雙曲線也符合．

師：真的嗎？你的想法也不錯(cuò)，圓錐曲線確實(shí)符合，其他的呢？大家好好想想，不妨試著跳出圓錐曲線．

大多數(shù)學(xué)生沉默下來(lái)了，教室里十分安靜，學(xué)生動(dòng)筆在紙上畫(huà)，在找反例．

過(guò)了一會(huì)兒，很多學(xué)生已經(jīng)找到了．筆者又把一位學(xué)生的畫(huà)投影在黑板上，如圖5，函數(shù)的圖像和它的一條切線，簡(jiǎn)單明了．

這里筆者真切地感受到：從上課開(kāi)始師生一直在圓錐曲線的范圍里研究，學(xué)生不自覺(jué)地把切線給孤立了起來(lái)，形成了思維定勢(shì)，想當(dāng)然地下結(jié)論．如果筆者放在一般函數(shù)曲線的情境中，這個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也不是很難．一旦跳出圓錐曲線，學(xué)生豁然開(kāi)朗，是一次思想的飛躍．

師：看來(lái)切線不一定與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．那么反過(guò)來(lái)，是不是所有與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線都是它的切線呢？

學(xué)生們拿著現(xiàn)成的圖1～圖5做文章，迅速畫(huà)出了圖6～圖8．筆者一邊欣賞著學(xué)生的作圖，一邊故意試探著提問(wèn)．

圖5 圖6

圖7 圖8

師：為什么圖6～圖8中這些直線不是切線？

生9：這類(lèi)直線顯然不是切線，是直線和曲線相交，但這是直觀感覺(jué)，理由說(shuō)不出來(lái)．

生10：切線是一條直線與曲線的2個(gè)交點(diǎn)無(wú)限接近以至重合形成的，這些圖不符合．

……

師：在圖8中，把直線往下平移成直線y=0，它和函數(shù)y=x3的圖像是相交還是相切呢？

生11：應(yīng)該也是相交．

生12：直線y=a(a≠0)是函數(shù)y=x3圖像的切線肯定沒(méi)錯(cuò)，但是直線y=0不好說(shuō)，總感覺(jué)這條線和別的切線不一樣．

生13：是的，這條曲線在原點(diǎn)2側(cè)的凹凸性是不同的．

生14站了起來(lái)：是切線沒(méi)錯(cuò)．我求了函數(shù)y=x3在x=0處的切線方程，正好是直線y=0．

教室里突然安靜了下來(lái)，生14的回答影響力挺大的．有不少學(xué)生拿起筆，將信將疑地求了起來(lái)．

安靜片刻之后，學(xué)生終于形成一致意見(jiàn)：這條直線確實(shí)是曲線的切線．

筆者由衷地佩服學(xué)生的智慧．但深層次里，學(xué)生對(duì)這條切線還是有些不認(rèn)同的．著名數(shù)學(xué)家馮·諾依曼認(rèn)為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)這2種特征，經(jīng)驗(yàn)科學(xué)對(duì)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵大有裨益．而該函數(shù)涉及的凹凸性、拐點(diǎn)處的切線對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的．

師：沒(méi)錯(cuò)，直線y=0正是函數(shù)y=x3圖像在(0,0)處的切線，它也是割線的極限位置，大家可以直觀感受，以后大學(xué)里我們還要深入學(xué)習(xí)．

2.3 切線的外延，讓我們深化認(rèn)識(shí)

對(duì)切線有了深層次理解之后，筆者繼續(xù)誘“敵”深入，把切線問(wèn)題進(jìn)行到底．

師：前面我們感受了與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，切線也不一定與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，真是讓人大開(kāi)眼界．事實(shí)上，大家回憶一下，我們經(jīng)常在做這類(lèi)題：求在點(diǎn)P處的切線方程和過(guò)點(diǎn)P的切線方程．對(duì)過(guò)點(diǎn)P的切線我們要有清醒的認(rèn)識(shí)，此時(shí)點(diǎn)P可以在曲線上，也可以在曲線外．當(dāng)它在曲線上時(shí)，這個(gè)點(diǎn)可以不是切點(diǎn)，圖5就是一個(gè)很好的例子．

筆者因勢(shì)利導(dǎo)，又提出了新的挑戰(zhàn)：請(qǐng)大家在我們學(xué)過(guò)的函數(shù)曲線中，再畫(huà)畫(huà)切線，看還有沒(méi)有別的收獲？

生15興奮地站了起來(lái)：老師，看這幅圖．

筆者把生15的圖9展示了出來(lái)，函數(shù)y=sinx與y=1的圖像．其實(shí)高中階段涉及的函數(shù)類(lèi)型并不多，這幅圖的出現(xiàn)在意料之中，筆者故作驚喜狀．

圖9 圖10

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生15激動(dòng)的心情溢于言表：這條切線與曲線有無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)了！

一下子，整個(gè)教室熱鬧了起來(lái)，學(xué)生們都很興奮．

師：非常好！世界之大，無(wú)奇不有．小小的一條切線竟然與曲線有無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)．

生16：老師，那直線y=0是不是函數(shù)y=|x|圖像的切線？見(jiàn)圖10．

生17脫口而出：是的，它也是割線的極限位置呀．(停頓了一下)但是這條線好像又與前面的割線不太一樣，在原點(diǎn)處它是尖尖的，也不敢肯定了．

如果學(xué)生不問(wèn)這個(gè)問(wèn)題，筆者是刻意回避的，畢竟不可導(dǎo)等概念都是大學(xué)里的內(nèi)容，高中也不可越俎代庖．學(xué)生冷不丁地冒出了這個(gè)問(wèn)題，于是筆者作了下面的回應(yīng)．

師：大家的想法挺好的．這條線確實(shí)與前面的不一樣，直線y=0其實(shí)并不是函數(shù)y=|x|圖像的切線，這塊內(nèi)容我們?cè)诖髮W(xué)里將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，以后大家就明白了．

2.4 切線的發(fā)展，讓我們了解歷史

通過(guò)上面由淺入深、由表及里的問(wèn)題，學(xué)生們對(duì)切線有了一個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)．臨近下課時(shí)，筆者從切線的發(fā)展史角度，借助于幻燈片(一系列的數(shù)學(xué)家及他們的成就)，對(duì)這堂課進(jìn)行了回顧和總結(jié)．

師：這堂課我們經(jīng)歷了偉人的思維歷程，這也是很不平凡的切線發(fā)展歷史．從數(shù)學(xué)家歐幾里得到阿波羅尼斯，再到阿基米德，他們都從“公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”來(lái)看待圓錐曲線的切線．對(duì)圓錐曲線切線定義的局限性，大家都采取回避的態(tài)度，這個(gè)問(wèn)題一直沒(méi)有得到實(shí)質(zhì)性進(jìn)展．直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家重新對(duì)曲線的切線問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究．其中較有影響的是法國(guó)的費(fèi)馬和笛卡兒、德國(guó)的萊布尼茨和法國(guó)的洛比達(dá)，等等．他們跳出了從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、切線和曲線的位置關(guān)系等思維的束縛，從極限的思想指出了切線是割線的極限位置，是連接曲線上無(wú)限接近2點(diǎn)的直線，真正反映了切線的直觀本質(zhì)，體現(xiàn)了微積分中重要的思想——以直代曲．進(jìn)入大學(xué)之后，還將深入學(xué)習(xí)．

最后，針對(duì)文科實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的實(shí)際情況，筆者布置了一道作業(yè)探究題：通過(guò)課后討論、查找資料等方式，圍繞我們做過(guò)的習(xí)題，對(duì)拋物線的一般切線問(wèn)題做深入的探究．

下課鈴響了，學(xué)生們意猶未盡．筆者知道，這節(jié)課的收獲是不小的．

3 幾點(diǎn)思考

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上．教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者．”本課例正是朝著這個(gè)方向努力的．

3.1 概念是數(shù)學(xué)解題的前提

高三的復(fù)習(xí)課很多，很多教師感慨復(fù)習(xí)課上什么內(nèi)容好．一輪復(fù)習(xí)結(jié)束了，二輪復(fù)習(xí)又接著“炒冷飯”，中心就是圍繞“解題”，學(xué)生累，教師也累．在這個(gè)過(guò)程中，我們往往忽視了數(shù)學(xué)概念對(duì)解題的作用．其實(shí)，解題教學(xué)與概念教學(xué)是相輔相成、互為補(bǔ)充的．如果在復(fù)習(xí)階段，學(xué)生對(duì)于切線內(nèi)涵還是處在懵懂狀態(tài)，這對(duì)他們的學(xué)習(xí)是十分不利的．學(xué)生在理解概念的同時(shí)，也在理解數(shù)學(xué)，因此對(duì)于概念性的復(fù)習(xí)課，教師要舍得給時(shí)間．

3.2 認(rèn)知是知識(shí)重組的保證

本堂課的時(shí)間跨度相當(dāng)大，涉及了整塊切線內(nèi)容的復(fù)習(xí)．而對(duì)于切線的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了初中圓的切線，過(guò)渡到圓錐曲線的切線，再延伸到一般曲線的切線．隨著知識(shí)的螺旋上升，學(xué)生對(duì)切線由感性認(rèn)識(shí)上升為理性分析．但是，高中的切線復(fù)雜多變，和學(xué)生頭腦中根深蒂固的圓的切線大相徑庭，知識(shí)點(diǎn)上也各自為政、雜亂無(wú)章，這時(shí)，知識(shí)的重現(xiàn)、重組十分有必要，復(fù)習(xí)課正是給我們提供了這樣一個(gè)整合各知識(shí)模塊的平臺(tái)．

3.3 問(wèn)題是主動(dòng)探究的動(dòng)力

思維從問(wèn)題開(kāi)始，好的問(wèn)題能使思維得到真正的提高．本節(jié)課“以問(wèn)題為中心”來(lái)組織教學(xué)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)，把問(wèn)題貫穿于教學(xué)過(guò)程的始終．筆者認(rèn)為教師最主要的是完成知識(shí)點(diǎn)的牽線搭橋，最關(guān)鍵的是通過(guò)有效設(shè)問(wèn)激發(fā)學(xué)生的思維深度.通過(guò)問(wèn)題探究，變“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探究”，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力；變“教師講解”為“學(xué)生主講”，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；變“劃定框架”為“自由思考”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維．對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題，努力讓學(xué)生獨(dú)立思考或通過(guò)學(xué)生合作交流來(lái)獲得結(jié)果．實(shí)踐證明，通過(guò)這堂課，學(xué)生對(duì)切線的認(rèn)識(shí)更多了，對(duì)切線內(nèi)容的學(xué)習(xí)更有信心了．

3.4 興趣是學(xué)生成功的源泉

興趣是最好的老師．只要把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，一定能學(xué)好數(shù)學(xué)．如何培養(yǎng)學(xué)生的興趣，是永恒的話題．維果茨基認(rèn)為教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)分析并估計(jì)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生努力經(jīng)歷“跳一跳，夠得著”的思維歷程，品味成功的喜悅．當(dāng)學(xué)生得到一個(gè)小小進(jìn)步的時(shí)候，我們要給予積極的正面評(píng)價(jià)．本堂課中，問(wèn)題設(shè)置由淺入深，善于從學(xué)生的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，敢于放手讓學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，在一次又一次的思維碰撞中讓學(xué)生不斷地否定自我又完善自我，品嘗成功的喜悅．師生雙向互動(dòng)交流，在提升學(xué)生能力的同時(shí)，也真正實(shí)現(xiàn)“教學(xué)相長(zhǎng)”．

[1] 殷克明．高中生對(duì)切線的理解——?dú)v史相似性研究[D]．上海：華東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011．