隨機(jī)SIQS傳染病系統(tǒng)的滅絕性和遍歷性

趙亞男，王 宇，夏 蘭，張曉穎

（1.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春130022；2.長(zhǎng)春汽車(chē)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第四中學(xué)，長(zhǎng)春130011；3.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，長(zhǎng)春130012）

0 引 言

流行病動(dòng)力學(xué)通過(guò)疾病內(nèi)在規(guī)律的分析預(yù)測(cè)疾病的發(fā)展趨勢(shì)，給出最優(yōu)控制策略.當(dāng)種群中存在傳染病時(shí)，經(jīng)典的傳染病模型（SIS模型）引入隔離后，總種群（N）分為易感個(gè)體組成的子種群（S）、已染病但未隔離個(gè)體組成的子種群（I）和已染病并被隔離個(gè)體組成的子種群（Q）三類(lèi).設(shè)被隔離者恢復(fù)后也不具有免疫力，此時(shí)相應(yīng)的傳染病模型稱(chēng)為SIQS模型.具有隔離項(xiàng)的傳染病模型［1］為

其中：A，μ，β是正常數(shù)；γ，ε，δ和α是非負(fù)常數(shù)；A是單位時(shí)間內(nèi)因出生和移民而進(jìn)入易感染者S類(lèi)的數(shù)量，簡(jiǎn)稱(chēng)輸入率；μ是死亡率系數(shù)；β是雙線性疾病發(fā)生率系數(shù)；γ和ε分別是從染病者類(lèi)I和隔離者類(lèi)Q到易感類(lèi)的恢復(fù)系數(shù)；δ是隔離率系數(shù)；α是因病死亡率系數(shù).系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)是R0＝Aβ／（μ（γ＋δ＋μ＋α））.

目前，研究隨機(jī)傳染病模型多數(shù)都引入?yún)?shù)擾動(dòng)［2－4］，通過(guò)給出平衡點(diǎn)附近的漸近行為反映疾病的滅絕與流行.文獻(xiàn)［5］則通過(guò)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)加入隨機(jī)擾動(dòng)的方法研究隨機(jī)傳染病模型，并分析得到了即使確定性系統(tǒng)各變量是持久的，而隨機(jī)系統(tǒng)卻終將滅亡.

本文采用類(lèi)似于文獻(xiàn)［5］的方法，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)引入白噪聲干擾，得

其中：Bi（t）（t≥0）是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)；表示白噪聲的強(qiáng)度；i＝1，2，3.系統(tǒng)（2）一般不存在無(wú)病平衡點(diǎn)和有病平衡點(diǎn).本文主要探討隨機(jī)系統(tǒng)在相應(yīng)確定性系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為，在一定程度上反映疾病的流行與消失.當(dāng)隨機(jī)系統(tǒng)的擴(kuò)散項(xiàng)是非退化情形時(shí)，給出系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布，具有遍歷性.

設(shè)X（t）是El（l維Euclid空間）中的一個(gè)自治Markov過(guò)程，可表示為隨機(jī)微分方程

假設(shè)條件：

（H1）存在具有正則邊界Γ的有界區(qū)域U?El，具有如下性質(zhì)：

1）在U及其一些鄰域內(nèi)，擴(kuò)散陣Λ（x）的最小特征值是非零的；

1 正解的存在性和唯一性

定理1 對(duì)于任意給定的初值Y（0）＝（S（0），I（0），Q（0））∈ ?3＋，系統(tǒng)（2）存在唯一的解Y（t）＝（S（t），I（t），Q（t）），t≥0，并且該解以概率1位于?3＋中.

證明：系統(tǒng)（2）的系數(shù)顯然滿足局部Lipschitz條件，從而系統(tǒng)（2）存在唯一的局部解Y（t）（t∈［0，τe）），其中τe是爆破時(shí)間［7］.設(shè)k0足夠大，使得Y（0）的每個(gè)分量都落在區(qū)間［1／k0，k0］中.設(shè)整數(shù)k≥k0，定義停時(shí)

由伊藤公式可得

其中

用與文獻(xiàn)［8］類(lèi)似的方法可證結(jié)果成立.

2 系統(tǒng)（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)P0附近的漸近行為

定理2 若R0≤1，且滿足假設(shè)條件（H2），則系統(tǒng)（2）滿足初值為Y（0）∈?3＋的解Y（t）具有性質(zhì)：

其中：

證明：令x＝S－A／μ.定義V：?3＋→ ?＋，

其中

是正常數(shù).利用伊藤公式，可得

其中

當(dāng)滿足條件（H2）時(shí)，有r1，r2，r3＞0.將式（6）從0到t積分，并對(duì)等式兩邊取數(shù)學(xué)期望，可得

注1 定理2表明，當(dāng)白噪聲的強(qiáng)度足夠小時(shí)，系統(tǒng)（2）的解會(huì)圍繞系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)震動(dòng)，且震動(dòng)大小正比于的大小.即S受白噪聲影響越小，系統(tǒng)（2）的解越接近系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn).

3 系統(tǒng)（2）的遍歷性

定理3 若R0＞1，且滿足條件（H2）及

則對(duì)任意的初值Y（0）∈?3＋，系統(tǒng)（2）存在不變分布μ（·），且是遍歷的.其中

這里r1，r2，r3如定理2中定義，c1，c2，c3如式（5）定義.

證明：定義V：?3＋→?＋，

利用伊藤公式，可得

其中

這里λ如式（8）定義.由于條件（7）成立，因此橢圓－r1（S－S＊）2－r2（I－I＊）2－r3（Q－Q＊）2＋λ＝0全部位于?3＋中.取U為包含橢圓的鄰域，使得?El＝?3＋，且當(dāng)x∈?3＋＼U時(shí)，LV≤－K（K是一個(gè)正常數(shù)），表明假設(shè)條件（H1）中2）滿足.另一方面，存在使得對(duì)所有的（S，I，Q，）∈ˉU，ξ∈?3，有表明假設(shè)條件（H1）中1）滿足.因此，隨機(jī)系統(tǒng)（2）存在平穩(wěn)分布μ（·），且是遍歷的.證畢.

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