主子陣約束下廣義自反矩陣的廣義特征值反問(wèn)題

周 碩，韓明花，季本明

（東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林132012）

0 引 言

矩陣及其特征值反問(wèn)題在科學(xué)和工程計(jì)算中應(yīng)用廣泛［1－7］.矩陣的廣義特征值反問(wèn)題是根據(jù)給定的特征值及（或）特征向量的信息和附加條件，討論Ax＝λBx成立的條件及通解表達(dá)式［2－5］.離散系統(tǒng)的擴(kuò)充問(wèn)題實(shí)際上是矩陣的擴(kuò)充問(wèn)題，矩陣擴(kuò)充問(wèn)題即為子矩陣約束下的矩陣反問(wèn)題，因此研究矩陣擴(kuò)充問(wèn)題對(duì)矩陣?yán)碚摷捌鋵?shí)際應(yīng)用具有重要意義［5－7］.廣義反射陣P的自反陣與反自反陣在工程技術(shù)和科學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［8－11］.文獻(xiàn)［2］研究了廣義反自反矩陣的廣義特征值反問(wèn)題；文獻(xiàn)［3］研究了矩陣A，B分別為廣義自反矩陣和廣義反自反矩陣時(shí)的廣義逆特征值問(wèn)題；文獻(xiàn)［5］利用矩陣對(duì)的廣義奇異值分解研究了子矩陣約束下中心對(duì)稱矩陣束的最佳逼近問(wèn)題.本文利用矩陣對(duì)的商奇異值分解［12］方法，研究主子陣約束下廣義自反矩陣的廣義特征值反問(wèn)題及其最佳逼近，并討論了最佳逼近解的數(shù)值穩(wěn)定性.

定義1 設(shè)P∈Cn×n，若P＝PH，P2＝In，則稱P為廣義反射陣.

定義2［8］設(shè)P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射陣，A∈Cm×n，若A＝PAQ，則稱A 為關(guān)于矩陣對(duì)（P，Q）的廣義自反矩陣.所有m×n階關(guān)于矩陣對(duì)（P，Q）的廣義自反矩陣全體記為（P，Q）；若A＝－PAQ，則稱A為關(guān)于矩陣對(duì)（P，Q）的廣義反自反矩陣.所有m×n階關(guān)于矩陣對(duì)（P，Q）的廣義反自反矩陣全體記為（P，Q）.

問(wèn)題1 給定X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A0，B0∈Cq×q，求矩陣A，B∈Cm×nr（P，Q），使得

其中A（1∶q）和B（1∶q）分別是矩陣A和B的前q階順序主子陣.

其中SE為問(wèn)題1的解集.

當(dāng)P，Q∈Rn×n為對(duì)稱正交矩陣（即P＝PT＝P－1）時(shí)，問(wèn)題1和問(wèn)題2轉(zhuǎn)化為主子陣約束下廣義中心對(duì)稱矩陣的廣義特征值反問(wèn)題；當(dāng)P＝Q＝Sn時(shí)，問(wèn)題1和問(wèn)題2轉(zhuǎn)化為主子陣約束下中心對(duì)稱矩陣的廣義特征值反問(wèn)題［5］.

1 問(wèn)題1的求解

引理1［8］設(shè)P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射矩陣，則存在一個(gè)m×m階酉陣U和一個(gè)n×n階酉陣V，使得P，Q的譜分解為

對(duì)文獻(xiàn)［9］的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行推廣，可得如下引理.

引理2 設(shè)A∈Cm×n，P∈Cm×m，Q∈Cn×n為廣義反射矩陣，且P，Q 的譜分解為式（3），則A∈Cm×nr（P，Q）為廣義自反陣當(dāng)且僅當(dāng)

引理3 對(duì)給定的X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k，矩陣方程AX＝BXΛ恒有解A，B∈Cm×n，且其解可表示為

其中：G∈Cm×（2n－r）是任意矩陣；U2∈C2n×（2n－r）是單位列酉陣，且

引理4 對(duì)給定的 X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，矩陣方程AX＝BXΛ恒有解A，B∈Cm×nr（P，Q），并且其解可表示為

引理1給出了廣義反射矩陣的譜分解形式，引理2～引理4是對(duì)文獻(xiàn)［9］中相關(guān)結(jié)果的推廣，給出了廣義自反矩陣的結(jié)構(gòu)、廣義特征值反問(wèn)題AX＝BXΛ有一般解及廣義自反解的形式.

在引理4的基礎(chǔ)上，可得AX＝BXΛ的廣義自反解，再利用廣義自反矩陣的結(jié)構(gòu)及主子矩陣約束，可得問(wèn)題1有解的充要條件及解的表達(dá)式.

記（Iq，0）U＝（D1，D2），其中：D1∈Cq×t；D2∈Cq×（m－t）.設(shè)D1，D2的商奇異值分解為

其中：E∈Cq×q為可逆矩陣；R∈Ct×t和F∈C（m－t）×（m－t）均為酉陣；

S＝diag（α1，α2，…，αs1）＞0；s1＝rank（D1）＋rank（D2）－l1；l1＝rank（D1，D2）；t1＝l1－rank（D2）；0，O1，O2為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣.

設(shè)

定理1 給定X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A0，B0∈Cq×q，則問(wèn)題1有解的充要條件是

其中X31，X32，X33，X13，X23，X22，Y11，Y12，Y13，Y21，Y31為相應(yīng)階數(shù)的任意矩陣.

進(jìn)而式（16）可轉(zhuǎn)化為

即

將式（9）和式（11）～（13）代入式（19），可得

則式（17）成立當(dāng)且僅當(dāng)式（14）成立，同時(shí)可解得

將式（20）代入式（12）可得式（15），故問(wèn)題1解的一般形式為式（6）.

2 問(wèn)題2的求解

證明：設(shè)

其中：G1＝（g1ij）；G2＝（g2ij）；E1＝（e1ij）；E2＝（e2ij）；F1＝（f1ij）；F2＝（f2ij）∈Rm×n.

令f（G）＝‖G－E‖2＋‖Λ1GΛ2－F‖2，則

由式（22）知f（G）＝min等價(jià)于

而

要使f1（G）最小，當(dāng)且僅當(dāng)

與式（12）的分塊形式相同.

定理2 對(duì)給定的 X＝（x1，x2，…，xk）∈Cn×k，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λk）∈Ck×k和廣義反射陣P∈Cm×m，Q∈Cn×n，A＊，B＊∈Cm×n，問(wèn)題1的解集由式（6）給出，則問(wèn)題2有唯一最佳逼近解∈SE，可表示為

其中：

證明：由定理1及式（23），可得

故‖（A，B）－（A＊，B＊）‖＝min等價(jià)于

由式（25）及引理5可得問(wèn)題2的解為式（24）.

3 最佳逼近解的穩(wěn)定性

引理6 已 知 Δ＝ （xij）∈Cs1×s2，S＝diag（α1，α2，…，αs1），α1≥α2≥ … ≥αs1＞0，C＝diag（β1，β2，…，βs2），β1≥β2≥…≥βs2＞0，則

證明：由

可得式（26）成立.

引理7 已知ΔM22＝（mij）∈Cs1×s2，ΔN22＝（nij）∈Cs1×s2，Δ＝（xij）∈Cs1×s2，Φ＝（φij）∈≥βs2＞0，Δ＝Φ＊（ΔM22－S（ΔN22）C），則

證明：由

可得

而

故由引理6和式（26），可得式（27）.

證明：由定理2及F范數(shù)的酉不變性，有

由引理6和引理7，得

而

于是，由式（29）知

因此，公式（28）成立，證畢.

［1］周樹(shù)荃，戴華.代數(shù)特征值反問(wèn)題 ［M］.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

［2］DENG Ji－en， WANG Hai－ning，CUI Run－qing.Inverse Generalized Eigenvalue Problem for Generalized Antireflexive Matrices［J］.Journal of Henan Polytechnic University：Natural Science，2007，26（3）：340－344.（鄧?yán)^恩，王海寧，崔潤(rùn)卿.廣義反自反陣的廣義特征值反問(wèn)題 ［J］.河南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，26（3）：340－344.）

［3］LIU Neng－dong，ZHANG Zhong－zhi.Inverse Generalized Eigenvalue Problem for Generalized Reflexive and Generalized Anti－reflexive Matrices［J］.Journal of Natural Science of Hunan Normal University，2011，34（4）：1－6.（劉能東，張忠志.廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題［J］.湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（4）：1－6.）

［4］WANG Jiang－tao，ZHANG Zhong－zhi，XIE Dong－xiu，et al.The Inverse Generalized Eigenvalue Problem and the Optimal Approximation for Hermitian－Reflexive Matrices ［J］.Journal on Numerical Methods and Computer Applications，2010，31（3）：232－240.（王江濤，張忠志，謝冬秀，等.埃爾米特自反矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題與最佳逼近問(wèn)題 ［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2010，31（3）：232－240.）

［5］BAO Li－juan，DAI Hua.Optimal Approximation of Centrosymmetric Matrix Pencil with a Submatrix Pencil Constraint［J］.Chinese Journal of Engineering Mathematics，2013，30（2）：205－216.（鮑麗娟，戴華.子矩陣束約束下中心對(duì)稱矩陣束的最佳逼近 ［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（2）：205－216.）

［6］ZHAO Lin－lin，CHEN Guo－liang.One Kind of Inverse Eigenvalue Problems with a Submatrix Constraint［J］.Journal of East China Normal University：Natural Science，2010（5）：27－32.（趙琳琳，陳果良.子矩陣約束下的一類特征值反問(wèn)題 ［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010（5）：27－32.）

［7］MO Rong－h(huán)ua，LI Wen.The Inverse Eigenvalue Problem of Hermitian and Generalized Skew－Hamiltonian Matrices with a Submatrix Constraint and Its Approximation［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31A（3）：691－701.（莫榮華，黎穩(wěn).子矩陣約束下的埃爾米特廣義反漢密爾頓矩陣特征值反問(wèn)題及其最佳逼近 ［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2011，31A（3）：691－701.）

［8］陳景良，陳向暉.特殊矩陣 ［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001：759－768.

［9］WU Chun－h(huán)ong，LIN Lu.Inverse Generalized Eigenvalue Problem for Reflexive Matrices［J］.Journal of Xiamen University：Natural Science，2006，45（3）：305－310.（吳春紅，林鷺.自反陣的廣義特征值反問(wèn)題 ［J］.廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，45（3）：305－310.）

［10］LONG Jian－h(huán)ui，HU Xi－yan，ZHANG Lei.Least－Squares Solution for the Inverse Problem of Reflexive and Anti－reflexive Matrices ［J］.Chinese Journal of Engineering Mathematics，2004，21（8）：22－26.（龍 建 輝，胡錫炎，張磊.自反矩陣和反自反矩陣反問(wèn)題的最小二乘解 ［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21（8）：22－26.）

［11］LIANG Mao－lin，DAI Li－fang，HE Wan－sheng.The Least－Squares Solutions for Two Kinds of Matrix Inverse Problems on Linear Manifolds［J］.Pure and Applied Mathematics，2011，27（6）：787－795.（梁茂林，代麗芳，何萬(wàn)生.線性流形上兩類矩陣反問(wèn)題的最小二乘解 ［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27（6）：787－795.）

［12］CHU De－lin，Moor De B.On a Variational Formulation of the QSVD and the RSVD ［J］.Linear Algebra and Its Applications，2000，311：61－78.