三維 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)分類

祁江艷，張 鈺，趙秀秀，張慶成

（東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，長春130024）

0 引言及預(yù)備知識

分類問題在代數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，目前已有許多研究結(jié)果，如Jacobson［1］給出了低維Lie代數(shù)的分類；Osborn［2］命名了Novikov代數(shù)，應(yīng)用于Poisson結(jié)構(gòu)和Hamiltonian算子中；白承銘等［3］給出了低維Novikov代數(shù)的分類；文獻(xiàn)［4－5］給出了Novikov超代數(shù)的低維分類及一些重要性質(zhì).Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)與Hamilton對聯(lián)系緊密，Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)是由Lie代數(shù)和Novikov代數(shù)在滿足相容性條件下組成的，它符合某個Hamilton對［6］.在量子群理論中，二次和三次共型代數(shù)、頂點算子理論及計算機組合編碼中應(yīng)用廣泛［7－11］.對于Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)的結(jié)構(gòu)，白承銘等［12］已經(jīng)給出了二維Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)的分類.由于三維Novikov代數(shù)的種類繁多、驗證情況復(fù)雜，目前尚未見三維Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)的完全分類報道.本文給出它的完全分類.

本文所涉及的向量空間和代數(shù)均指在復(fù)數(shù)域?上.

定義1 設(shè)L是域?上的向量空間，且L中有一個雙線性運算L×L→L，（x，y）→［x，y］，如果滿足下列兩個條件：

則稱L為域?上的一個Lie代數(shù).

定義2［2］A是域?上的向量空間，在A上定義雙線性積（x，y）→x?y，如果滿足下列3個條件：

則稱A是一個Novikov代數(shù).

定義3［6］若（V，［·，·］）構(gòu)成一個Lie代數(shù)，（V，o）構(gòu)成一個 Novikov代數(shù)，如果Lie代數(shù)和Novikov代數(shù)滿足相容性條件：

則稱雙代數(shù)結(jié)構(gòu) （V，［·，·］，o）是 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［3］分別給出了三維Lie代數(shù)和三維 Novikov代數(shù)的分類.設(shè)Li（i＝1，2，…，5）表示三維Lie代數(shù)的分類；Aj，Bk，Cl，Dm，E1（j＝1，2，…，13；k＝1，2，…，5；l＝1，2，…，19；m＝1，2，…，6）表示三維Novikov代數(shù)的分類.

1 主要結(jié)果

本文給出的三維Novikov代數(shù)的分類結(jié)果均是在去除同構(gòu)情況下得到的.設(shè)e1，e2，e3為Lie代數(shù)的一組基.用o1，o2，o3，o4，o5，o6分別表示 Novikov代數(shù)對應(yīng)于Lie代數(shù)基底的輪換：

定理1 由L1與任一Novikov代數(shù)組成的代數(shù)約定為第一類Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).

證明：因為L1中任意兩個基元素作用均為0，因此L1與任意一類Novikov代數(shù)都滿足式（1）.例如：當(dāng)ω＝e1，μ＝e2，ν＝e3時，式（1）成立.

定理2 將（Li，A1）（i＝2，3，4，5）約定為第二類 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).

證明：A1類Novikov代數(shù)中任意兩個基元素作用均為0，故Li與A1都滿足式（1），證畢.

定理3 （L2，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

證明：首先考慮基底之間的輪換，共有o1，o2，o3，o4，o5，o66種.然后對每種情況驗證是否滿足式（1）.若滿足式（1），則為Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)；若不滿足式（1），則不是 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).最后采用待定系數(shù)法并結(jié)合Lie代數(shù)的自同構(gòu)驗證找出的Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)的同構(gòu)性.由于證明中演算過程過于繁多復(fù)雜，故本文只舉一個例子，其他情況類似.

以（L2，A2）為例.由文獻(xiàn)［1，3］知，

在（L2，A2，o1）中，當(dāng)ω＝e3，μ＝e1，ν＝e2時，

所以它 不 是 Gel’fand－Dorfman 雙 代 數(shù)；在 （L2，A2，o2）中，當(dāng) ω，μ，ν 分 別 取ei，ej，ek所 有 排 列（共3×3×3＝27種情況）時，式（1）均成立，所以它是Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).同理可驗證其余4種情況，可知（L2，A2，o3）不是 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)，而（L2，A2，o4），（L2，A2，o5），（L2，A2，o6）均是Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).最后，利用Lie代數(shù)L2的自同構(gòu)易證明：（L2，A2，o2）與（L2，A2，o3）同構(gòu)；（L2，A2，o5）與（L2，A2，o6）同構(gòu)；（L2，A2，o2）與（L2，A2，o5）不同構(gòu).所以（L2，A2，o2）與（L2，A2，o5）是Gel’fand－Dorfman雙代數(shù).證畢.

同理可證下列定理.

定理4 （L2，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

注1 當(dāng)l＝l1時，（L2，C13，o2）與（L2，C13，o4）同構(gòu).

定理5 （L2，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

1）（L2，D2，o2）；2）（L2，D3，o2）；3）（L2，D3，o4）.

定理6 （L3，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

注2 當(dāng)l＝k＝1時，（L3，A11，o1）與（L3，A11，o3）同構(gòu).

定理7 （L3，B）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

1）（L3，B2，o1）；2）（L3，B3，o1）；3）（L3，B4，o1）；4）（L3，B5，o1）.

定理8 （L3，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

注3 當(dāng)l＝l1，k＝k1時，（L3，C13，o1）與（L3，C13，o3）同構(gòu).

定理9 （L3，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

定理10 （L3，E）類型 Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G 的分類結(jié)果為（L3，E1，o2）.

定理11 （L4，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

注4 當(dāng)β＝β2＝0，δ＝δ2＝1或β＝0，δδ2＝1，δ2≠1時，（L4，A2，o1）和（L4，A2，o3）同構(gòu)；當(dāng)δδ1＝1，l＝l1時，（L4，A7，o1）和（L4，A7，o3）同構(gòu)；當(dāng)β1＝0時，（L4，A7，o3）和（L4，A8，o1）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ1＝1時，（L4，A9，o1）和（L4，A9，o3）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ1＝1時，（L4，A10，o1）和（L4，A10，o3）同構(gòu)；當(dāng)l＝1，δ＝δ1≠1時，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o11）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ2＝1，l＝l2時，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o3）同構(gòu)；當(dāng)β1＝0時，（L4，A12，o1）和（L4，A12，o3）同構(gòu).

定理12 （L4，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

注5 當(dāng)δ＝δ1＝1時，（L4，C6，o1）和（L4，C6，o3）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ1＝1時，（L4，C7，o1）和（L4，C7，o3）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ1＝1，l＝l1時，（L4，C9，o1）和（L4，C9，o3）同構(gòu)；當(dāng)l＝0，δ＝δ1≠1時，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o11）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ2＝1，l＝l2時，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o3）同構(gòu)；當(dāng)δ＝δ1＝1，l＝l1時，（L4，C12，o1）和（L4，C12，o3）同構(gòu)；當(dāng)l＝k＝l1，δ＝δ1≠1時，（L4，C13，o1）和（L4，C13，o11）同構(gòu)；當(dāng)β1＝0時，（L4，C14，o1）和（L4，C14，o3）同構(gòu)；當(dāng)β1＝0，l＝l1時，（L4，C15，o1）和（L4，C15，o3）同構(gòu)；當(dāng)β＝0時，（L4，C16，o1）和（L4，C16，o3）同構(gòu)；當(dāng)β＝0時，（L4，C17，o1）和（L4，C17，o3）同構(gòu).

定理13 （L4，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數(shù)G的分類結(jié)果如下：

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［12］BAI Cheng－ming，MENG Dao－ji.The Automorphisms of Novikov Algebras in Low Dimensions［J］.J Phys A：Math Gen，2003，36（28）：7715－7731.