有限群的Mp－嵌入子群

鮑宏偉，繆利云

（1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理系，安徽 蚌埠233030；2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

對子群嵌入性質(zhì)的探討是群論研究的熱點(diǎn)問題之一.利用嵌入性質(zhì)研究有限群的結(jié)構(gòu)，目前已取得許多成果.例如：Ballester－Bolinches等［1］引入了s－擬正規(guī)嵌入的概念：設(shè)H是群G的子群，如果對于H的任意Sylow子群P，在G中都有一個(gè)s－擬正規(guī)子群K，使得P也是K的Sylow子群，則稱子群H在G 中s－擬正規(guī)嵌入；Asaad等［2］利用s－擬正規(guī)嵌入得到了p－冪零的一些結(jié)論；李樣明等［3］將s－置換嵌入子群、c－正規(guī)子群及弱s－置換子群定義統(tǒng)一推廣為弱s－置換嵌入子群，并得到了超可解研究的一些重要成果；繆龍等［4］給出了M－可補(bǔ)子群的概念并獲得了一些關(guān)于包含超可解群系的飽和群系的一些新刻畫；特別地，Monakhov等［5］根據(jù)文獻(xiàn)［4］的M－可補(bǔ)概念又提出了Mπ－可補(bǔ)的概念，當(dāng)π＝｛p｝時(shí)，稱Mπ－可補(bǔ)為Mp－可補(bǔ)；郭文彬等［6］利用Σ－嵌入子群的概念得到了關(guān)于可解群與p－冪零群的新結(jié)果.

本文利用子群的Mp－嵌入性質(zhì)研究有限群的構(gòu)造，得到了有限超可解群的若干充分條件.本文所有的群均為有限群，所用概念和符號參見文獻(xiàn)［7－8］.

1 預(yù)備知識

定義1［5］設(shè)π為素?cái)?shù)集，對于群G的子群H，如果存在B≤G，使得G＝HB，并且對于H的任意極大子群H1，H1B＜G，其中H1滿足π（H∶H1）?π，則稱子群H 在G中Mπ－可補(bǔ).當(dāng)π＝｛p｝時(shí)，稱 Mπ－可補(bǔ)為Mp－可補(bǔ).

定義2 設(shè)G是有限群，對于群G的子群H，如果存在群G的一個(gè)p－冪零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補(bǔ)，則稱子群H 在G中Mp－嵌入.

群G的Mp－嵌入子群在G中并非都是Mp－可補(bǔ)的.例如：設(shè)群G是36階交換群，且G＝C2×C2×C9，C9是G的循環(huán)Sylow 3－子群，令H＝C2×C2×C3，則H 是G 的M3－嵌入子群，H 在G 中卻不是M3－可補(bǔ)的.

引理1 設(shè)G是有限群，則下述結(jié)論成立：

2）令π是一個(gè)素?cái)?shù)集合，N是G的正規(guī)π′－子群，H 是G的π－子群，如果H 在G中Mp－嵌入，則HN／N 在G／N 中Mp－嵌入.

證明：1）由Mp－嵌入的定義易知結(jié)論正確.

2）因?yàn)镠在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一個(gè)p－冪零子群B，使得Hp∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補(bǔ).又由N是G的正規(guī)π′－子群，H 是G的π－子群及文獻(xiàn)［4］中引理2.1可知，BN／N在G／N中Mp－可補(bǔ).此外，顯然

（HN／N）p∈Sylp（BN／N），故HN／N 在G／N中Mp－嵌入.

引理2［8］設(shè)N是群G的非平凡可解正規(guī)子群，如果N∩Φ（G）＝1，則N的Fitting子群F（N）是G的包含在N中的極小正規(guī)子群的直積.

引理3 設(shè)R是群G的可解極小正規(guī)子群.如果存在R的極大子群R1，使得R1在G中Mp－嵌入，則R是素?cái)?shù)階循環(huán)群.

證明：因?yàn)镽是群G的可解極小正規(guī)子群，所以R是初等交換p－群，其中p∈π（G）.由假設(shè)，R1在G中Mp－嵌入，則存在G的一個(gè)p－冪零子群B，使得R1∈Sylp（B），且B在G中Mp－可補(bǔ).即存在G的一個(gè)子群K，使得

其中Bp′是B的正規(guī)p－補(bǔ)，并且對于R1的任意極大子群T，

因?yàn)镽是G的極小正規(guī)子群，所以R＜TBp′K 或R∩TBp′K＝1.如果R＜TBp′K，則

引理4［9］設(shè)F是包含U的飽和群系，群G有可解正規(guī)子群H，使得G／H∈F.如果對于G的任意極大子群M，使得F（H）≤M或F（H）∩M是F（H）的極大子群，則G∈F.當(dāng)F＝U時(shí)，逆命題也成立.

引理5［10］設(shè)N是群G的子群.如果群G的廣義Fitting子群F＊（G）是G的唯一極大正規(guī)擬冪零子群，則下述結(jié)論成立：

2）若G≠1，則F＊（G）≠1，事實(shí)上，

3）F＊（F＊（G））＝F＊（G）≥F（G）；若F＊（G）可解，則

4）CG（F＊（G））≤F＊（G）；

6）若K≤Z（G），則

2 主要結(jié)果

證明：假設(shè)結(jié)論不真且G為極小階反例.分兩種情形考慮.

情形1）N∩Φ（G）≠1.

由N∩Φ（G）≠1，存在G的一個(gè)極小正規(guī)子群R，使得R≤N∩Φ（G）.由N可解知R是一個(gè)初等交換p－群.顯然，

設(shè)P／R是F（N／R）的一個(gè)Sylowp－子群，則P是F（N）的一個(gè)Sylowp－子群.已知P在G中Mp－嵌入，根據(jù)引理1中結(jié)論1）可知P／R在G／R中Mp－嵌入.再設(shè)Q／R是F（N）／R的一個(gè)非循環(huán)Sylowq－子群，其中q≠p，則Q＝Q1R，Q1是F（N）的一個(gè)非循環(huán)Sylowq－子群.由假設(shè)，Q1在G中Mq－嵌入，根據(jù)引理1中結(jié)論2），Q／R＝Q1R／R在G／R中Mq－嵌入.由G的極小選擇表明G／R∈F，又由于F是飽和群系，因此G∈F，矛盾.

情形2）N∩Φ（G）＝1.

設(shè)P＝Op（N），則P是G一些極小正規(guī)子群的直積.設(shè)

其中Ri（i＝1，2，…，t）是G的極小正規(guī)子群.設(shè)是R1的極大子群，則P1＝×R2×…×Rt是P的極大子群.令M＝R2×…×Rt.因?yàn)镻在G中Mp－嵌入，所以存在群G的一個(gè)p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時(shí)存在G的一個(gè)子群K，使得

定理2 設(shè)G是有限群，如果F＊（G）是可解的，并且F＊（G）的任意Sylow子群在G中Mp－嵌入，則G是超可解的.

證明：假設(shè)結(jié)論不真且G為極小階反例.

1）對于任意的p∈π（F＊（G）），Φ（Op（G））＝1且F＊（G）＝F（G）是可交換的.

若Φ（Op（G））≠1，則由引理5可得

顯然，G／Φ（Op（G））滿足定理的條件，由G 的極小選擇可知G／Φ（Op（G））超可解，所以G超可解，矛盾.此外，Op（G）是初等交換群，F(xiàn)＊（G）是可解群，易知F＊（G）＝F（G）是可交換的.

2）P∩Φ（G）≠1.

設(shè)P是F＊（G）的Sylow子群，則存在G包含在P∩Φ（G）中的極小正規(guī)子群L.由1）知LΦ（P）.因?yàn)镻在G中Mp－嵌入，故存在G的一個(gè)p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時(shí)存在G的一個(gè)子群K，使得

矛盾.

3）P∩Φ（G）＝1.

由引理2，P是G包含在P中的一些極小正規(guī)子群的直積.由式（1）知RiΦ（P）且RiΦ（G）.因?yàn)镻在G中Mp－嵌入，所以存在G的一個(gè)p－冪零子群B，使得P∈Sylp（B），同時(shí)存在G的一個(gè)子群K，使得G＝BK＝PBp′K，其中Bp′是B 的正規(guī)p－補(bǔ)，并且對于P 的任意極大子群P1，由于RiΦ（P），故存在P的極大子群T，使得P＝RiT.因此

由RiΦ（G）得從而P是G的一些p階極小正規(guī)子群的直積.因?yàn)镕＊（G）是自身的Sylow子群的直積，所以可以假設(shè)F＊（G）也是G的一些素?cái)?shù)階極小正規(guī)子群的直積.令

其中Hi（i＝1，2，…，n）是G的素?cái)?shù)階極小正規(guī)子群.因此，F(xiàn)（G）≤Zu（G）.根據(jù)1），可得

易見

是可換的，因此，G／F（G）是超可解的.從而G是超可解的，矛盾.

感謝揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院繆龍教授的悉心指導(dǎo)和有益討論.

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