廣義信息集博弈Nash平衡的本質(zhì)連通區(qū)

孫修勇

（ 凱里學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 凱里 556011 ）

1．引言

近年來，博弈論的研究及應(yīng)用非常活躍，一直是學(xué)界關(guān)注的焦點。從1994年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎授予三位博弈論專家至今，一共有六屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎與博弈論的研究有關(guān)。一方面,博弈論在不斷地拓展其應(yīng)用領(lǐng)域,另一方，面博弈論的研究者們正致力于解決博弈理論本身不斷出現(xiàn)的嚴峻問題。

Nash平衡是非合作博弈理論的核心概念。每一局中人如何通過個人的理性預(yù)測到共同的平衡點，是實際問題中Nash平衡能否真正產(chǎn)生的關(guān)鍵。近年來，Nash平衡的多重性成為博弈論本身，及其應(yīng)用研究中最為棘手的問題。作為以解釋實際現(xiàn)象和解決現(xiàn)實問題為己任的重要理論，博弈論面臨的最大困惑是：平衡點不止一個，甚至有無窮多個。在實際問題中，不同的局中人如何通過個人的理性一致地預(yù)期到同一個平衡點？也就是說，平衡能否真正意義上實現(xiàn)？

多個Nash平衡帶來的這一重大缺陷，一直是博弈論研究者關(guān)注的焦點。從20世紀60年代開始，尋求改進和精煉Nash平衡的機制和方法一直是博弈論研究最活躍的領(lǐng)域。這其中包括了1994 年Selten和 Harsanyi獲得諾貝爾獎的成果---“子博弈精煉Nash平衡”、“顫抖的手的均衡”和“貝葉斯Nash平衡”等，也包括2007年度諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者Myerson提出的“恰當平衡”，Kreps和Wilson提出的“序貫平衡”等精煉Nash平衡的概念。[1]2005年度諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者Aumann和Schelling也曾分別提出過“強均衡”和“聚點均衡”的概念。

圍繞平衡的精煉，1986年Kohlberg與Mertens[2]建立的KM平衡概念（即策略穩(wěn)定集（Strategic Stable Set））是Nash平衡精煉的標志性成果。KM平衡可以歸結(jié)為穩(wěn)定性的方法，即策略集擾動（顫抖）意義下Nash平衡點集的極小本質(zhì)集。KM平衡之所以成為Nash平衡選擇和精煉的一個重要里程碑，是因為它總結(jié)了眾多精煉Nash平衡的概念，并由此提出公理化的框架。令人遺憾的是，Kohlberg和Mertens提出的穩(wěn)定集無法完全滿足他們所給出的KM條件。之后，Mertens、Hillas等人曾經(jīng)圍繞穩(wěn)定集的概念作過一些修正和改進[3-6]，甚至加上了拓撲同倫等一些實際意義不十分明朗的數(shù)學(xué)化條件。因為平衡的多重性是博弈論不得不正視的缺陷，圍繞平衡的選擇和精煉，新的結(jié)果在不斷地涌現(xiàn)[7-15]，但多重 Nash平衡所帶來的問題始終未能得到很好的解決。

針對Nash平衡的多重性，尋求一種普遍認可的機制，尤其是實際意義較為明朗的精煉機制（不完全是純數(shù)學(xué)意義的），是決定博弈理論能否更加合理地解釋實際問題的關(guān)鍵。本文將通過對廣義信息集的方法研究Nash平衡的本質(zhì)連通區(qū)問題。

2．預(yù)備知識

局中人的策略集：對于每一iN∈，非空集合iX為局中人i的策略集，記

也可將此廣義博弈簡記為ΓG= N;X;G;f 。

則稱*x為廣義博弈GΓ的Nash平衡點。

3．廣義博弈Nash平衡的本質(zhì)連通區(qū)

（ⅰ）對于每一iN∈，iX為線性拓撲空間中緊凸子集；

（ⅱ）對于每一iN∈，if在X上連續(xù)；

則廣義博弈GΓ存在Nash平衡點。

其中h為 K （X）上的Hausdorff度量，則ρ1為M1上的度量。

證明：由Φ關(guān)于一致度量的完備性及1ψ關(guān)于一致Hausdorff度量的完備性即可給出證明。

設(shè)廣義博弈

由上述定義，不難驗證下面的引理。

引理 2*xX∈為廣義信息博弈的Nash平衡點當且僅當 x*為最優(yōu)反應(yīng)映射的不動點。

定理2 設(shè)廣義博弈

關(guān)于M的強本質(zhì)連通區(qū)，設(shè)為 c（f, IG,θ）。于是，對任意的0ε﹥，存在0δ﹥，使得對于所有滿足）的，有

[1]D．Fudenberg，J．Tirole， Game Theory， MIT Press， 1998．

[2]E． Kohlberg and J. F. Mertens, On the strategic stability of equilibria，Econometrica，54 （1986），1003-1037．

[3]J．F．Mertens，Stable equilibria-A reformulation，Part I：Definition and Basic Properties, Mathematics of Operations Research，14（1989）， 575-625．

[4]J．F．Mertens，Stable Equilibria - A Reformulation，Part II：Discussion of the Definition and Further Results.Mathematics of Operations Research，16（1991），694-753．

[5]J．F，Mertens，Ordinality in non cooperative games，International Journal of Game Theory，32（2003），387-430．

[6]J．Hillas，On the definition of the strategic stability of equilibria，Econometrica，58（1990）， 1365-1390．

[7]J．Hillas，M．Jansen，J．Potters and D．Vermeulen，On the Relation Among Some Definitions of Strategic Stability，Mathematics of Operations Research，26：3（2002）．

[8]E．Van Damme，Strategic Equilibrium，in R. Aumann and S．Hart （eds．） HANDBOOK OF GAME THEORY，Vol．3，Chapter 41，Amsterdam：Elsevier，2002．

[9]S．Govindan and J．F．Mertens，An equivalent definition of stable equilibria，Intenational Journal of Game Theory，32（2003），339-357．

[10]S．Govindan and R．Wilson，Maximal Stable Sets of Two-Player Games，International Journal of Game Theory，30：4（2001），557-566．

[11]S．Govindan and R．Wilson， Axiomatic Justification of Stable Equilibria， Econometrica．

[12]S．Govindan and R．Wilson, Characterization of Hyperstability， Econometrica．

[13]J．Yu．Essential quilibria for n-person Noncooperative Games，Journal of Mathematical Economics，1999，31：361-372．

[14]Yu，S．W．Xiang，On essential component of the set of Nash equilibrium points，Nonlinear Analysis，1999，38：259-264．

[15]S．W．Xiang，Gui-dong Liu and Yong-hui Zhou．On the strongly essential components of Nash equilibria of infinite n-person games with quasiconcave payoffs，Nonlinear Analysis，2005，63：e2639- e2647．