分塊矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆*

楊曉英, 劉 新

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部, 四川 廣元 628017)

分塊矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆*

楊曉英, 劉 新

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部, 四川 廣元 628017)

給出分塊矩陣關(guān)于子塊在加權(quán)M-P逆意義下的廣義Schur補(bǔ)的加權(quán)M-P逆的表示和分塊矩陣加權(quán)M-P逆表示的一個(gè)充要條件.

分塊矩陣；廣義Schur補(bǔ)；加權(quán)M-P逆；正定矩陣

1 概 述

設(shè)Cm×n是m×n階復(fù)矩陣的集合,Crm×n是秩為r的m×n階復(fù)矩陣的集合,A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，A+表示矩陣A的M-P逆.

加權(quán)廣義逆問題已經(jīng)引起許多學(xué)者的注意，它可應(yīng)用于數(shù)值計(jì)算，統(tǒng)計(jì)學(xué)，控制系統(tǒng)與分析和鞍點(diǎn)問題等.近年來，許多學(xué)者對加權(quán)Moore-Penrose逆的表示做了研究[1-4].2006年,張燕等學(xué)者給出矩陣加權(quán)Moore-Penrose逆存在的一些充分必要條件[2]； 2009年, 國欣榮等得到環(huán)上矩陣存在關(guān)于M,N加權(quán)Moore-Penrose逆的一個(gè)充要條件[3]； 2010年, 劉聲等給出塊對角矩陣的加權(quán)廣義逆的表達(dá)式[4]； 周立仁利用奇異值分解，給出了矩陣15種加權(quán)Penrose型廣義逆的通式與表達(dá)式[5]； 章里程等利用加權(quán)Moore-Penrose逆的定義和性質(zhì)， 獲得了2×2、1×2和2×1分塊矩陣關(guān)于加權(quán)Moore-Penrose逆塊獨(dú)立的一些充分必要條件[6,7]； 2012年, 何興月等用環(huán)論的方法, 得到Qu{mtale上矩陣存在加權(quán)M-P廣義逆的一些等價(jià)刻畫及顯式表達(dá)式[8].主要用定義驗(yàn)證的方法，給出分塊矩陣的加權(quán)M-P逆表示的充要條件，并給出廣義Schur補(bǔ)與加權(quán)M-P逆子塊的幾個(gè)關(guān)系式.

首先介紹一些基本的定義.

定義1[9]設(shè)A∈Cm×n,M∈Cm×m,N∈Cn×n是Hermite正定矩陣, 如果存在唯一矩陣X∈Cm×n, 滿足下列4個(gè)方程：

下面給出廣義Schur補(bǔ)的定義, 以備后面加權(quán)廣義逆表示之用.

設(shè)矩陣H∈C(m+p)×(n+q), 分塊為：

(1)

其中A∈Cm×n,B∈Cm×q,C∈Cp×n,D∈Cp×q

2 主要結(jié)果

下面首先給出分塊矩陣H關(guān)于A和D在加權(quán)M-P逆意義下的廣義Schur補(bǔ)的表示.

定理2.1 若H具有形如(1)的分塊形式，M1和M2分別是m×m和p×p階的正定矩陣，N1和N1分別是n×n和q×q階的正定矩陣，且滿足：

那么

證明： 由矩陣加權(quán)M-P逆的定義容易驗(yàn)證.

下面給出分塊矩陣加權(quán)M-P逆表示的一個(gè)充要條件.

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)

其中

即：

其中

所以

所以

結(jié)合4個(gè)等式成立的充要條件是

故式(2)成立.

用同樣的方法可以證明式(3)成立.

3 結(jié) 論

首先給出廣義Schur補(bǔ)的表示,然后根據(jù)加權(quán)M-P逆需滿足的4個(gè)等式給出分塊矩陣加權(quán)M-P逆表示的一個(gè)充要條件.

[1] DRAGANA S, CVETKOVI I. Expression of the Drazin and MP-inverse of partitioned matrix and quotient identity of generalized Schur complement[J].Applied Mathematics and Computation,2009,213：18-24

[2] 張燕,郭鵬江,魯靜華.關(guān)于一般矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆[J].西南科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,2l(1)：91-94

[3] 國欣榮,岑建苗.環(huán)上矩陣加權(quán)Moore-Penrose 逆存在的條件[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)：理工版,2009,22(3)： 383-386[4] 劉聲,何淦瞳.分塊對角矩陣的加權(quán)廣義逆[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,27(4)：19-21

[5] 周立仁.矩陣加權(quán)Moore-Penrose 逆的通式[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,2：1-6

[6] 郭華.全轉(zhuǎn)置正交矩陣[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,30(1)：18-20

[7] 章里程,廖祖華.分塊矩陣加權(quán)Moore-Penrose逆的塊獨(dú)立性[J].數(shù)學(xué)雜志,2010,30(5)：921-925

[8] 何興月,廖祖華,胡淼涵,等.Quantale矩陣的加權(quán)M-P廣義逆[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012,35(3)：340-344

[9] 程云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2007

[10] 周立新.分塊廣義冪等矩陣的廣義Schur補(bǔ)的一些性質(zhì)[J].賀州學(xué)院學(xué)報(bào),2011,27(2)：129-131

Keywords：block matrix；generalized Schur complement；weighted M-P inverse；positive definite matrix

Weighted Moore-Penrose Inverse of Block Matrix

YANGXiao-ying,LIUXin

(Department of Basic Education,Sichuan Information Vocational College, Sichuan Guangyuan 628017, China)

This paper gives weighted M-P inverse representation of generalized Schur complement under the meaning of weighted M-P inverse about the block of block matrix and presents a sufficient condition for the representation of weighted M-P inverse of block matrix.

1672-058X(2013)10-0013-04

2013-03-17；

2013-04-25.

四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)基金(2012C04).

楊曉英(1984-)，女，山西祈州人，講師，碩士，從事矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用研究.

O151.21

A

責(zé)任編輯：田靜