G2型量子群表示的Gr?bner-Shirshov基*

艾尼·吾司塔， 阿布都卡的·吾甫

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

G2型量子群表示的Gr?bner-Shirshov基*

艾尼·吾司塔， 阿布都卡的·吾甫**

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，烏魯木齊 830046)

用單李代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)表示的Gr?bner-Shirshov基方法，也就是Gr?bner-Shirshov對(pair)方法，來構(gòu)造G2型量子群表示的Gr?bner-Shirshov基是非?？嚯y的。而用雙自由模方法來構(gòu)造G2型量子群的有限維不可約表示的Gr?bner-Shirshov基是非常方便的；以已知的G2型量子群的Gr?bner-Shirshov基為基礎(chǔ)，用雙自由模方法構(gòu)造G2型量子群的不可約表示的Gr?bner-Shirshov基。

量子群；Gr?bner-Shirshov基；合成；雙自由模；最高權(quán)模

在研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)時約化問題是一個根本性的問題。 Buchberger[1]給出了解決約化問題的有效方法，現(xiàn)在稱為Groebner基理論。后來 Bergman[2]通過證明鉆石引理把Buchberger的理論推廣到結(jié)合代數(shù)上。 與此同時，Shirshov[3]在李代數(shù)上發(fā)展了Gr?bner基理論的平行理論。后來Bokut[4]證明了 Shirshov 的方法對結(jié)合代數(shù)同樣可用，因此 Shirshov 對李代數(shù)及其包絡(luò)代數(shù)的Gr?bner基理論被稱為Gr?bner-Shirshov 基理論。后來Bokut 和 Malcolmson[5]給出了量子群的Gr?bner-Shirshov 基的構(gòu)造方法，并且用此方法具體構(gòu)造了量子群Uq(An)的Gr?bner-Shirshov 基。最近文獻[6]用代數(shù)表示論方法分別給出G2型量子群的Gr?bner-Shirshov基。Kang 和 Lee[7]首次給出了關(guān)于表示的Gr?bner-Shirshov 基理論，并且[8]用此理論給出了單 Lie 代數(shù)sln+1上有限維不可約模的Gr?bner-Shirshov 基。幾年后 Chibrikov[9]給出了模的鉆石-合成引理，其中的中心思想是把?？醋鍪请p自由模。后來陳欲群等人[10]用雙自由模方法[9]給出了結(jié)合代數(shù)的表示的Gr?bner-Shirshov基。目的是以G2型量子群的Gr?bner-Shirshov 基為基礎(chǔ)，用雙自由模方法[10]構(gòu)造出G2型量子群的有限維不可約表示的Gr?bner-Shirshov 基。

1 準備知識

現(xiàn)在從文獻[10]中回憶關(guān)于雙自由模的定義。

定義1 設(shè)X，Y是兩個集合，modK是以Y為基的自由左K〈X〉-模，那么modK≡⊕y∈Yky稱為雙自由模。

定義2 設(shè)S?modk是由一些首一元素組成的非空集合，“<”是上面定義的左容許序。稱S是模modk的Gr?bner-Shirshov基，如果S中的所有合成對模S平凡。

以下結(jié)果是雙自由模的Gr?bner-Shirshov基理論的核心內(nèi)容，也就是關(guān)于雙自由模的合成-鉆石引理。

引理1 設(shè)S?modk是由一些首一元素組成的非空集合，“<”是上面定義的左容許序。下列4條等價：

(1)S是modk 的Gr?bner-Shirshov基；

下面定理是自由結(jié)合代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基和雙自由模的Gr?bner-Shirshov基之間的關(guān)系。

定理1 設(shè)X，Y是兩個具有良序的集合，“<” 是X*上的單項式序，“<” 是X*上面定義的左容許序。設(shè)S?k〈X〉 是由首一元素組成的集合，那么S?k〈X〉 是k〈X〉 的Gr?bner-Shirshov基(對于序<)當且僅當SX*Y?modk是modk的Gr?bner-Shirshov基(對于序<)。

其次從文獻[11]中回憶關(guān)于量子群的基本概念。設(shè)Q(v)是個變量v在有理函數(shù)域。設(shè)A(aij)是元素為整數(shù)的可對稱化n×nCartan矩陣，即aii=2，aij≤0(i≠j)，且存在對角矩陣D，其對角線元素di是非零正整數(shù)，使DA是對稱矩陣。 設(shè)q=v2，且對每個i，滿足q4di≠1。量子群Uq(A)是自由Q(v)代數(shù)，其生成元是{Ei，Ki±1，F(xiàn)i1≤i，j≤n}：

2 G2型量子群表示的Gr?bner-Shirshov基

為了簡化書寫，把文獻[6]中Uq(G2)的Gr?bner-Shirshov基所包含的關(guān)系用ei(i=1，2，…，55) 來表示：

e13=E12E2-q-1E2E12-(q+q-1)E122，e14=E1E1 222-q-3E1 222E1-(q2-1)E122E12-(q3-q-q-1)E11 222，

e53=F12F2-q-1F2F12-(q+q-1)F122，

e54=F1F1 222-q-3F1 222F1-(q2-1)F122F12-(q3-q-q-1)F11 222，

e55=F1F2-q-3F2F1-F12。

現(xiàn)在討論量子群Uq(G2) 的有限維不可約表示的Gr?bner-Shirshov基。

(1) 對任意的u=savλ∈SX*vλ，s∈S，a∈X*，如果a≠1，則分3種情況討論：

(2) 如果a=1，即u=svλ∈SX*vλ，其中s∈S=S+c∪K∪T∪S-c，分4種情況討論：

(ii) 如果s∈S-，那么作用對合同構(gòu)ω，可以把此情形轉(zhuǎn)化成前面的情形(i)。

(iii) 如果s∈K，這時有以下3個合成：

(u，hi)ω=KlKivλ-KiKlvλ-KlKivλ+q(λ，l)Kivλ≡-q(λ，i)q(λ，l)vλ+q(λ，i)q(λ，l)vλmod(S1，ω)≡0mod(S1，ω)

(u，hi)ω=KjKivλ-q?aijKiKjvλ-EjKivλ+q(λ，i)Eivλ≡0 mod(S1，ω)

證明完畢。

[1] BUCHBERGER B.An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero dimensional polynomial ideal[M].Austria：University of Innsbruck，1965

[2] BERGMAN G M.The diamond lemma for ring theory [J]. Adv Math，1978(29)：178-218

[3] SHIRSHOW A I.Some algorithmic problems for Lie algebras [J].Siberian Math J，1962(3)：292-296

[4] BOKUT L A. Imbeddings into simple associative algebras [J].Algebra and Logic，1976(15)：117-142

[5] BOKUT L A，MALCOLMSON P.Groebner-Shirshov bases for quantum enveloping algebras [J].Israel Journal of Mathematics，1996(96)：97-113

[6] REN Y H，OBUL A.Gr?bner-Shirshovbasis of quantum group of type G2[J].Comm Algebra，2011，39(5)：1510-1518

[7] KANG S J，LEE K H. Gr?bner-Shirshovbasis for Representation Theory [J].Korean Math Soc，2000，37(1)：55-72

[8] KANG S J，LEE K H. Groebner-Shirshov bases for irreducible sln+1modules [J].Algebra，2000：1-20

[9] CHIBRIKOV E S.On free Lie conformal algebras [J].Vestnik Novosibirsk State University，2004，4(1)：65-83

[10] CHEN Q Y，CHEN Y S， ZHONG C Y. Composition-Diomond Lemma for Modules [J].Czechoslovak Math J，2010，60(135)：59-76

[11] JIMBO M. A q-difference analogue of U(G) and the Yang-Baxter equation [J].Letters in Mathematical Physics，1985,10(1)：63-69

Gr?bner-Shirshov Basis Represented by G2-Type Quantum Group

AiniUtta,AbdukadirObul

(School of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

The construction of Gr?bner-Shirshov Basis represented by G2-type quantum group by Gr?bner-Shirshov Basis method represented by universal enveloping algebras of simple Lie algebras, i.e. Gr?bner-Shirshov pair method, is very difficult, however, the construction of Gr?bner-Shirshov Basis represented by finite dimensional irreducible of G2-type quantum group by double free modules is convenient. By taking Gr?bner-Shirshov Basis of G2-type quantum group as the basis, this paper uses double free modules method to construct Gr?bner-Shirshov Basis of irreducible representation of G2-type quantum group.

quantum group；Gr?bner-Shirshov Basis；composition；double free modules；the highest weight module

O151

A

責任編輯：田靜

2013-06-02；

2013-06-25.

國家自然科學基金(11061033).

艾尼·吾司塔(1981-)，男，新疆人，碩士研究生，從事代數(shù)表示論與量子群研究.

**通訊作者：阿布都卡的·吾甫(1963-)，男，教授，從事代數(shù)表示論、量子群及Gr?bner-Shirshov 基理論研究.

1672-058X(2013)11-0001-05