五邊形鏈的Hosoya指標*

田文文 ， 楊 斐， 田雙亮

(西北民族大學 a.數(shù)學與計算機科學學院；b.中國民族信息技術研究院 蘭州 730030)

五邊形鏈的Hosoya指標*

田文文a， 楊 斐b， 田雙亮c

(西北民族大學 a.數(shù)學與計算機科學學院；b.中國民族信息技術研究院 蘭州 730030)

Hosoya指標是化學分子圖論研究中較為流行和重要的拓撲指標之一,主要對五邊形鏈在不同構聯(lián)接位下的Hosoya指標進行了研究，并給出了更為一般的計算公式.

五邊形鏈；Hosoya指標；計算公式

0 引 言

Hosoya指標是由日本化學家Haruo Hosoya于1971年在文獻[2]中提出并進行研究的，它表示圖G中所有匹配的數(shù)目，記為μ(G).該指標與物質的沸點、熵、化學鍵的計算和化學結構等有著密切的聯(lián)系，且有著較為廣泛的應用，相關的應用參見文獻[3-5].文獻[7]中研究了五角鏈關于k-匹配的極端情形，并得出了相應的極圖.本文通過n個五邊形在不同構聯(lián)接位下構造了兩類特殊的五邊形鏈，并且研究了這兩類五邊形鏈的Hosoya指標，給出了具體表達式.

設G=(V，E)是一個簡單圖，它的點集和邊集分別為V(G)和E(G).令e和x分別為圖G的一條邊和一個頂點，用G-e表示圖G刪去邊e得到的圖，用G-x表示圖G刪去頂點x(及關聯(lián)的邊)得到的圖.若B?E(G)，對任意的兩條邊e1，e2∈B，且e1與e2無公共頂點，則稱B為圖G的一個匹配，其中空集為任何圖的一個匹配.本文中Fn表示Fibonacci數(shù)，即滿足：Fn=Fn-1+Fn-2，n≥2，且F0=0，F(xiàn)1=1.文中未加說明的符號及術語參見文獻[1].

定義1 設Q1，Q2，…，Qn為n個五邊形構成的序列.則稱該序列為五邊形鏈，記為Wn，如果滿足：

(i) 對任意的1≤s

(ii) 每個正方形與割邊的頂點都為3度頂點.

用Φn表示含有n個五邊形構成的五邊形鏈的全體.設Wn∈Φn，則五邊形鏈Wn(n≥2)可由Wn-1再聯(lián)接一個五邊形得到，而每個鏈中的五邊形都有4個可聯(lián)接位，其中與接點距離相等的兩個可聯(lián)接位是同構的，所以只有兩種非同構的聯(lián)接方式：Wn-1→[Wn-1]k=Wn，其中k=1，2，分別稱為1-位聯(lián)接和2-位聯(lián)接，如圖1所示。

圖1 兩種聯(lián)接方式

圖2 五邊形鏈和

在證明主要結論之前，先給出文獻[4]中的幾個相關引理如下：

引理1 設G是一個簡單圖，對任意的u，v∈V(G)，uv∈E(G)，有μ(G)=μ(G-uv)+μ(G-u-v).

引理3 對于n階的路Pn，有μ(Pn)=Fn+1.

引理4 對于n階的圈Cn，有μ(Cn)=Fn+1+Fn-1.

1 主要結論及其證明

定理1 對任意的正整數(shù)n≥2，有：

證明(i) 如圖2所示，根據(jù)引理1可得：

改革開放40年，隨著社會主義市場經濟的確立和經濟的快速發(fā)展，今日之中國已成為世界第二大經濟體，與此相適應的社會變遷正在使轉型中的中國社會處于深刻變革之中。為適應新形勢下全面深化改革的需要，中共十八屆三中全會通過對以往創(chuàng)新社會管理實踐探索的理論提升，對創(chuàng)新社會治理、改進社會治理方式提出了新的要求。從創(chuàng)新管理到創(chuàng)新治理，意味著黨的治國理政方略在處理國家與社會之關系上的重大轉變，即由自上而下政府一元主導的社會管理向政府主導多元主體協(xié)同共建共治的系統(tǒng)治理的轉變。

所以

從而

(ii) 如圖2所示，根據(jù)引理1可得：

所以

從而

3 進一步的結果

定理2 對任意的正整數(shù)n≥2，有：

從而

[1] BONDY J A，MURTY U S R.Graph theory with applications[M].New York：The Macmillan Press，1976.

[2] HOSOYA H.Topological index[J].Bull Chem Soc Japan，1971，44：2332-2339.

[3] MERRFIELD R E，SIMMONS H E.Topological Methods in Chemistry[M].New York：Wiley，1989.

[4] GUTMAN I，POLANSKY O E.Mathematical Concepts in Organic Chemistry[M].Berlin：Springer，1986.

[5] GUTMAN I，CYVIN S J.Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M].Berlin：Springer，1989.

[6] WAGNER S，GUTMAN I.Maxima and minima of the Hosoya Index and the Merrifield-Simmons index[J].Acta Appl Math.2010，112：323-346.

[7] 曹月芬，張福基.基于k-匹配的極值五角鏈[J].廈門大學學報：自然科學版，2008，47(4)：471- 474.

Hosoya Index of Pentagon Chains

TIANWen-wen1,YANGFei2,TIANShuang-liang1

(1.School of Mathematics and Computer Science, Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030, China；2. China Minorities Information Technology Institute, Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030, China)

Hosoya index is one of the popular important topological indexes in the study of Chemistry molecular graph theory. This paper studies Hosoya index under different isomorphically connected positions of pentagon chains and gives more general computation formula.

pentagon chain；Hosoya index；computation formula

1672-058X(2013)09-0029-05

2013-04-17；

2013-05-17.

國家自然科學基金資助項目(11161041)；西北民族大學中央高?？蒲袑ｍ椯Y金資助研究生項目(ycx13160)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金項目(zyz2012077).

田文文(1987-)，男，甘肅天水人，碩士生，從事圖論與組合優(yōu)化研究.

O157.5

A

責任編輯：代小紅