向量變分原理

陳 紅 英

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

向量變分原理

陳 紅 英

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

證明了Ekeland形式的向量變分原理，其目標函數(shù)是被xiu擾動的單調(diào)半連續(xù)函數(shù).

向量變分原理；擬度量空間；可數(shù)有續(xù)集；Ekeland 變分原理

眾所周知，I.Ekeland[1，2]在1972年給出了帶擾動的下半連續(xù)函數(shù)取嚴格極小值和下方有界的下半連續(xù)函數(shù)的近似值存在性的變分原理.其在非光滑分析、最優(yōu)化理論、控制理論、向量均衡問題、偏微分方程及臨界點理論中有著許多應(yīng)用.因此，Ekeland 變分原理在向量值映射和極值映射的多種等價形式被證明[3-5].特別地，Y.X.Li[6]等在完備度量空間中研究了一般Ekeland ε-變分原理.L.J.Lin[7]在完備度量空間中證明了廣義Ekeland 變分原理，并利用其推導出廣義Caristi不動點定理.此處在完備的擬度量空間下，證明了Ekeland形式的向量變分原理.

1 預備知識

為了得到主要結(jié)果，首先引入下面的定義、定理和引理.

設(shè)X為非空集合.實值函數(shù)d：X×X→R+對任意的x，y，z∈X滿足：(1)d(x，y)≥0；(2)d(x，y)=0當且僅當x=y；(3)d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)，則稱d是X上的擬度量，(X，d)稱為擬度量空間.

設(shè)X為非空集合，X×X：={(x1，x2)|x1，x2∈X}，s是X×X的一個非空子集.如果(x1，x2)∈s，記為x1sx2.現(xiàn)對s規(guī)定：(1)自反性：若對任意x∈X，有xsx；(2) 傳遞性：若對任意的x1，x2，x3∈X：x1sx2，x2sx3?x1sx3；(3) 反對稱性：若對任意的x1，x2∈X：x1sx2，x2sx1?x1=x2.若xs*y，當且僅當存在X中的有限個元素x1，x2，…，xn∈X使得x=x1，x1sx2，…，xn-1sxn，xn=y，關(guān)系s*是關(guān)系s的傳遞閉包.顯然，如果s具有傳遞性，則s=s*.

定義1[8]設(shè)s為非空集合X上的二元關(guān)系，X0?X是非空集合，元素x0∈X0稱為X0關(guān)于關(guān)系s的最大元素(s-最大)，如果對每個x∈X0，x0sx?xsx0.這一類X0關(guān)于關(guān)系s的最大元素記為Max(X0，s).

當s為X上一個偏序關(guān)系，則定義1可改寫為：x0∈X0是s-最大，如果對每個x∈X0，x0sx?x=x0.事實上，如果x0∈X0是s-最大，s又是一個偏序關(guān)系，滿足傳遞性，則x0sx?xs*x0，所以存在有限個元素x1，x2，…，xn∈X使得x=x1，x1sx2，…，xn-1sxn，xn=x0，由s的傳遞性，xsx0；又s的反對稱性，x=x0.

定義2[8]設(shè)集合X具有關(guān)系s?X×X，稱X是關(guān)于s的可數(shù)有序集，如果對每個非空子集W?X，存在W上的一個良序μ，使得對任意v，w∈W，v≠w，

vμw?vs*w

蘊含W是至多可數(shù).

定理1[9]設(shè)集合X是關(guān)于s?X×X的可數(shù)有序集，假如對任意序列(xi)?X，i∈N滿足xisxi+1，存在一個子序列(xik)?(xi)，一個元素x∈X，使得對所有的k∈N，xiksx，則存在X的一個s*-最大元素.

由定理1可以直接得到下面引理.

引理1 設(shè)集合X是關(guān)于s?X×X的可數(shù)有序集，且s具有傳遞性，假如對任意序列(xi)?X，i∈N滿足xisxi+1，存在一個子序列(xik)?(xi)，一個元素x∈X，使得對所有的k∈N，xiksx，則存在X的一個s-最大元素.

設(shè)X是拓撲向量空間，Y是局部凸空間，即Y是具有凸領(lǐng)域基的拓撲線性空間.K?Y是Y中的凸錐，對任意的x，y∈Y，定義

x≤Ky?y-x∈K

定義3[10]函數(shù)f：X→Y關(guān)與K在x∈X是單調(diào)半連續(xù)(msc)，如果對每個序列(xi)?X，xi→x，滿足f(xi+1)≤Kf(xi)，i∈N，都有對i∈N，f(x)≤Kf(xi).稱函數(shù)f：X→Y在X上單調(diào)半連續(xù)，如果f在每一點x∈X單調(diào)半連續(xù).

函數(shù)f是K-有界的，如果存在Y的一個有界子集M，使得f(X)?K+M.

2 主要結(jié)果

下面的定理給出向量Ekeland變分原理.

證明設(shè)x∈X且A：={v∈X：(f(x)-K)∩(f(x)+d(x，v)D)≠?}，r?X×X是一個二元關(guān)系，定義如下：對任意u，v∈X，urv?(f(u)-K)∩(f(v)+d(u，v)D)≠?.

事實上，如果urv，vrw，則對某個適當?shù)?/p>

kv∈K，dv∈D，f(u)=f(v)+kv+d(u，v)dv

(1)

kw∈K，dw∈D，f(v)=f(w)+kw+d(v，w)dw

(2)

將式(2)代入式(1)得：

(3)

如果d(u，v)+d(v，w)=0，則u=v=w，所以f(u)=f(w).

如果d(u，v)+d(v，w)≠0，因為D?K是凸集，則

所以d(u，v)dv+d(v，w)dw∈(d(u，v)+d(v，w))D.

又因為K?Y是Y中的閉凸錐，D?K，所以d(u，v)dv+d(v，w)dw∈d(u，v)D+K，由式(3)知，f(u)∈f(w)+d(u，w)+K.

綜上所述：urv，vrw?urw，即關(guān)系r?X×X具有傳遞性.這個證明的主要步驟是運用定理1證明A具有r-最大元素.因為A={v∈X，xrv}，所以任意A的r-最大元素是X的r-最大元素.因為0?cl(D+K)，對一些ε>0，任意d∈D，k∈K，存在y*∈Y*，使得

(y*，d)+(y*，k)>ε

所以，對任意k∈K，(y*，k)≥0且infd∈D(y*，d)>0.此外，如果urv，u≠v，則f(u)=f(v)+d(u，v)d+k，其中d∈D，k∈K，所以

(4)

下面證明A是關(guān)于r的可數(shù)有序集.

設(shè)?≠W?A是A的任意子集，且在W上存在一個良序s滿足：對任意u，v∈W，u≠v，usv?urv，所以對任意u，v∈W，u≠v，usv?urv?(y*，f(u))>(y*，f(v))，因此y*°f(W)?R是關(guān)系“>”的良序，y*°f(W)是至多可數(shù)的.

又因為y*°f(W)是W上的一一映射，所以W是至多可數(shù)的.

下證對任意序列(xn)?A，n∈N，xnrxn+1，存在x0∈A，對任意n∈N，xnrx0.

如果對一些m∈N，xm=xm+1=…，則上面結(jié)論顯然成立.

xnrxn+1?f(xn)-f(xn+1)=kn+d(xn，xn+1)dn∈K，dn∈D，kn∈K

因為f是K-有界的，對任意的m∈N，有

由于X的完備性，(xn)收斂于X中的確定點x0.由f是單調(diào)半連續(xù)的，則f(xn)-f(x0)∈K.

(5)

由r的定義，對任意n∈N，m≥n，有

因為f(xm+1)-f(x0)∈K，有

當m→時，由K是閉的，式(5)成立.由定理1，存在r-最大元素A.

證明證明方法與定理2類似.

[1] EKELAND I.Sur les probemes variationnels[J]. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences-Series I，1972(275)：1057-1059

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Vector Variational Principle

CHENHong-ying

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

The Ekeland-type vector variational principle is proved, and its objective function is monotone semi-continuous function by the perturbation by xiu.

vector variational principle；quasi-metric space；countably orderable set；Ekeland variational principle

1672-058X(2013)09-0014-04

2013-03-20；

2013-04-24.

陳紅英(1988-)，女，重慶潼南人，碩士，從事最優(yōu)化方法及應(yīng)用研究.

O176

A

責任編輯：李翠薇