萊蕪市人口的具有外生變量的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

趙憲民

（萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，山東 萊蕪 271100）

0 前 言

時(shí)間序列是按照時(shí)間順序取得的一系列觀察值，時(shí)間序列數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征就是相鄰觀察值之間的依賴性。所以在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，一般的回歸模型難以體現(xiàn)變量自身前后及應(yīng)變量與自變量過去的依賴關(guān)系。ARIMA模型是對(duì)變量自身前后依賴性進(jìn)行分析的技術(shù)，它描述了變量自身當(dāng)前與過去的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，在顯示變量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（dynamical system）演變規(guī)律方面有著較為豐富的結(jié)構(gòu)。但是由于ARIMA模型沒有考慮其它變量對(duì)應(yīng)變量的作用，所以也無法表達(dá)系統(tǒng)中變量間相互影響的關(guān)系。傳遞函數(shù)模型可在一定程度上彌補(bǔ)這兩種模型的欠缺，并且模型構(gòu)造靈活，可以用較少的參數(shù)建立階數(shù)較高的模型。

國內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)人口問題進(jìn)行了廣泛的研究，常見的有依據(jù)社會(huì)人口結(jié)構(gòu)的Keyfitz矩陣方程模型、Lesilie矩陣方程模型、人口發(fā)展方程和指數(shù)方程模型及Logistic模型等［1－3］。對(duì)于時(shí)間序列模型，陳愛蓮、安和平［4］、趙進(jìn)文［5］、張慧芳［6］等用不同的方法對(duì)中國人口總量進(jìn)行了探討，都得到了較好的預(yù)測(cè)效果。

對(duì)于有關(guān)經(jīng)濟(jì)增長、經(jīng)濟(jì)發(fā)展與人口增長的關(guān)系問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的實(shí)證研究，大都采用簡單相關(guān)與回歸分析方法來揭示其存在的關(guān)系。趙文進(jìn)［5］、王謙［6］、郭震威［7］都指出雖然經(jīng)濟(jì)增長（GDP）與人口增長之間存在著很強(qiáng)的相關(guān)性，但并不是簡單的線性關(guān)系，并不能采用簡單的線性回歸模型來揭示經(jīng)濟(jì)增長與人口之間的相互影響。并與眾多文獻(xiàn)一樣，認(rèn)為目前我們還很難計(jì)算經(jīng)濟(jì)增長與人口的數(shù)量關(guān)系?；诖?，我們不妨考慮將經(jīng)濟(jì)增長量作為外生變量添加到人口時(shí)間序列模型中。本文就以萊蕪市人口總量和GDP總量為例，建立含有外生變量的人口時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，并對(duì)模型的精確度進(jìn)行檢驗(yàn)，及對(duì)萊蕪市未來幾年人口進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 ARIMA模型的介紹

1970年Box和Jenkins提出ARIMA （autoregressive integrated moving average）模型，也稱為Box－Jenkins法［8］。該模型適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列，應(yīng)用中需要通過若干次差分將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，再對(duì)此平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行定階和參數(shù)估計(jì)，得到（p，q）的值，然后就可以應(yīng)用ARIMA（p，d，q）模型，其中p為模型的自回歸項(xiàng)數(shù)，q為模型的滑動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)之前必須做差分的次數(shù)。本質(zhì)上來說ARIMA模型是將時(shí)間序列平穩(wěn)化后由ARMA模型來處理是一相同過程。

從定義上來說即是：一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列Yi，通過 ▽Yt＝Y(jié)t-Yt－1，▽2Yt＝ ▽（▽Yt）＝ ▽（Yt-Yt－1），……等依次差分成平穩(wěn)時(shí)間序列Wt，使得Wt滿足ARMA（p，q）模型：

且φ（B）＝0與θ（B）＝0所有根的模大于1；φ1，φ2，…，φp為自回歸參數(shù)；θ1，θ2，…θq為滑動(dòng)平均參數(shù)；隨機(jī)項(xiàng)et為服從0均值、方差為σ2e且互相獨(dú)立的白噪聲序列；則稱Wt為綜合自回歸移動(dòng)平均序列，即ARIMA（p，d，q），所以ARIMA模型的一般形式為：

2 數(shù)據(jù)的處理

萊蕪市1990年至2011年的人口總量和GDP總量數(shù)據(jù)來自于萊蕪市統(tǒng)計(jì)年鑒［9］。記萊蕪市人口總量序列為｛Yt｝，GDP總量序列為｛Xt｝，如圖1和圖2所示。從圖1和圖2中可以看出，兩序列都具有明顯的增長趨勢(shì)，它是非平穩(wěn)的，需要對(duì)其進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

圖1 1990—2011年萊蕪市人口總量

圖2 1990—2011年萊蕪市GDP總量

2.1 平穩(wěn)化處理

根據(jù)1987—2009年數(shù)據(jù)自身特點(diǎn)及建模的需要，通過對(duì)萊蕪市人口總量序列進(jìn)行二次差分，對(duì)萊蕪市GDP總量序列進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后二次差分得到平穩(wěn)時(shí)間序列，即

其中▽是差分算子，Yt表示第t年萊蕪市的人口總量；Xt表示第t年萊蕪市的GDP總量。變換數(shù)據(jù)如圖3和圖4所示。

圖3 萊蕪市人口總量平穩(wěn)化處理序列圖

圖4 萊蕪市GDP總量平穩(wěn)化處理序列圖

傳遞函數(shù)模型為：

其中，ω（B）＝α1B＋α2B＋…＋αsB，δ（B）＝β1B＋β2B＋…＋βrB，Nt是噪聲序列，可用ARMA模型描述為：Nt＝φ（B）－1θ（B）et，式中，φ（B）、θ（B）是B的多項(xiàng)式，et是白噪聲序列。

2.2 平穩(wěn)序列的檢驗(yàn)

如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，如存在一定的增長或下降趨勢(shì)等，則需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分或滑動(dòng)平均法處理，使得數(shù)據(jù)平穩(wěn)。一般采用ADF（augment Dickey-Fuller test）檢驗(yàn)定量檢驗(yàn)變換序列的平穩(wěn)性，即先擬合序列的適應(yīng)模型，然后求由該模型的參數(shù)組成的特征方程的特征根。

表1 萊蕪市人口總量平穩(wěn)化ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表2 萊蕪市GDP總量平穩(wěn)化ADF檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可知，對(duì)萊蕪市人口總量平穩(wěn)化后ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-13.312 94，小于給出的1%～10%的臨界值，所以拒絕原假設(shè)，說明序列不存在單位根，即該序列是平穩(wěn)的。同理，萊蕪市GDP總量平穩(wěn)化后ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-6.445 136，介于1%～5%水平之間，在給定的α＝0.05顯著性水平下，依然拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列是平穩(wěn)的，可以建模使用。

3 模型階數(shù)的確定與參數(shù)估計(jì)

對(duì)模型階數(shù)的確定采用AIC和BIC準(zhǔn)則進(jìn)行定階。AIC和BIC準(zhǔn)則定義為

其中，是模型中噪聲項(xiàng)方差的最小二乘估計(jì)，N為樣本容量。若

則確定 ARMA 模型階數(shù)為 （p0，q0）［8］。

在AIC和BIC準(zhǔn)則下，運(yùn)用Eviews軟件求得在所有p，q組合情況下對(duì)應(yīng)的AIC和BIC值，通過比較得出，當(dāng)萊蕪市人口總量的滯后階數(shù)p＝2，q＝1時(shí)，AICmin＝0.4681，BICmin＝0.6165。故初步判定萊蕪市人口總量滯后階數(shù)p＝2，q＝1。同理初步確定萊蕪市GDP總量滯后階數(shù)p＝1。

由以上分析初步建立模型為：

將▽2Yt記為Wt，▽2lnXt記為Vt則上式可簡寫為

根據(jù)建立的模型，運(yùn)用EViews軟件對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，具體結(jié)果見表3。

由表3最后一列中的p值可知，在顯著性水平α＝0.05下，各變量的系數(shù)均是顯著的。因此建立的含外生變量時(shí)間序列模型為

4 模型的自適應(yīng)檢驗(yàn)

將式 （1）還原為實(shí)際人口總量數(shù)據(jù)和GDP總量數(shù)據(jù)模型為：

根據(jù)建立以上建立的含有外生變量的時(shí)間序列模型［11］，對(duì)萊蕪市2002-2011年總?cè)丝跀M合，計(jì)算結(jié)果見表4。

表4 基于ARIMA （2，2，1）模型對(duì)萊蕪市2002-2011年人口總量擬合

從表4中可以看出模型擬合的相對(duì)誤差在0.7%以下，擬合效果較為理想。

5 模型的應(yīng)用

由于GDP作為外生變量，若要對(duì)未來人口總量進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要知道未來幾年的GDP總量。在此，根據(jù)已平穩(wěn)化的GDP序列數(shù)據(jù)，采用時(shí)間序列模型對(duì)未來GDP總量進(jìn)行預(yù)測(cè)。表5給出了利用所建立含外生變量的時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)［12］萊蕪市2010-2016年人口總量及其增長速度的計(jì)算結(jié)果。此外，算得萊蕪市 “十二五”期間 （2011—2015年）人口總量的平均增長速度約為0.4萬人。

表5 萊蕪市2010-2016年人口總量及其增長速度

6 結(jié) 論

本文針對(duì)萊蕪市地方人口總量的發(fā)展趨勢(shì)，結(jié)合其與GDP總量的關(guān)系建立了含有外生變量的時(shí)間序列模型，擬合相對(duì)誤差普遍在0.7%以下。表明人口總量與GDP總量之間有直接的依存關(guān)系，一定程度上揭示了人口增長與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系。因此建立以GDP總量為外生變量的人口總量時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型是合理的。

根據(jù)凈增人口序列｛Yt-Yt－1｝可知，萊蕪市總?cè)丝谠?990-2001年平均每年增量在1.1萬左右，2002年以后人口增量有所下降，平均在0.4萬人左右。萊蕪市 “十二五”期間人口總量年凈增人口和環(huán)比增長速度分別穩(wěn)定在0.4萬人和0.3%左右，人口總規(guī)模將近130萬。結(jié)果反映出黨和國家的計(jì)劃生育政策和促進(jìn)中部崛起計(jì)劃在萊蕪市得到了貫徹落實(shí)。

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