羅茨風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性分析

吳國帥， 王 棟

(西北工業(yè)大學航空學院，陜西 西安 710072)

0 引言

羅茨鼓風機是一種使用范圍很廣的機械設備，被廣泛使用于污水處理、電力、化工及水產(chǎn)養(yǎng)殖等領域，作為一種重要的工業(yè)設備，它的主要做功部件是一對具有兩葉或三葉的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[1]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為羅茨風機最主要的工作部件，由于設計不合理、材料質(zhì)地不均勻、加工組裝誤差以及運行過程中集灰、磨損等原因使轉(zhuǎn)子在運行過程中產(chǎn)生不平衡力，導致轉(zhuǎn)子中心慣性力偏離其旋轉(zhuǎn)中軸線，這樣機器在運轉(zhuǎn)時會出現(xiàn)附加慣性力，通過軸承傳遞到整個風機箱體上。不平衡力的出現(xiàn)會給機器帶來振動以及噪聲，降低軸承零部件的壽命。因此，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平衡性的好壞是決定羅茨風機振動強弱的重要因素[2]。羅茨鼓風機結(jié)構復雜，形式多樣，振動耦合嚴重，如果轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率和風機箱體的頻率一致或相近，會使箱體組件產(chǎn)生共振，加劇風機振動，產(chǎn)生更大的噪聲，所以風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動已經(jīng)成為阻礙風機提高性能、穩(wěn)定性和安全性的重要因素[2]。羅茨風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作中主要承受轉(zhuǎn)子不平衡力、齒輪嚙合力、葉輪嚙合沖擊力等的作用，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生周期性的扭轉(zhuǎn)應力和彎曲應力，使轉(zhuǎn)子在工作過程中既彎曲又扭轉(zhuǎn)，出現(xiàn)疲勞損傷，附帶的也會影響其它部件的正常運轉(zhuǎn)。所以只要獲取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的應力、應變以及模態(tài)參數(shù)，就能對設計出好的轉(zhuǎn)子提供積極的參考作用。有限元法在振動方面已經(jīng)有了一定的研究，如譚青等[3]對離心式鼓風機轉(zhuǎn)子采用集中參數(shù)法建模，利用傳遞矩陣法編程求解轉(zhuǎn)子不平衡響應，并提出一種基于振型分析的最大值估算法;錢網(wǎng)生[4]使用降噪結(jié)構設計和模態(tài)實驗技術相結(jié)合的方法，來降低空調(diào)風機的振動噪聲。

現(xiàn)有文獻關于羅茨風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性研究較少，本文以某羅茨風機轉(zhuǎn)子為例，建立有限元結(jié)構模型，用有限元分析軟件ANSYS研究其動態(tài)特性。通過本文研究，可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)、諧響應特性，了解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動頻率、振動形式和振動強弱，并可以在風機設計之初，預估風機系統(tǒng)的振動特性，為改善風機系統(tǒng)的動態(tài)性能提供理論依據(jù)。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型建立

某羅茨風機建模的主要尺寸有:轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總長605 mm，三葉輪型線為漸開線，葉輪最大寬度59 mm，葉峰到葉輪中心的距離為87 mm，三葉輪兩端中心空腔直徑32 mm，長41 mm，三葉輪中心空腔直徑42 mm，葉輪中心兩端空腔直徑45 mm，葉輪總長350 mm，葉輪軸最大直徑55 mm，軸為階梯狀結(jié)構;齒輪法向模數(shù)2.5 mm，齒數(shù)48，分度圓直徑120 mm，齒寬45 mm。該轉(zhuǎn)子材料45鋼，楊氏模量200 GPa，密度 7 800 kg/m3，泊松比 0.3。

1.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡化

采用Pro/E5.0繪制羅茨鼓風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實體結(jié)構模型，如圖1所示。根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構特點和計算需要，忽略了倒角、鍵槽等對轉(zhuǎn)子剛度與質(zhì)量影響不大的結(jié)構。將Pro/E5.0建立的三維模型生成符合IGES標準的接口文件，通過通用接口導入有限元軟件。

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型建立

網(wǎng)格劃分采用Mesh工具劃分，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表面采用Workbench中Map設置，局部采用Sizing設置，葉輪部分設置10 mm，齒輪部分設置5 mm，劃分中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)生成節(jié)點總數(shù)103 849個，單元總數(shù)61 718個，Skewness Average值0.34，網(wǎng)格質(zhì)量好，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖2所示。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實體圖

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)網(wǎng)格劃分圖

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)分析

2.1 動態(tài)特性理論

結(jié)構的動態(tài)特性有兩個方面的要素，包括結(jié)構部件的固有頻率和固有振型。在承受動態(tài)載荷的結(jié)構中，固有振型和固有頻率對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)分析非常重要，我們可以運用模態(tài)分析來計算結(jié)構的固有振型和固有頻率。對于其它動態(tài)分析如瞬態(tài)動力學分析和諧響應分析，模態(tài)分析是這些分析的起點[6]。如果能夠率先獲得結(jié)構的固有頻率這一參數(shù)，那么我們在對結(jié)構進行設計和優(yōu)化的過程中，就可以有針對性地使固有頻率避開外部激勵的頻率，這樣做的目的是要排除共振，避免結(jié)構出現(xiàn)較大程度的變形。

在不同阻尼條件下，機械部件上各點對外界激勵的響應都可以表示成多種參數(shù)矩陣疊加，如

其中F(t)是激振力向量，M是總體質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，U是位移向量。

運用(1)式來求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在自由振動狀態(tài)下的固有頻率和固有振型時，我們令F=0，也就是不考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所受的外載荷。同時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作時，由于阻尼對固有振型和固有頻率所產(chǎn)生的影響微乎其微，因此不計算阻尼項，那么此時，在無阻尼自由振動狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動方程就可以簡化為[6]:

出于更好理解方程解的具體意義的考慮，(2)式可以轉(zhuǎn)化成簡諧振動形式的方程:

隨著時間變化，線性結(jié)構承受著按正弦規(guī)律變化的載荷，對于這一指標，我們可以運用諧響應分析來計算。設計人員可以得出線性結(jié)構在幾種頻率下的響應值對頻率的曲線，繼而推導出結(jié)構的持續(xù)性動力特性，從而考察設計對共振、疲勞運作等可能產(chǎn)生的有害后果。

系統(tǒng)在簡諧激勵載荷作用下的運動方程為[6]:

式中:F0是簡諧激振載荷的幅值;ω是角頻率，等于外界激振頻率;M是結(jié)構的質(zhì)量矩陣，K是結(jié)構的剛度矩陣，C是結(jié)構阻尼矩陣，U(t)是節(jié)點位移矩陣。

在線性系統(tǒng)中，(4)式可以有以下通解:

在(5)式中，U1(t)為式(4)的齊次方程通解，如果在弱阻尼條件下，存在初相角ψ，則(5)式又可以轉(zhuǎn)化為

式(5)中，U2(t)為式(4)的非齊次方程的一個特解，其頻率與非齊次項的正弦函數(shù)一致，存在初相角φ，則有

由此，根據(jù)(4)—(7)式推導，可以有

結(jié)構在簡諧激勵載荷下的響應是衰減狀態(tài)之下有阻尼的自由振動和有阻尼的受迫振動的疊加后果。但值得注意的是，有阻尼的自由振動會隨著時間推移而消逝，而有阻尼的受迫振動則會持續(xù)。由于經(jīng)驗和技術限制，本文只研究受外部激勵的穩(wěn)態(tài)受迫振動響應特性。

2.2 主被動轉(zhuǎn)子受力分析

羅茨風機轉(zhuǎn)子主要承受軸承傳遞的力、齒輪重力、齒輪傳遞的扭矩，其結(jié)構尺寸及受力分析如圖3所示。轉(zhuǎn)子質(zhì)量W=20.5 kg;齒輪質(zhì)量Wg=3.5 kg;羅茨風機軸功率w=20.5 kW;轉(zhuǎn)子L1=L2=62 mm，L3=92.5 mm，L=470 mm;轉(zhuǎn)子直徑 D=135 mm;葉數(shù) Z=3。

對被動轉(zhuǎn)子受力分析，被動轉(zhuǎn)子主要承受軸承傳遞的力矩Tg，齒輪的重力Wg以及軸承座的支撐力，左端軸承座支撐力Fax和Fay，右端軸承座支撐力為Fbx和Fby，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)還承受自身重力W和氣體壓力q，如圖3所示。

被動轉(zhuǎn)子在鉛垂面內(nèi)分別對a點和b點取矩，即得

通過受力分析得到轉(zhuǎn)子所承受的軸承支撐力。左端被動轉(zhuǎn)子傳給機體的力Fx=148.56 N，F(xiàn)y=1 538.6 N;右端 Fx=397.89 N，F(xiàn)y=2 372.5 N。

3 有限元分析結(jié)果

3.1 有限元模態(tài)分析結(jié)果

圖3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受力分析

計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)可以檢驗羅茨風機在運轉(zhuǎn)過程中是否發(fā)生共振。有限元分析時，在邊界條件設置時不添加任何約束以保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于自由狀態(tài)，直接計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由模態(tài)。羅茨風機是低轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)機械，因此有可能引起共振的頻率是較低階的頻率。所以，在用有限元法計算模態(tài)時，只需要取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前20階固有頻率。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在自由狀態(tài)下計算出來的前6階固有頻率是剛體性模態(tài)，其數(shù)值可以看為零。所以只需研究后面的14階固有頻率?；谟邢拊ㄓ嬎愠鲛D(zhuǎn)子系統(tǒng)前20階模態(tài)，為了便于研究只提取前12階非零模態(tài)。表1給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前12階固有頻率及對應的固有振型。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非剛體固有模態(tài)

從表1可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率從1 327.4 Hz到4 731.2 Hz分布不等，其各階模態(tài)對應的固有振型主要有彎曲、擺動、扭轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，變形位置分布在軸端、齒輪、葉峰等位置，最大振幅高達47.93 mm。第 1，2，4，5，7，8，10，11 階固有頻率振幅較大區(qū)域主要分布在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸端，振型主要有彎曲、擺動、扭轉(zhuǎn)，頻率分布在1 327.4～4 534.8 Hz，軸端振幅最大值為47.93 mm。第3和第9階固有頻率對應的固有振幅較大區(qū)域主要分布在齒輪位置，固有頻率為1 962.6 Hz和4 259.7 Hz，齒輪固有振幅最大值為24.19 mm，第6和第12階固有頻率振幅較大位置在葉峰處，振幅最大值為16.34 mm，對應固有頻率為2 964.5 Hz和4 731.2 Hz。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設計時要注意避開這些共振頻率，減少轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振發(fā)生，在整機設計時也要把外部激勵頻率與這些頻率值錯開，減少整機的振動。

圖4所示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前12階非零模態(tài)對應的固有振型。

3.2 有限元諧響應分析結(jié)果

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非固有頻率和模態(tài)振型

基于有限元方法，對轉(zhuǎn)子承受軸承傳遞的力、齒輪重力、氣體壓力、齒輪傳遞的扭矩的情況下研究轉(zhuǎn)子振動特性，圖5顯示齒輪處在上述力作用下的振幅變化情況，隨著振動工作頻率的增加。振幅在1 500 Hz處出現(xiàn)極值，其中y方向振幅最大，z方向次之，x方向最小，最大值為6.5×10－3mm，最小值為1.0×10－3mm，這說明在1 500 Hz時發(fā)生共振，且y方向振動最劇烈，占振動的主要成分。圖6顯示葉輪處振幅隨頻率變化特性，隨著頻率的增加，葉輪振幅也出現(xiàn)極值，出現(xiàn)極值的頻率為1 500 Hz，其中z方向振幅最大，y方向次之，x方向振幅最小，最大值為6.5×10－5mm，最小值為0.5×10－5mm。整體來說，齒輪附近的振幅比葉輪處振幅大的多。

圖5 齒輪處幅頻曲線

圖6 葉輪處幅頻曲線

4 結(jié)論

本文通過對羅茨風機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行有限元模態(tài)分析和諧響應分析，為以后羅茨風機的優(yōu)化和改進設計提供了重要的理論參考，獲得的主要結(jié)論如下:

(1)通過對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元分析，可知其前6階固有頻率接近于零，對應轉(zhuǎn)子的剛體平動，而從第7階開始，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運轉(zhuǎn)過程中，轉(zhuǎn)子既彎曲又扭轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)速越高，出現(xiàn)危險振型的概率越大，甚至會形成扭曲。為了避免產(chǎn)生交變載荷，需要提高軸承的剛度。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的葉輪葉峰、齒輪、兩軸端處是變形較大區(qū)域，在振動過程中是危險區(qū)域。所以在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設計過程中應充分考慮葉輪的設計厚度及內(nèi)部空腔直徑的大小及齒輪的強度和剛度、兩軸端的長徑比。

(2)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)諧響應分析顯示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅最大位置在齒輪處，最大值為0.007 mm，所以在轉(zhuǎn)子設計過程應加強齒輪的剛度。

(3)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)和諧響應分析對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設計優(yōu)化十分重要，所獲得的固有頻率、固有振型及幅頻曲線能預測羅茨風機各部件之間相互干擾的可能性及振動強弱，通過合理的結(jié)構設計可以避開共振，這為羅茨風機的優(yōu)化和改進設計提供了理論依據(jù)。

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