基于Adams的齒輪－齒條變幅驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究

蘇 艷，李濤濤，郭 燕

（武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430063）

四連桿門座起重機(jī)是當(dāng)今最為通用的起重運(yùn)輸機(jī)械之一，廣泛運(yùn)用于各個(gè)碼頭。而齒輪－齒條變幅又是門座起重機(jī)最常用的一種變幅形式［1］。變幅機(jī)構(gòu)齒輪－齒條在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中只保證輪齒的靜強(qiáng)度符合要求，并且對(duì)于動(dòng)態(tài)效應(yīng)僅以安全系數(shù)來考慮，但在齒輪－齒條嚙合過程中，齒輪與齒條的沖擊振動(dòng)十分嚴(yán)重［2－3］。隨著現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的發(fā)展，有必要對(duì)齒輪－齒條進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。

以往的研究只建立齒輪－齒條嚙合模型，不考慮外界因素影響［4－5］，并且齒條只作直線運(yùn)動(dòng)［6］。筆者研究的對(duì)象中齒條作曲線運(yùn)動(dòng)，齒條的運(yùn)動(dòng)可分解為以齒輪軸線為中心的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿著齒輪切線方向的平動(dòng)這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，在該運(yùn)動(dòng)過程中，齒條運(yùn)動(dòng)瞬心的位置是隨著時(shí)間不斷變化的。針對(duì)這種特殊的運(yùn)動(dòng)形式，建立齒條做曲線運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)分析數(shù)學(xué)模型，并利用Solidworks軟件及大型動(dòng)力學(xué)分析軟件Adams對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到齒輪－齒條動(dòng)態(tài)嚙合力，為將來實(shí)現(xiàn)變幅機(jī)構(gòu)齒輪－齒條動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 齒輪－齒條剛體嚙合振動(dòng)分析模型

圖1中，Ip為主動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Rp為主動(dòng)齒輪的基圓半徑，e為齒輪嚙合綜合誤差，F(xiàn)為作用在齒條上的外載荷。kpy、kgy、cpy、cgy分別為支承箱體、支承軸的支承剛度與阻尼。km和cm分別為齒輪副嚙合綜合剛度和綜合阻尼［7］。

圖1 齒條做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)單級(jí)齒輪－齒條剛體嚙合耦合振動(dòng)模型

圖1所表示的是主動(dòng)齒輪帶動(dòng)齒條做直線運(yùn)動(dòng)的模型，該模型有3個(gè)自由度，分別為主動(dòng)齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和主、被動(dòng)齒輪沿y方向的平移自由度，設(shè)這3個(gè)自由度分別為yp、yg、θp，則齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力可以表示為:

在變幅的過程中，當(dāng)變幅齒條隨臂架前后運(yùn)動(dòng)時(shí)，搖架會(huì)以驅(qū)動(dòng)齒輪的圓心為軸擺動(dòng)，齒條作以半徑為軸心到齒條與齒輪接觸線的距離圓的切線方向的運(yùn)動(dòng)，其模型如圖2所示。圖2中Q為齒條運(yùn)動(dòng)過程中某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)瞬心，其他符號(hào)意義與圖1相同。該模型有4個(gè)自由度，除yp、yg、θp外還有θg。齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力可以表示為:

圖2 齒條做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)單級(jí)齒輪－齒條剛體嚙合耦合振動(dòng)模型

2 變幅機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型建立

2.1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

利用Solidworks對(duì)四連桿門座起重機(jī)的臂架系統(tǒng)、平衡梁、立柱、搖架及齒輪齒條進(jìn)行幾何建模并裝配（如圖3所示），將裝配體保存為x－t格式，并將其導(dǎo)入Adams中（如圖4所示）。在Adams中對(duì)模型加約束，在各個(gè)鉸點(diǎn)處加鉸接副，立柱加固定副。在Adams中由專門的齒輪副來進(jìn)行齒輪嚙合的模擬，但這僅限于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。為了模擬齒輪－齒條的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況以及得到真實(shí)的動(dòng)態(tài)嚙合力，在搖架與立柱之間加鉸接副，齒條與搖架之間加移動(dòng)副，小齒輪與立柱之間加鉸接副，小齒輪與大齒輪之間加接觸。筆者不考慮鋼絲繩的變形，以圓柱模擬鋼絲繩，賦予其質(zhì)量并與象鼻梁之間加球鉸副，將貨物的質(zhì)量加到球體上并與鋼絲繩之間加球鉸副（如圖4所示）。

圖3 基于Solidworks的變幅機(jī)構(gòu)幾何模型

圖4 基于Adams的變幅機(jī)構(gòu)模型

2.2 動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)參數(shù)

在Adams中仿真動(dòng)態(tài)嚙合力的關(guān)鍵是接觸參數(shù)的設(shè)置和碰撞形式的確定。為了得到真實(shí)的動(dòng)態(tài)嚙合力，選擇Solid-Solid實(shí)體碰撞，并根據(jù)Hertz碰撞理論確定齒輪與齒條的碰撞剛度K［8－9］，其計(jì)算式為:

式中:1/R=1/R1+1/R2，R1、R2為接觸物體在接觸點(diǎn)的接觸半徑（由于齒高與齒輪分度圓半徑相比較小，因此取小齒輪接觸半徑為分度圓半徑，齒條的接觸半徑取為無限大）；1/E=（1－）/E1+（1 －）/E2，u1、u2為兩接觸物體材料的泊松比，E1、E2為兩接觸物體材料的彈性模量。由此可得碰撞剛度為:

根據(jù)Hertz理論，碰撞力的大小主要由彈簧控制，因此阻尼系數(shù)C一般取得比較小或者忽略不計(jì)，取C=10 N·s/mm。碰撞指數(shù)e取1.5，阻尼完全作用距離 d 取 0.1 mm［10］。

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 基于Adams的變幅機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

齒輪－齒條在變幅中會(huì)有一個(gè)加速與減速的過程，因此小齒輪的驅(qū)動(dòng)用STEP函數(shù)來表達(dá)。在變幅的過程中，主要驅(qū)動(dòng)是齒條力，去除小齒輪并在齒條與搖架的移動(dòng)副上加上與齒條運(yùn)動(dòng)方向相同且運(yùn)動(dòng)線速度數(shù)值相當(dāng)?shù)囊苿?dòng)驅(qū)動(dòng)（如圖5所示），測(cè)量齒條與臂架鉸點(diǎn)的力，即臂架系統(tǒng)在變幅過程中所產(chǎn)生的力。通過這種方法仿真出臂架在變幅過程中所需的變幅力（如圖6所示）。

圖5 齒條線速度－時(shí)間變化曲線

3.2 變幅機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果與分析

利用Adams對(duì)模型進(jìn)行仿真分析，可以得到齒輪齒條動(dòng)態(tài)嚙合力曲線，如圖7和圖8所示。

圖7為齒輪齒條嚙合力的真實(shí)曲線。圖8為改變齒輪－齒條接觸剛度后的嚙合力曲線。可以看到圖7中的嚙合力周期變化，變化周期約為1 min，與實(shí)際相符。圖6（a）和圖6（b）是不同坐標(biāo)系中的同一條曲線，圖6（a）的縱坐標(biāo)取值與圖7一致以方便兩圖的比較。比較圖6（a）和圖7，可以看到圖7的曲線波動(dòng)較大，而圖6（a）是一條比較平滑的曲線，這是因?yàn)辇X輪與齒條在嚙合過程中由于貨物的偏擺及嚙合間隙等原因?qū)е聡Ш蠜_擊，從而導(dǎo)致圖7仿真曲線的波動(dòng)。圖8是改變齒輪齒條接觸設(shè)置參數(shù)中的接觸剛度后得到的曲線，可見其變化趨勢(shì)與圖6（b）完全一致。

圖6 變幅力曲線圖

圖7 齒輪齒條嚙合力曲線圖

圖8 改變接觸剛度后的嚙合力曲線圖

4 結(jié)論

引入輪齒間碰撞、支承軸承及箱體的支承剛度等激勵(lì)因素，建立了內(nèi)部激勵(lì)下的單級(jí)齒輪－齒條系統(tǒng)剛體嚙合振動(dòng)分析數(shù)學(xué)模型；對(duì)變幅機(jī)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)性動(dòng)力學(xué)分析與仿真，得到齒條做曲線運(yùn)動(dòng)的齒輪－齒條驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)在考慮嚙合沖擊及貨物偏擺影響下的動(dòng)力學(xué)曲線圖，將其仿真結(jié)果與不考慮嚙合沖擊影響時(shí)的分析結(jié)果相比較，吻合度較高；研究原理及方法可借鑒到斜齒輪－齒條傳動(dòng)系統(tǒng)、蝸輪－蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)、非圓齒輪－齒條傳動(dòng)系統(tǒng)及混合式齒輪－齒條嚙合系統(tǒng)等復(fù)雜傳動(dòng)系統(tǒng)中。同時(shí)，為齒輪－齒條機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)、強(qiáng)度校核和振動(dòng)噪聲進(jìn)行完整全面的分析提供了一種新的方法。

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