基于條件極值模型的上證綜指尾部風(fēng)險(xiǎn)研究

常 昊，梁馮珍

(天津大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，天津 300072)

1 模型介紹

1.1 ARMA－GARCH 時(shí)間序列模型

ARMA(Auto Regressive Moving Average)是基于常方差的移動(dòng)自回歸模型，GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)是廣義自回歸條件異方差模型［1－5］.將兩者結(jié)合便得到了能良好刻畫股票收益率均值與波動(dòng)性隨時(shí)間變化前后相關(guān)的模型:ARMA－GARCH 模型.對(duì)于金融時(shí)間序列［6－8］，條件均值結(jié)構(gòu)可以用ARMA(m，n)模型來(lái)刻畫，同時(shí)ARMA 模型的白噪聲項(xiàng)用GARCH(p，q)模型來(lái)刻畫［9－10］.本文選擇ARMA(1，1)－GARCH(1，1)模型來(lái)擬合收益率時(shí)間序列，該模型形式如下:

其中:rt是第t 天收益率，μt是第t 天期望收益率，at是第t 天波動(dòng)率，at是第t 天的白噪聲項(xiàng).εt是期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1 的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，稱為新息(innovation)，它與at－1…a0相互獨(dú)立.本文采用ARMA(1，1)－GARCH(1，1)模型的對(duì)新息的分布采用三種假設(shè):正態(tài)分布，t 分布和偏t(skewed t)分布.另外a0＞0，α1，β1≥0，α1+β1＜1.下一天的收益率估計(jì)為:

若給定新息εt所服從的分布，通過(guò)計(jì)算可以得到新息的雙側(cè)VaR和ES，分別用來(lái)表示，進(jìn)而可以計(jì)算下一日收益率的雙側(cè)VaR和ES.對(duì)于下一日收益率:

由于選擇了三種對(duì)新息分布的假設(shè)，所以我們已經(jīng)建立起三種預(yù)測(cè)VaR 與ES 的模型.下面介紹基于這三種分布如何計(jì)算新息的VaR 與ES.

1)新息服從正態(tài)分布

如果假設(shè)新息為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1 的正態(tài)分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)，那么對(duì)于α 置信度，它的VaR和ES 是確定的.例如，對(duì)于95%置信度，右側(cè)95%VaR 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的95% 分位數(shù)，左側(cè)95% VaR 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)95% 分位數(shù)(95%分位數(shù)取相反數(shù)).對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右側(cè)ES，有以下計(jì)算公式:

左側(cè)ES 可以通過(guò)對(duì)右側(cè)ES 取反得到.

我們運(yùn)用R 軟件fGarch 函數(shù)包中的garchFit函數(shù)對(duì)過(guò)去若干天的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行Arma(1，1)－Garch(1，1)－normal innovation 模型的擬合，濾出新息序列，然后計(jì)算該序列的VaR和ES 并代入式(3)中，就可以得到下一日VaR和ES 預(yù)測(cè).

2)新息服從t 分布

如果假設(shè)新息為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1 的t 分布，那么對(duì)于置信度，它的VaR和ES 還與t 分布的自由度有關(guān)，設(shè)為v，則右側(cè)VaR為:

設(shè)Γ(x)是Gamma 函數(shù).ES 的計(jì)算公式［11］為:

由t 分布的對(duì)稱性，左側(cè)VaR和ES 可以通過(guò)對(duì)右側(cè)VaR和ES 取反得到.

我們運(yùn)用R 軟件fGarch 函數(shù)包中的garchFit函數(shù)對(duì)過(guò)去若干天的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行Arma(1，1)－Garch(1，1)－t innovation 模型的擬合，結(jié)果給出了模型的各項(xiàng)系數(shù)以及新息t 分布的自由度參數(shù)，然后用式(5)、(6)計(jì)算出新息的VaR和ES 并代入(3)，就可以得到下一日VaR和ES 預(yù)測(cè).

3)新息服從偏t 分布

首先我們介紹一下一元偏t 分布，這里采用的Azzalini［12］等提出的符號(hào)系統(tǒng).設(shè)φ(·)與φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù).如果Z 有密度函數(shù):

則稱Z 服從偏正態(tài)分布，表示為Z～SN(δ，γ，β)，δ，γ，β 分別為位置、尺度、和偏度參數(shù).如果對(duì)于Y=δ+V－1/zZ，Z 的概率密度函數(shù)為(7)且δ=0，而，并與Z 獨(dú)立，則稱Y 服從偏t 分布，表示為:Y～St(δ，γ，α，β).δ∈R 是位置參數(shù)，|γ| ＞0 是尺度參數(shù)，衡量分布的寬度，α∈(0，+∞)是自由度，衡量分布尾部的厚度，β∈R 是偏度參數(shù).Dokov［12］等給出了偏t 分布VaR和ES 的極為復(fù)雜的解析計(jì)算公式，本文采取蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法來(lái)計(jì)算偏t 分布的VaR和ES.

我們運(yùn)用R 軟件fGarch 函數(shù)包中的garchFit函數(shù)對(duì)過(guò)去若干天的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行Arma(1，1)－Garch(1，1)－skewed t innovation 模型的擬合，結(jié)果給出了模型的各項(xiàng)系數(shù)以及新息偏t 分布的各項(xiàng)參數(shù)，然后用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算出新息的VaR和ES 并代入(3)，就可以得到下一日VaR和ES 預(yù)測(cè).

1.2 條件極值模型(ARMA－GARCH－EVT 模型)

以上詳細(xì)介紹了經(jīng)典的ARMA－GARCH 擬合收益率序列并預(yù)測(cè)VaR和ES 的方法，條件極值模型(Conditional Extreme Value Statistics)是建立在這一模型上并融入了極值統(tǒng)計(jì)模型.學(xué)界普遍采用的極值統(tǒng)計(jì)模型包括區(qū)組最大化(Block Maxima)模型與閾值(Peak over Threshold)模型，這里采用閾值模型.條件極值模型的基本思想為，首先用ARMA(1，1)－GARCH(1，1)模型擬合收益率序列，濾出新息序列，該序列近似為白噪聲獨(dú)立同分布序列，滿足閾值模型正確擬合尾部分布的前提假設(shè)，其次用閾值模型擬合新息序列，再次根據(jù)閾值模型對(duì)變量尾部的廣義帕累托分布假設(shè)算出新息序列的VaR和ES，最后得出收益率的VaR和ES.下面介紹一下閾值模型及其計(jì)算VaR 與ES 的方法.

首先我們介紹廣義帕累托分布(Generalized Pareto Distribution).該分布的分布函數(shù):

其中:σ 是尺度參數(shù)，ξ 是形狀參數(shù)，對(duì)于股票收益率的尾部，如果我們用GPD 模型去擬合，由于收益率分布的后尾性，對(duì)應(yīng)的ξ為正數(shù).

設(shè)Xi，i=1，2，…，n 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(y)，則對(duì)于閾值μ 的超出量y，有累積概率分布函數(shù):

一元極值理論［13］證明了對(duì)于充分大的μ，分布在X ＞μ 的條件下，近似服從廣義帕累托分布:

設(shè)Xi，i=1，2，…，n 中超過(guò)μ 的個(gè)數(shù)為Nμ.則我們有:

總之，電商(商務(wù)秘書)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)室教學(xué)實(shí)踐表明：大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為電商(商務(wù)秘書)場(chǎng)景教學(xué)對(duì)認(rèn)知崗位、提升技能幫助很大。明顯感覺自己的專業(yè)知識(shí)有了實(shí)踐方面的積累，專業(yè)技能有了操作層面的增長(zhǎng)，對(duì)相關(guān)職業(yè)崗位職責(zé)有所了解，對(duì)今后從事的電商工作有了初步規(guī)劃。學(xué)生的就業(yè)率、就業(yè)對(duì)口率、就業(yè)質(zhì)量大大攀升。對(duì)教師而言，電商(商務(wù)秘書)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)室教學(xué)，顯著提升了教師的理念，教學(xué)能力和水平。場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)室及企業(yè)真實(shí)場(chǎng)景教學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)了教師參與企業(yè)實(shí)踐的主動(dòng)性與合作性。電商(商務(wù)秘書)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)室教學(xué)改革具有很好的啟發(fā)性和推廣價(jià)值及借鑒意義。

具體的推導(dǎo)過(guò)程在文獻(xiàn)［3］中給出，這里不再贅述.對(duì)于閾值的選擇，本文統(tǒng)一選擇新息序列的90%分位數(shù)(10%下分位數(shù)).Mrimoutou［11］等通過(guò)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，推薦閾值取90%分位數(shù)，可以在保證一定樣本超出數(shù)的同時(shí)誤差很小，滿足精度需求.

根據(jù)以上方法可以計(jì)算得出新息序列右側(cè)VaR 與ES.對(duì)于左側(cè)VaR 與ES 的計(jì)算，首先把新息序列取反，然后計(jì)算右側(cè)VaR 與ES，作為新息序列的左側(cè)VaR 與ES.最后將新息序列的VaR 與ES 代入式(3)轉(zhuǎn)化為原始序列的VaR 與ES.由于對(duì)于新息分布的假設(shè)有三種，在每種情況下都可以用閾值模型計(jì)算新息序列的VaR 與ES，所以一共有三種條件極值模型.

1.3 VaR 的事后檢驗(yàn)方法

1)無(wú)條件覆蓋測(cè)試(Unconditional coverage test)

我們采用Kupiec［14］提出的似然比檢驗(yàn)方法.該測(cè)試檢測(cè)失敗率(N/T)是否等于期望失敗率.設(shè)p 是期望失敗率，p=1－α，α 是VaR 對(duì)應(yīng)的置信度.如果試驗(yàn)的總數(shù)是T，那么預(yù)測(cè)失敗的次數(shù)服從概率為p 的二項(xiàng)分布.原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為:

似然比統(tǒng)計(jì)量為:

這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)，如果失敗率大于或小于期望失敗率，該統(tǒng)計(jì)量都會(huì)落入拒絕域.本文選擇95%置信度，則拒絕域?yàn)榭ǚ椒植?5%分位數(shù)右側(cè)部分.LRuc不能檢驗(yàn)預(yù)測(cè)失敗的發(fā)生是否存在前后相關(guān)關(guān)系，因此Christoffersen［15］提出下面的檢驗(yàn)方法.

該假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)為:1)預(yù)測(cè)失敗的概率與期望失敗率相等;2)VaR 預(yù)測(cè)失敗的發(fā)生隨時(shí)間的推移是獨(dú)立的.相應(yīng)的似然比統(tǒng)計(jì)量為:

其中:i，j=1 表示預(yù)測(cè)失敗，i，j=0 表示預(yù)測(cè)正確，nij表示i 后為j 的次數(shù)為相應(yīng)的概率.本文選擇95%置信度，則拒絕域?yàn)樽杂啥葹? 的卡方分布95%分位數(shù)右側(cè)部分.

3)ES 的檢驗(yàn)方法

關(guān)于ES 事后檢驗(yàn)，相關(guān)的文獻(xiàn)和研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)比VaR 要少.McNeil［3］提出了ES 事后檢驗(yàn)的基本思想:在VaR 預(yù)測(cè)失敗的條件下，下日收益率與預(yù)測(cè)ES 之間的平均差值應(yīng)該為0.運(yùn)用該思想，本文設(shè)計(jì)了一下對(duì)ES 預(yù)測(cè)事后檢驗(yàn)的方法.

對(duì)于右側(cè)VaR 與ES，定義:

對(duì)于左側(cè)VaR 與ES，定義:

若V 統(tǒng)計(jì)量為正，則意味著ES 的高估，若該統(tǒng)計(jì)量為負(fù)，則意味著ES 的低估.若V 趨向于0，則意味著ES 估計(jì)準(zhǔn)確.但是僅僅靠觀察V 統(tǒng)計(jì)量不足以判斷ES 是否為0.本文采用t 檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)ES 是否為0.對(duì)于右側(cè)VaR 與ES，收集{ESt+1－Xt+1|Xt+1＞VaRt+1}序列，對(duì)于左側(cè)VaR 與ES，收集{Xt+1－ESt+1|Xt+1＜VaRt+1}序列.對(duì)于收集好的序列，進(jìn)行t 雙側(cè)檢驗(yàn)，原假設(shè)為該序列均值為0.選擇95%置信度，若t 統(tǒng)計(jì)量落入雙側(cè)95%拒絕域右邊區(qū)域，則ES 高估，若t 統(tǒng)計(jì)量落入雙側(cè)95%拒絕域左邊區(qū)域，則ES 低估，若t 統(tǒng)計(jì)量未落入拒絕域，則不能拒絕原假設(shè)，ES 估計(jì)合理.

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)描述

本文選取了從1998年4月15日～2012年9月28日共3 500個(gè)交易日的收益率數(shù)據(jù)，對(duì)于每一個(gè)選定的模型，從第500個(gè)交易日(2000年5月10日)，選取過(guò)去500d(包括當(dāng)日)的收益率，擬合時(shí)間序列運(yùn)動(dòng)方程，用6種模型(見表1)分別計(jì)算下一日VaR和ES，一直到第3 499個(gè)交易日(2012年9月27日)，我們共計(jì)算得到3 000 組VaR和ES，最后將每組VaR和ES 與下一日實(shí)際收益率相比，進(jìn)行模型預(yù)測(cè)尾部風(fēng)險(xiǎn)精確度的事后檢驗(yàn).對(duì)于每一個(gè)模型，VaR和ES 的置信度選取95%，99%，99.5%，并且在雙側(cè)都進(jìn)行估計(jì).

2.2 結(jié)果分析

表1 給出了6種模型的介紹.模型1～3為三種基本的ARMA－GARCH 模型，區(qū)別在于新息序列假設(shè)的不同.模型4～6 是在模型1～3 基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的條件極值模型.

表1 模型簡(jiǎn)介

表2 6種模型右側(cè)95%，99%和99.5%置信度VaR和ES 的事后檢驗(yàn)結(jié)果

表2 給出了6種模型右側(cè)95%，99%和99.5%置信度VaR和ES 的事后檢驗(yàn)結(jié)果，表3 給出了9種模型左側(cè)95%，99%和99.5%置信度VaR和ES 的事后檢驗(yàn)結(jié)果.

對(duì)于每個(gè)模型，表2、3 給出了VaR 預(yù)測(cè)失敗次數(shù)，失敗率(失敗次數(shù)/3000)，無(wú)條件覆蓋測(cè)試統(tǒng)計(jì)量(表中為UC 統(tǒng)計(jì)量)及其p值，有條件覆蓋測(cè)試統(tǒng)計(jì)量(表中為CC 統(tǒng)計(jì)量)及其p值，ES 測(cè)試的V 統(tǒng)計(jì)量，ES 測(cè)試的T 統(tǒng)計(jì)量及其p值.所有被拒絕的假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量與p值均用粗體標(biāo)出.

表3 9種模型左側(cè)95%，99%和99.5%置信度VaR和ES 的事后檢驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)對(duì)各個(gè)模型的比較和分析發(fā)現(xiàn):

模型1(ARMA－GARCH－normal innovation)無(wú)論在VaR 預(yù)測(cè)和ES 預(yù)測(cè)方面表現(xiàn)都是最差的，具體表現(xiàn)在:1)對(duì)95%右側(cè)VaR，99%左側(cè)VaR，99.5%左側(cè)VaR 預(yù)測(cè)不準(zhǔn);2)所有ES 的V統(tǒng)計(jì)量和T 統(tǒng)計(jì)量都是負(fù)的，而且所有T 統(tǒng)計(jì)量顯著，說(shuō)明所有ES 都被嚴(yán)重低估.如果說(shuō)1)的發(fā)生有一定的偶然性，但是2)的發(fā)生說(shuō)明了正態(tài)假設(shè)低估ES 的必然性.正態(tài)分布密度函數(shù)在尾部收斂速度與t 分布，偏t 分布相比非?？?，而股票收益率具有尖峰后尾性，所以導(dǎo)致正態(tài)假設(shè)對(duì)于ES 的估計(jì)嚴(yán)重不足.

模型2(ARMA－GARCH－t innovation)和模型3(ARMA－GARCH－skewed t innovation)在VaR和ES 預(yù)測(cè)方面表現(xiàn)優(yōu)秀，在VaR和ES 的事后檢驗(yàn)中，基本都通過(guò)了檢驗(yàn)，僅僅發(fā)生了兩次預(yù)測(cè)失誤:1)針對(duì)95%左側(cè)VaR 預(yù)測(cè)，模型2 高估了VaR;2)針對(duì)95%左側(cè)ES 預(yù)測(cè)，模型3 高估了ES，但高估程度并不嚴(yán)重.這充分說(shuō)明了在ARMA－GARCH 模型框架下，假設(shè)新息序列為t 分布或偏t 分布，能夠良好刻畫股票收益率的尾部特征，精確預(yù)測(cè)VaR和ES.仔細(xì)對(duì)比這兩種模型，發(fā)現(xiàn)模型3 比模型2 在預(yù)測(cè)VaR 方面更加精確.具體表現(xiàn)在:

1)對(duì)于雙側(cè)VaR，模型3 的失敗率與期望失敗率非常接近;2)對(duì)于右側(cè)VaR，模型2 的失敗率總是低于模型3;3)對(duì)于左側(cè)VaR，模型2 的失敗率總是大于等于模型3.分析其原因，是由于模型3所采取的偏t 新息能夠完美刻畫收益率的非對(duì)稱性.而t 分布由于其對(duì)稱性，常常高估右側(cè)VaR 并低估左側(cè)VaR.

模型4～6 是基于3種不同新息序列分布假設(shè)的條件極值模型，通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)條件極值模型在預(yù)測(cè)VaR和ES 方面的表現(xiàn)出色.尤其對(duì)于VaR的預(yù)測(cè)，全部通過(guò)了UC 檢驗(yàn)和CC 檢驗(yàn)，而且與期望失敗率非常相近.對(duì)于ES 的事后檢驗(yàn)，在18種情形下，只有3 次預(yù)測(cè)失敗:模型4 對(duì)于99%和99.5%的左側(cè)ES 預(yù)測(cè)低估，模型5 對(duì)于左側(cè)99.5%ES 預(yù)測(cè)低估.由于受限于樣本量.這3 次預(yù)測(cè)失敗不能說(shuō)沒有一定偶然性.有趣的是，模型4 是建立在模型1 的基礎(chǔ)上，新息序列完全相同且服從正態(tài)分布，但是運(yùn)用閾值模型估計(jì)ES 大大提高了ES 的準(zhǔn)確度.再次驗(yàn)證了一元極值理論:只要隨機(jī)變量序列是近似獨(dú)立同分布的，不論其屬于何種分布，閾值模型都能良好估計(jì)尾部特征.

3 結(jié)語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)ARMA－GARCH 時(shí)間序列模型的基礎(chǔ)上詳細(xì)介紹了條件極值模型，然后運(yùn)用這6種模型對(duì)近十幾年來(lái)的上海證券市場(chǎng)進(jìn)行VaR和ES的模擬預(yù)測(cè)和樣本外事后檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)ARMA－GARCH– t/skewed t innovation 模型和條件極值模型在預(yù)測(cè)VaR和ES 方面都具有良好效果，其中ARMA－GARCH－skewed t innovation 模型和條件極值模型在VaR 預(yù)測(cè)方面最為出色.ARMA－GARCH－normal innovation 模型在VaR和ES 預(yù)測(cè)方面均表現(xiàn)最差，并嚴(yán)重低估ES.

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