我國人口死亡率建模與養(yǎng)老金個人賬戶的長壽風(fēng)險分析

金博軼

（山東財經(jīng)大學(xué) 保險學(xué)院，濟南 250014）

0 引言

隨著人民生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生條件的不斷改善，我國人口的預(yù)期壽命呈現(xiàn)出顯著增加的趨勢。預(yù)期壽命增加使我國養(yǎng)老金負債水平不斷攀升，如果不采取一定的補救措施可能導(dǎo)致養(yǎng)老金出現(xiàn)償付能力風(fēng)險甚至陷入財務(wù)危機。這種由于預(yù)期壽命增加給養(yǎng)老金或保險公司帶來的風(fēng)險就是所謂長壽風(fēng)險。

死亡率建模是度量長壽風(fēng)險的關(guān)鍵，Lee&Carter(1992)最早構(gòu)建了動態(tài)死亡率模型，他們將死亡率分解為年齡效應(yīng)、年齡改進效應(yīng)和時間效應(yīng)。之后，Brouhn et al（2002）在保持Lee-Carter模型對數(shù)雙線基礎(chǔ)上使用泊松回歸方法對參數(shù)進行估計，構(gòu)建泊松對數(shù)雙線模型（P-B模型）。Renshaw&Haberman(2006)在Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上提出了隊列效應(yīng)模型（RH模型），該模型很好的解決了Lee&Carter模型誤差項與出生年的相關(guān)性問題。Cairns et al(2007)在RH模型的基礎(chǔ)上考慮到了更多的死亡率因素，從而使模型具有更好的擬合度，然而隨著死亡因素的增加，該模型存在所謂過度擬合的問題。Plat(2009)考慮低年齡人群和高年齡人群在死亡率改進時間效應(yīng)上的進行區(qū)分，通過引入兩個時間效應(yīng)因子使模型具有更好的解釋力。Hua Chen et al.(2011)考慮到了時間效應(yīng)的跳躍及非對稱特征，構(gòu)建了廣義的Lee-Carter模型。國內(nèi)方面，韓猛和王曉軍對Lee-Carter模型進行了改進,通過一個雙隨機過程對Lee-Carter模型中的時間項進行建模。李志生和劉恒甲（2010）分析了Lee-Carter模型各種擬合方法的擬合優(yōu)度，文章最后利用最優(yōu)擬合模型，并利用Bootstrap方法進行了區(qū)間估計。

然而，上述模型估計出的年齡改進效應(yīng)βx往往具有非規(guī)則變動特征，整個數(shù)據(jù)序列缺乏平滑性。研究表明：如果βx項缺乏光滑性，那么每個年齡段的年齡改進效應(yīng)βx和殘差項εx,t之間存在明顯的反向關(guān)系，這顯然違背了殘差項的獨立同分布假設(shè)。本文在借鑒P-B模型的基礎(chǔ)上，同時考慮到對不規(guī)則的βx項進行懲罰，構(gòu)建帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型（P-P-B模型），并使用該模型對人口未來死亡率進行預(yù)測，最后研究了預(yù)期壽命的變化對我國養(yǎng)老金個人賬戶的影響。

1 模型的構(gòu)建

Lee&Carter(1992)最早提出了一個簡潔的動態(tài)死亡率模型，他們的主要思路是將死亡率分解為年齡效應(yīng)、時間效應(yīng)和年齡改進效應(yīng)。該模型的數(shù)學(xué)表達式為：

其中，mx,t為x歲個體在日歷年t的一年期中央死亡率，αx為x歲群體在整個樣本期的平均死亡率（年齡效應(yīng)），κt為死亡率隨時間的改進速度（時間效應(yīng)），βx代表年齡x對κt的敏感度（年齡改進效應(yīng)），εx,t為誤差項。

Brouhns et al.(2002a)認為，由于x歲人群在日歷年t的死亡人數(shù)Dx,t始終為整數(shù)，可以使用泊松過程對Dx,t進行描述：

在Brouhns et al.泊松對數(shù)雙線模型中，年齡為x的投保人在日歷年t死亡人數(shù)Dx,t被認為服從泊松分布，均值為erx,tmx,t（其中erx,t為日歷年t，年齡為x的被保險人在年中的風(fēng)險暴露數(shù)），該模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

為了得到較為平滑的βx項，我們對上述模型加入一個懲罰項，從而得到一個帶有懲罰的對數(shù)似然函數(shù)：

其中，πβ代表平滑系數(shù)，β′Pββ為對不規(guī)則βx的進行懲罰。帶有懲罰項的泊松對數(shù)雙線模型可綜合考慮了泊松對數(shù)雙線模型的擬合優(yōu)度和βx項的光滑程度。

模型的參數(shù)估計可以通過下述牛頓迭代方法得到：

用交叉驗證方法估計出一個最優(yōu)的平滑系數(shù)πβ。

求解最優(yōu)平滑系數(shù)非常費時，一般只能使用網(wǎng)格法進行搜索。

2 參數(shù)估計及預(yù)期壽命的預(yù)測

2.1 數(shù)據(jù)來源和處理

本文選擇全國分年齡性別人口死亡率數(shù)據(jù)，所有原始數(shù)據(jù)都來源于《中國人口統(tǒng)計年鑒》和《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》(1985～2009)，對于原始數(shù)據(jù)做如下處理：

（1）進行年齡分組。祝偉（2009）和韓猛（2010）采用每五歲的年齡分組方法，然而，這種方法會使結(jié)果出現(xiàn)一定的偏差，特別是在高年齡段。顯而易見，60歲和65歲個體的死亡率是不同的，有鑒于此，我們使用每一歲的年齡分組方法。

（2）確定年齡末組。由于大多數(shù)統(tǒng)計年份的末組都是90歲以上，因此，本文的末組選為90歲以上。1997年數(shù)據(jù)的末組為85歲以上，對于該年份85歲以上個體的死亡率，我們采用Human Mortality Data中的數(shù)據(jù)處理方法進行拆分。2002年數(shù)據(jù)的末組為100歲以上，我們對90歲以上的數(shù)據(jù)進行合并。

（3）對零死亡率數(shù)據(jù)進行處理。由于統(tǒng)計抽樣問題，有些年份部分年齡段的死亡人數(shù)為零，從而導(dǎo)致其死亡率為零。零死亡率不僅與事實也不符，而且導(dǎo)致模型無法求解，因此，我們對零死亡率進行修正，令其等于相鄰年份死亡率的均值。

（4）由于1996年數(shù)據(jù)缺失，我們使用相鄰年份的數(shù)據(jù)做插值處理。

2.2 參數(shù)估計

我們首先使用奇異值分解技術(shù)對Lee-Carter模型的參數(shù)進行估計，然后將其作為初始值帶入P-P-B模型，通過不斷迭代進行求解。首先，需要選擇出最優(yōu)的平滑系數(shù)，本文通過網(wǎng)格搜索法在0到10^10范圍內(nèi)對最優(yōu)平滑系數(shù)進行搜索，步長為10，求得男性和女性最優(yōu)平滑系數(shù)分別約為930和1040。然后，通過不斷迭代對模型的其他參數(shù)進行求解，圖1給出了P-B模型(unsmothed)和P-P-B模型(smothed)的參數(shù)估計曲線對比。

分析圖1后可以得到以下三點結(jié)論：首先，從年齡效應(yīng)曲線看，不管是男性還是女性，P-P-B模型與P-B模型得到的年齡效應(yīng)曲線都完全重合，這表明，P-P-B模型對年齡效應(yīng)不產(chǎn)生任何影響；其次，從年齡改進曲線看，P-P-B模型使年齡改進曲線更加平滑，這表明該模型確實能夠有效降低抽樣誤差，增強預(yù)測的可信性；最后，從時間效應(yīng)看，P-P-B模型使時間效應(yīng)發(fā)生改變，但改變趨勢不明顯。

圖1 兩種模型得到的參數(shù)對比

2.3 預(yù)測未來死亡率和預(yù)期壽命

預(yù)測未來死亡率，一般首先對時間效應(yīng)kt進行時間序列建模（Renshaw et al.,2006），從而預(yù)測時間效應(yīng)的未來值，然后再利用Lee-Carter模型預(yù)測未來的死亡率。這里，我們首先利用ADF檢驗，判斷kt序列為非平穩(wěn)序列，對kt進行一次差分，一次差分后的序列為平穩(wěn)序列，即I（1）。將一次差分后得到的平穩(wěn)序列命名為′t，由eviews軟件觀察，′t的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)并沒有明顯的不同于0，因此，可以確定原序列為ARIMA（0,1,0）過程，ARIMA（0,1,0）的參數(shù)估計結(jié)果為：

將上述模型得到的時間效應(yīng)預(yù)測值代入Lee-Carter模型就可以得到各個年齡段被保險人在未來年度的死亡率預(yù)測值，然后通過精算換算得到預(yù)期壽命的預(yù)測值。表1和表2分別給出了各年齡段男性和女性在未來年份死亡率和預(yù)期壽命的預(yù)測值。由表1和表2可知，男性和女性都呈現(xiàn)死亡率不斷降低，預(yù)期壽命不斷增加的趨勢。

表1 死亡率預(yù)測值（單位：0.001）

表2 預(yù)期壽命預(yù)測值

3 長壽風(fēng)險對養(yǎng)老金個人賬戶的影響

我國實行社會統(tǒng)籌與個人賬戶相結(jié)合的養(yǎng)老金模式，其中統(tǒng)分賬戶受人口出生率、死亡率、贍養(yǎng)比例等較多因素的影響，這里暫不討論。本文只研究預(yù)期壽命的變化對養(yǎng)老金個人賬戶產(chǎn)生的影響。首先假設(shè)職工開始工作的平均年齡為a歲，開始工作時的平均工資為wa，工資增長率為g，個人賬戶的繳費率為c，投資收益率為i，退休年齡為r。職工在第一年工作的繳費為Ca=cwa，該金額累積到退休時刻為Fa=Ca(1+i)r-a，而職工在第t年(a ≤t≤r-1)的繳費率為Ct=cwt=cw(1+g)t-a，該金額累積到退休時刻為Ft=cwa(1+g)t-a(1+i)r-t，則職工在整個繳費期累積到退休時刻的累計值為：

要實現(xiàn)個人賬戶的收支平衡，必須要求職工在退休時刻繳費的累計值與退休后的領(lǐng)取養(yǎng)老金的現(xiàn)值相等。即有(P VC)r=(P VFB)r，也即

根據(jù)《國務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的決定》（國發(fā)[2005]38號）的規(guī)定：“個人賬戶養(yǎng)老金月標(biāo)準(zhǔn)為個人賬戶儲存額除以計發(fā)月數(shù)，計發(fā)月數(shù)根據(jù)職工退休時城鎮(zhèn)人口平均預(yù)期壽命、本人退休年齡、利息等因素確定?！币赃|寧省為例，《遼寧省完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的實施意見》（遼政發(fā)[2006]28號）規(guī)定，60歲退休人員養(yǎng)老金的計發(fā)月數(shù)為139個月。假設(shè)y為計發(fā)月數(shù)，而每年支付的退休金數(shù)額固定為k，則在基金平衡的條件下有：

以女性為例，假設(shè)其55歲退休，由式（15）可知，為了實現(xiàn)養(yǎng)老金個人賬戶基金平衡。養(yǎng)老金的投資收益率應(yīng)該達到6.7%。然而，由于投資渠道等因素的限制，我國養(yǎng)老金的投資收益率一直偏低，有數(shù)據(jù)顯示，近幾年來養(yǎng)老金的名義收益率不到2%。較低的投資收益率使養(yǎng)老金存在一定的缺口，而且隨著未來預(yù)期壽命的不斷增加，缺口的規(guī)模也會不斷擴大。因此，積極地進行資產(chǎn)負債管理，提高投資收益率是我國養(yǎng)老金的當(dāng)務(wù)之急。如果基金投資收益率無法提高到收支平衡的水平，也可以通過推遲退休年齡的方式實現(xiàn)基金的收支平衡。假設(shè)投資收益率保持在2%的水平上，根據(jù)式（15），只需將退休年齡提高到大約62歲就可實現(xiàn)收支平衡?？梢?，在基金平衡條件下，投資收益率與退休年齡存在一定的替代關(guān)系（見圖2）。

圖2 投資收益率與退休年齡的關(guān)系

圖3 投資收益率與替代率的關(guān)系

圖4 退休年齡與替代率的關(guān)系

下面討論在基金平衡條件下，投資收益率和退休年齡對替代率的影響，首先對相關(guān)的參數(shù)進行校正，根據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒》，我國城鎮(zhèn)職工的平均工資在1992年為2711元，2008年29229元，16年間職工工資的增長率為16%（g=16%），個人賬戶繳費比例為個人工資的8%（c=8%），假設(shè)工人參加工作的平均年齡為20歲（a=20）。通過式（14）可以求出不同投資收益率與退休年齡組合的替代率水平。圖3、圖4給出了基金平衡條件下替代率與投資收益率和退休年齡的關(guān)系，從圖3、圖4可以得到以下兩點結(jié)論：首先，替代率與投資收益率正相關(guān)，當(dāng)投資收益率為2%時，退休替代率僅為5.8%，當(dāng)投資收益率為6.7%時，退休替代率提到8.9%；其次，替代率與退休年齡反相關(guān)，當(dāng)退休年齡為55歲時，替代率為8.9%，當(dāng)退休年齡增加到為62.5歲時，替代率降低到5.4%?？梢?，雖然推遲退休年齡也能夠?qū)崿F(xiàn)個人賬戶的平衡，但也降低了退休替代率，因此，提高養(yǎng)老金的投資收益率是實現(xiàn)個人賬戶收支平衡，達到目標(biāo)替代率的最有效的途徑。

4 結(jié)論

本文首先對我國人口的死亡率狀況構(gòu)建了帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型，然后使用該模型對未來死亡率和預(yù)期壽命進行預(yù)測，最后對養(yǎng)老金個人賬戶面臨的長壽風(fēng)險進行了分析。本文得到以下結(jié)論：

首先，由參數(shù)估計的結(jié)果可知，帶有懲罰的泊松對數(shù)雙線模型（P-P-B模型）的年齡改進效應(yīng)βx具有更加光滑的特征，與傳統(tǒng)P-B模型相比，由該模型得到的殘差項滿足獨立同分布假設(shè)，因此該模型能夠更好的擬合我國人口的死亡率變化。

其次，通過模型預(yù)測發(fā)現(xiàn)，我國各年齡段人口的死亡率會不斷下降，人口未來的預(yù)期壽命呈逐年上升的趨勢，而現(xiàn)有生命表對未來人口死亡率改進估計不足。這導(dǎo)致養(yǎng)老金機構(gòu)面臨非常顯著的長壽風(fēng)險。

最后，在現(xiàn)有支付機制下，壽命的增加會使養(yǎng)老金個人賬戶產(chǎn)生虧空，而且隨著時間的推移，虧空的程度會不斷增加。通過提高養(yǎng)老金的投資收益率或延遲退休年齡可以使個人賬戶實現(xiàn)收支平衡。

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