一種基于誤差相關(guān)函數(shù)的改進變步長LMS算法

王崇輝，鄒 鯤

(1.陜西廣播電視臺發(fā)射部，陜西西安 710061;2.空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西西安 710077)

最小均方(Least Mean Square，LMS)算法是由Widrow和Hoff于1960年提出的［1］，該算法是基于最小均方誤差準則的維納濾波器和最陡下降法。LMS算法特點是計算量小、易于實現(xiàn)，因此獲得廣泛應(yīng)用。LMS算法中，要提高收斂速度，步長應(yīng)該盡量選擇較大值，而為降低穩(wěn)態(tài)方差，步長應(yīng)該選擇較小值。因此在LMS算法應(yīng)用中，只能折衷設(shè)定步長大小，不能同時滿足快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)方差的要求［2］。

針對LMS算法的不足，人們提出了各種的變步長(Variable Step Size，VSS)LMS 算法［3-4］。所謂VSSLMS算法，就是在算法的迭代過程中，根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)信息，動態(tài)改變步長的大小，從而提高收斂速度的同時還可以降低穩(wěn)態(tài)方差。一般在收斂開始階段，要求步長較大，從而提高過渡到穩(wěn)態(tài)的收斂速度。在收斂結(jié)束后，需要小的步長，這樣可以減小由于步長較大而引入的失調(diào)，即穩(wěn)態(tài)方差。

在這些VSSLMS算法中，有一類是將步長與瞬時誤差平方相關(guān)聯(lián)［5］，因為瞬時誤差平方在收斂開始時較大，而在收斂結(jié)束后較小，稱為E-LMS算法。另一類算法則是將步長與誤差的相關(guān)函數(shù)相關(guān)聯(lián)［6］，因為在收斂開始時，誤差中間的相關(guān)分量較大，而處于穩(wěn)態(tài)時，可以假定誤差分量不相關(guān)，稱為R-LMS算法。由于系統(tǒng)不可避免的引入其他噪聲分量，而E-LMS算法中由于瞬時誤差平方中包含噪聲分量，導(dǎo)致該方法的抗噪性能較差，而R-LMS算法則是由于相關(guān)函數(shù)具有“記憶”效應(yīng)，導(dǎo)致當(dāng)系統(tǒng)性能突變時，跟蹤能力較差。為此文中結(jié)合E-LMS算法中的變步長策略，對R-LMS算法進行了改進，改進后的算法在抗噪性能和跟蹤性能都得到了較大的提高。

1 VSSLMS的基本原理

以系統(tǒng)辨識［7］為例來討論VSSLMS算法。自適應(yīng)濾波器配置方式如圖1所示。輸入信號為x(n)，參考信號d(n)是未知系統(tǒng)的輸出y(n)和加性噪聲分量v(n)的疊加。而由參考信號與自適應(yīng)濾波器輸出信號之差構(gòu)成誤差信號e(n)來控制自適應(yīng)濾波器中的系數(shù)，對于LMS算法，就是通過調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)，使得均方誤差最小。

圖1 自適應(yīng)濾波原理圖

LMS算法中的自適應(yīng)濾波器系數(shù)迭代關(guān)系為

為此提出了多種VSSLMS算法，其基本思路就是將步長大小與迭代過程中的某種狀態(tài)變量關(guān)聯(lián)，利用狀態(tài)變量的變化來動態(tài)控制步長的變化。這些狀態(tài)變量可以是瞬時誤差，瞬時誤差的平方，相鄰兩次迭代的瞬時誤差的相關(guān)函數(shù)，誤差與輸入矢量的相關(guān)性等［8］，這些狀態(tài)變量在收斂開始時可能較大，而在收斂后可能較小，因此滿足動態(tài)控制步長的要求。其次關(guān)聯(lián)的方法也多種多樣，可以是線性或者非線性的，也可以是遞歸或非遞歸的。其中非線性關(guān)聯(lián)方式計算量比線性關(guān)聯(lián)要大，遞歸關(guān)聯(lián)相對于非遞歸關(guān)聯(lián)，需要更多的存儲空間。

這些VSSLMS算法當(dāng)中，有一類是將步長與瞬時誤差平方相關(guān)聯(lián)，稱之為E-LMS算法。關(guān)聯(lián)的方式通常是非線性非遞歸形式，其算法為

圖2為該方法的學(xué)習(xí)曲線和常規(guī)的LMS算法的比較，可以看出，穩(wěn)態(tài)方差比LMS算法要高，尤其是當(dāng)SNR較低時，穩(wěn)態(tài)方差更大，因此該方法的抗噪性能較差。

圖2 不同SNR下，E-LMS算法與LMS算法的學(xué)習(xí)曲線

另一類算法是將步長與相鄰兩次迭代的瞬時誤差的相關(guān)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，稱之為R-LMS算法，采用的是線性遞歸形式，其算法為

其中，0＜β，α ＜1，λ?1，通過選擇合適的參數(shù)，也可以得到較為理想的性能。式(4)是一個計算相關(guān)函數(shù)的公式，其中參數(shù)β通常稱為遺忘因子，如果參數(shù)β較大，則說明該算法具有一定的“記憶”能力，也就是對當(dāng)前的輸入不敏感。為獲得較為精確的相關(guān)函數(shù)，β通常盡可能地接近1。但當(dāng)算法處于穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生突變，則這時的e(n)e(n-1)可能很大，此時應(yīng)具有較大的步長，盡快過渡到收斂狀態(tài)。但由于式(4)具有一定的記憶能力，因此對相關(guān)函數(shù)計算值的影響不大，因此利用式(5)計算出的步長還是維持在很小的值附近。這就說明該算法對于突變系統(tǒng)的跟蹤能力較弱。

圖3表示SNR=20 dB條件下，R-LMS算法的跟蹤能力，假定在迭代次數(shù)達到750點處，未知系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生改變。如圖3所示，雖然開始時，R-LMS比LMS算法有更快的收斂速度，但是一旦系統(tǒng)發(fā)生突變，R-LMS算法的收斂速度將緩慢。

圖3 R-LMS算法的跟蹤能力與LMS算法對比

2 改進的VSSLMS算法

可以看出，影響R-LMS算法的主要因素來自與式(4)中的遺忘因子β，正是由于其接近1，使得相關(guān)函數(shù)的計算具有較強的記憶能力，從而對系統(tǒng)參數(shù)突變引入的較大誤差分量不敏感。參考E-LMS算法，如果參數(shù)β能夠誤差平方滿足一定的關(guān)聯(lián)方式，就可以使得當(dāng)系統(tǒng)突變時，適當(dāng)減小β值，使相關(guān)函數(shù)的計算遺忘能力增強。本文給出的算法為

式(6)～式(7)實際是綜合了E-LMS算法和RLMS算法兩種控制步長的策略。其中式(7)，式(8)與R-LMS算法的步長設(shè)置完全一致，唯一不同的是因子β不是常量，因子β的控制也是通過迭代過程實現(xiàn)的，其控制方式與E-LMS算法中的式(3)類似，與瞬時誤差功率有關(guān)。這樣，本文所給出的算法中，參數(shù)β不再保持常數(shù)，而是受誤差平方的控制，從而使得誤差相關(guān)函數(shù)計算的記憶能力能夠調(diào)整，相對于R-LMS算法，可以改善算法針對突變系統(tǒng)的跟蹤能力，同時步長與誤差相關(guān)函數(shù)關(guān)聯(lián)，而不與誤差平方相關(guān)聯(lián)，相對于E-LMS算法有更好的抗噪聲能力。

圖4是本文算法的抗噪性能分析，和圖2給定的條件一樣，與常規(guī)LMS算法進行對比，可以看出該算法的穩(wěn)態(tài)方差與LMS算法基本相等，而與圖2對比可以看出，E-LMS算法隨著SNR降低，穩(wěn)態(tài)方差顯著增大。因此可以確定該算法的抗噪性能優(yōu)于E-LMS算法。

圖5是本文算法的跟蹤突變系統(tǒng)的能力分析，和圖3給定的條件一樣，但是當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生突變時，本算法能夠及時跟蹤，并快速進入到穩(wěn)態(tài)條件，說明本算法的跟蹤能力優(yōu)于R-LMS算法。

圖4 改進的VSSLMS算法的抗噪能力分析

圖5 改進的VSSLMS算法的跟蹤能力分析

3 結(jié)束語

常規(guī)LMS算法的固有矛盾是收斂速度和穩(wěn)態(tài)方差無法同時滿足，為此人們研究了各種VSSLMS算法，其中E-LMS算法是將步長與輸出誤差平方相關(guān)聯(lián)，該方法抗噪能力有限，R-LMS算法則是將步長與輸出誤差的相關(guān)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，該方法的跟蹤突變系統(tǒng)能力有限。本文給出了改進的VSSLMS算法，能夠克服E-LMS算法和R-LMS算法的缺點，從仿真結(jié)果來看，抗噪能力優(yōu)于 E-LMS算法，跟蹤能力優(yōu)于R-LMS算法。

［1］WIDROW B，STEARNS S D.Adaptive signal processing［M］.Prentice Hall，NJ:Englewood Cliffs，1985.

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［6］蔣明峰，鄭小林，彭承琳.一種新的變步長LMS自適應(yīng)算法及其在自適應(yīng)噪聲對消中的應(yīng)用［J］.信號處理，2001(3):282-286.

［7］羅小東，賈振紅，王強.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法［J］.電子學(xué)報，2006，34(6):1123-1126.

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