固體物理學(xué)教學(xué)中的模型化研究*

任恒峰 王清亮 趙 龍

(忻州師范學(xué)院 山西忻州 034000)

固體物理學(xué)是研究固體的性質(zhì)、微觀(guān)結(jié)構(gòu)及其各種內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，以及這種微觀(guān)結(jié)構(gòu)和內(nèi)部運(yùn)動(dòng)同固體宏觀(guān)性質(zhì)關(guān)系的學(xué)科。固體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)形式非常復(fù)雜，固體物理學(xué)的研究?jī)?nèi)容也變得越來(lái)越豐富，手段隨之也越來(lái)越多樣化，而與之相應(yīng)的傳統(tǒng)固體物理教學(xué)內(nèi)容與方法都比較滯后［1］，難以滿(mǎn)足學(xué)科自身的發(fā)展和學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的要求，難以跟上現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展。傳統(tǒng)固體物理課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系是以長(zhǎng)程有序的晶體為研究對(duì)象、研究晶體的結(jié)構(gòu)、晶格動(dòng)力學(xué)和能帶理論等為主要內(nèi)容［1］。進(jìn)入21世紀(jì)后，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，特別是納米科學(xué)與技術(shù)在全球呈爆炸式的發(fā)展對(duì)固體物理課程教學(xué)提出了即時(shí)現(xiàn)代化改革的緊迫要求［1］。這就需要教學(xué)者對(duì)固體物理學(xué)的教學(xué)進(jìn)行多角度、多方位的變革。本文結(jié)合固體物理學(xué)中的一些模型進(jìn)行系統(tǒng)化研究，列舉固體中的一些基本模型，闡述其各自特點(diǎn)并且找出其共有特性;并且討論在固體物理學(xué)的教學(xué)過(guò)程中如何貼切使用模型特點(diǎn)，找出適合固體物理學(xué)教學(xué)的方案。

固體物理學(xué)中的主要模型大體上有下述幾種。

1 一維單原子鏈模型

一維單原子鏈的晶格具有周期性，其振動(dòng)膜為格波。格波和一般連續(xù)介質(zhì)波相類(lèi)似，但也有它不同的特點(diǎn)，它的格波形式解可寫(xiě)為:

它與一般連續(xù)介質(zhì)波:

上面的討論只適用于無(wú)窮長(zhǎng)鏈，對(duì)于有限長(zhǎng)原子鏈而言，兩端的原子和內(nèi)部原子不同，為了解決這個(gè)問(wèn)題，玻恩卡曼提出包含N個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為一個(gè)有限鏈的模型，它包含有限數(shù)目的原子，且所有原胞完全等價(jià)。一維單原子鏈采取波恩——卡曼條件之后，一維單原子鏈變成了一個(gè)近似直線(xiàn)振動(dòng)的一維單原子環(huán)。這相當(dāng)于給原子鏈附加了一個(gè)周期性邊界條件，這樣做的結(jié)果使得考慮了邊界條件之后，一維有限長(zhǎng)原子鏈問(wèn)題與無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題非常類(lèi)似:內(nèi)部各原子的振動(dòng)都是近似在一條直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的，并且保證所有原子完全等價(jià)。這與未采取玻恩——卡曼條件之前的區(qū)別在于必須考慮到鏈的循環(huán)性，若不采取波恩——卡曼條件，在只有近鄰相互作用時(shí)，中間的原子分別受到兩邊相鄰原子給它的作用，而兩端的兩原子則都各只受一個(gè)近鄰作用。因此，兩端原子與中間原子的運(yùn)動(dòng)方程不同，從而使得它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律非常復(fù)雜。為了避免這種情況，波恩——卡曼提出的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型，使得計(jì)算大大簡(jiǎn)化，并且對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響。

2 晶格量子熱容模型

固體熱容主要由晶格熱容和電子熱容組成，只有在極低溫度下，電子熱容才有貢獻(xiàn)，且貢獻(xiàn)很小，所以往往討論的熱容僅限于固體的晶格熱容。對(duì)于晶格熱容而言，只要知道簡(jiǎn)正振動(dòng)的頻率，就可以直接根據(jù)熱容公式寫(xiě)出熱容。但對(duì)于具體晶體，計(jì)算出3N個(gè)簡(jiǎn)正頻率是一件不可完成的任務(wù)。在一般討論時(shí)，常常采用愛(ài)因斯坦模型與德拜模型。

2.1 愛(ài)因斯坦模型

愛(ài)因斯坦假設(shè)晶格中各原子的振動(dòng)可以看作是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率ω0［2］，每個(gè)原子有三個(gè)自由度，則整個(gè)晶體共有3N個(gè)頻率為ω0的振動(dòng)。與經(jīng)典理論相比，愛(ài)因斯坦的這種理論改進(jìn)十分顯著，它基本上能夠反映出Cv隨溫度下降的趨勢(shì)，并且與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。但是在極低溫度下，晶格熱容以T3趨于零，而愛(ài)因斯坦熱容則比T3更快地趨于零，這與實(shí)驗(yàn)偏差較大。這是由于愛(ài)因斯坦模型過(guò)于簡(jiǎn)單，因?yàn)樵跇O低溫度下，晶格熱容主要取決于長(zhǎng)聲學(xué)波。愛(ài)因斯坦把所有的格波都視為光學(xué)波，則沒(méi)有考慮長(zhǎng)聲學(xué)波在極低溫時(shí)對(duì)熱容的重要要貢獻(xiàn)，這也表現(xiàn)出愛(ài)因斯坦模型存在一定的局限性。

2.2 德拜模型

在低溫范圍內(nèi)，愛(ài)因斯坦理論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)不符，為了解決這一問(wèn)題德拜考慮到了晶格振動(dòng)的頻率分布。德拜模型的基本思想是:把格波作為彈性波來(lái)處理。他對(duì)晶格采取了一個(gè)很簡(jiǎn)單的近似模型，從而得到了非常重要的近似頻率分布函數(shù)，他認(rèn)為，如果從宏觀(guān)力學(xué)的角度而不是原子理論來(lái)進(jìn)行分析，晶體可以視作連續(xù)的彈性介質(zhì)。德拜也正把晶格當(dāng)作彈性介質(zhì)來(lái)處理的，他具體分析的是各向同性的彈性介質(zhì)，在這種情況下，對(duì)于一定的波數(shù)矢量→q，有一個(gè)縱波ω=c1q和兩個(gè)獨(dú)立的橫波ω =c1q［2］。這表明，縱波與橫波具有不同的波速，在德拜模型中各種不同波矢→q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模［2］。

德拜模型的量子熱容在高溫情形下與經(jīng)典理論相一致，而且在極低溫度下與實(shí)驗(yàn)也是相符的，并且溫度越低符合程度越好。因?yàn)樵诘蜏貥O限時(shí)，熱容決定于最低頻率的振動(dòng)，這些正是波長(zhǎng)最長(zhǎng)的彈性波。根據(jù)德拜理論可以得出，在極低溫度下，熱容與T3成正比，這種規(guī)律稱(chēng)為德拜T3定律。在德拜模型中，起到關(guān)鍵作用的德拜溫度ΘD都是間接由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的，所測(cè)出的德拜溫度ΘD應(yīng)是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)，但事實(shí)上，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)出的CV而定出的不同溫度下的ΘD卻不同，表明它與溫度有關(guān)。ΘD理論值與實(shí)驗(yàn)值有偏差的原因在于德拜模型忽略了晶體的各向異性，忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)，這在一定程度上體現(xiàn)了德拜模型的局限性。

晶格熱容的這兩個(gè)模型的建立是逐步遞進(jìn)式發(fā)展起來(lái)的，并且具有承上啟下的重要作用。愛(ài)因斯坦模型在晶體的熱容問(wèn)題中引入了量子力學(xué)的相關(guān)理論，并且在做了基本簡(jiǎn)單的近似之后給出了比較符合實(shí)驗(yàn)事實(shí)的熱容理論;而德拜模型則是在愛(ài)因斯坦模型的基礎(chǔ)上，做了進(jìn)一步的修正，找出原有模型的缺陷之處進(jìn)行大膽的假設(shè)和簡(jiǎn)單近似，從而使獲得的理論更加的細(xì)致、更加的符合實(shí)驗(yàn)事實(shí)。在固體物理學(xué)的教學(xué)中，充分挖掘晶格熱容的兩個(gè)模型特點(diǎn)，不僅可以使得學(xué)生加深對(duì)熱容相關(guān)理論的理解，而且還可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題提供一套合適的方式。

3 固體能帶模型

能帶理論是研究固體中電子尤其是價(jià)電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的主要理論基礎(chǔ)，它是在確立了量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律以后，借助量子力學(xué)相關(guān)理論研究金屬電導(dǎo)理論的過(guò)程中逐步發(fā)展起來(lái)的，最初的成就在于定性的解釋了晶體中電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的普遍性特點(diǎn)［4］。

固體中存在大量的電子，各電子的運(yùn)動(dòng)相互關(guān)聯(lián)，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)都不是獨(dú)立的行為，都要受到其它電子運(yùn)動(dòng)的影響［3］。能帶理論是一種單電子近似的理論，它把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立的在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于價(jià)電子而言，其等效勢(shì)場(chǎng)，包括離子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)、其它價(jià)電子的平均勢(shì)場(chǎng)以及考慮電子波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)性而帶來(lái)的交換作用［3］。能帶理論的根基在于固體中的電子不再束縛于個(gè)別原子，而被整個(gè)固體共有，稱(chēng)為共有化電子［3］。對(duì)于共有化電子而言，假定原子實(shí)處在其平衡位置，把原子實(shí)偏離平衡位置的影響看成微擾［3］。理想晶體中原子規(guī)則地周期性排列成晶格，因而整個(gè)晶格具有周期性，則等效勢(shì)場(chǎng)也應(yīng)具有相應(yīng)的周期性。晶體中電子的波動(dòng)方程為:

以此為基礎(chǔ)，固體能帶理論在發(fā)展的過(guò)程中，建立了贗勢(shì)、近自由電子近似、緊束縛近似等進(jìn)一步的近似模型。

3.1 贗勢(shì)模型

贗勢(shì)即在原子實(shí)內(nèi)部用假象的勢(shì)能取代真實(shí)的勢(shì)能，而在求解波動(dòng)方程的過(guò)程中，不改變體系的能量本征值及離子實(shí)之間區(qū)域的波函數(shù)［3］。實(shí)際采用的贗勢(shì)往往是使離子實(shí)內(nèi)部的電子波函數(shù)盡可能的平坦，使問(wèn)題在符合實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上更加的理想、簡(jiǎn)單。這里以空中心模型為例，它所表示的正離子贗勢(shì)為:

這是一種理想化模型，在討論問(wèn)題的過(guò)程中，將離子實(shí)內(nèi)部的排斥作用和吸引作用相互抵消，而離子實(shí)外部被看成是離子電荷+Ze的庫(kù)倫場(chǎng)。相關(guān)工作表明，只要取得合適Rc，這種模型能和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合。

在贗勢(shì)模型中，需要解決的一個(gè)問(wèn)題是介電屏蔽。固體中的離子與氣體不同，它們是浸在電子云中的，它的屏蔽可以使電子云極化，這種極化反過(guò)來(lái)起著屏蔽作用。其中離子勢(shì)是各個(gè)格點(diǎn)位置上單離子勢(shì)的疊加，即

或者寫(xiě)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式

3.2 近自由電子近似模型

近自由電子近似模型將晶體等效周期場(chǎng)中的電子近似的視作自由電子，它處理周期勢(shì)場(chǎng)起伏比較小的情況。此時(shí)，勢(shì)場(chǎng)的平均值可以作為零級(jí)近似的哈密頓量，零級(jí)近似波動(dòng)方程的解為自由電子，將周期勢(shì)場(chǎng)相對(duì)平均值的起伏作為微擾，利用不含時(shí)的簡(jiǎn)并、非簡(jiǎn)并微擾論進(jìn)行微擾計(jì)算，從而得到近自由電子近似的能帶理論。

采取這種模型進(jìn)行討論，可以進(jìn)一步了解在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子本征態(tài)一些最基本的特點(diǎn)。近自由電子模型對(duì)于周期性起伏較小的情況，將各電子間的相互作用做了簡(jiǎn)單化、理想化的處理，這樣做更有易于計(jì)算周期場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)情形，可以更加方便地討論電子的能級(jí)所形成的能帶，促使能帶理論的形成，還可以解釋許多金屬晶體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在教學(xué)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如此建立模型的習(xí)慣，可以使同學(xué)擺脫傳統(tǒng)物理思維的束縛，進(jìn)而培養(yǎng)解決稍顯深?yuàn)W物理問(wèn)題的具體能力。

3.3 緊束縛近似模型

這種模型的出發(fā)點(diǎn)是電子在一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子場(chǎng)的作用，把其它原子場(chǎng)的作用看成是微擾作用，這樣可以得到電子的原子能級(jí)與晶體中能帶之間的相互關(guān)系和相關(guān)作用［4］。類(lèi)似于近自由電子近似模型，這種模型的優(yōu)點(diǎn)是:可以方便的利用此模型來(lái)討論外界壓力對(duì)固體能帶結(jié)構(gòu)的影響，把能帶寬度和禁帶寬度表示為近鄰原子之間的距離R的函數(shù)，當(dāng)壓力發(fā)生變化時(shí)，近鄰原子之間的距離R也會(huì)發(fā)生變化，因而壓力對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響清晰可見(jiàn)，其物理意義明確，有助于學(xué)生更清楚地理解壓力對(duì)固體能帶結(jié)構(gòu)影響的物理本質(zhì)，此外理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在數(shù)量級(jí)上基本一致［4］。由此可以看出采取這種模型對(duì)于學(xué)習(xí)能帶理論有很大的幫助，有助于深刻理解能帶理論的形成。

通過(guò)系統(tǒng)地分析以上各種模型的特點(diǎn)，可以看出模型化在固體物理學(xué)中的學(xué)與教中都有非常明顯的優(yōu)勢(shì)所在。應(yīng)用各種模型的優(yōu)點(diǎn)可以將固體物理中無(wú)法精確求解的無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限問(wèn)題、將經(jīng)典無(wú)法解決的問(wèn)題借助量子理論進(jìn)行近似處理、將某些非線(xiàn)性問(wèn)題轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型問(wèn)題，同時(shí)，在模型化的過(guò)程中，抓住了其中的主要矛盾，而忽略掉次要矛盾，進(jìn)而使固體問(wèn)題理想化、簡(jiǎn)單化。此外，還可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)確定相應(yīng)的物理值，使相關(guān)物理量理論值盡可能與實(shí)驗(yàn)值符合好。這樣剝離出固體中的具體模型，在教學(xué)的過(guò)程中可以使同學(xué)們更加明晰固體物理相關(guān)理論，使繁瑣的固體物理學(xué)問(wèn)題較為條例、清晰，并且物理意義更加明確。

4 結(jié)論

本文首先列舉了固體物理學(xué)中的一維單原子鏈模型、晶體量子熱容的德拜及愛(ài)因斯坦模型、贗勢(shì)模型、近自由電子近似模型、緊束縛近似模型等，在分析其各自模型的特點(diǎn)后，討論這幾種典型模型在固體物理中教與學(xué)的優(yōu)勢(shì)所在，分別找出其在解決固體問(wèn)題的簡(jiǎn)單方式，這在一定程度上有利于固體物理的教與學(xué)，并可以廣泛用于科學(xué)技術(shù);最后總結(jié)分析以上各種模型的基本特點(diǎn)并找出其共性，認(rèn)識(shí)到模型化在固體物理學(xué)中的重要性。

［1］香蓮，張建芳，何穎卓.《固體物理學(xué)》教學(xué)改革淺析 ［J］.內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，18(5):156.

［2］張啟明.錫銀鋅合金及其金屬間化合物的熱性質(zhì)和電輸運(yùn)性質(zhì) ［D］.天津:天津大學(xué)，2010，13.

［3］夏中秋.ZnTe及稀土摻雜ZnTe電子結(jié)構(gòu)和電學(xué)性質(zhì)的研究［D］.呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)，2012.27.

［4］張娟娟.Ⅲ－N化合物電子結(jié)構(gòu)和晶體動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的第一性原理研究 ［D］.呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)，2011.21.

［5］李德俊，葉伏秋，趙鶴，等.用緊束縛理論研究壓力對(duì)固體能帶結(jié)構(gòu)的影響 ［J］.發(fā)光學(xué)報(bào)，2005，26(2):153.