Kerr介質(zhì)對(duì)二項(xiàng)式光場(chǎng)和三能級(jí)原子場(chǎng)熵的影響

田小麗，王建榮

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

自量子光學(xué)理論誕生以來(lái)，光與物質(zhì)之間的相互作用已被人們關(guān)注多年，成為量子光學(xué)領(lǐng)域研究的熱門課題。量子糾纏的概念提出后[1]，人們用量子糾纏研究了光場(chǎng)和原子相互作用的動(dòng)力學(xué)特性，二項(xiàng)式光場(chǎng)的產(chǎn)生[2-3]，二項(xiàng)式光場(chǎng)與級(jí)聯(lián)二能級(jí)原子的量子糾纏，及單模多模光場(chǎng)和二能級(jí)原子的互相作用等。近來(lái)發(fā)現(xiàn)，在量子信息表示方面，三能級(jí)系統(tǒng)比二能級(jí)系統(tǒng)表現(xiàn)出更多突出優(yōu)點(diǎn)，所以人們對(duì)三能級(jí)或多能級(jí)系統(tǒng)的研究日益廣泛，有人研究了二項(xiàng)式光場(chǎng)與級(jí)聯(lián)三能級(jí)原子的量子糾纏性質(zhì)[4-5];研究原子間的失諧量在光場(chǎng)與原子相互作用系統(tǒng)中影響[6];研究Kerr介質(zhì)的非線性系數(shù)在光場(chǎng)與原子相互作用系統(tǒng)中影響[7]，但都沒(méi)有考慮Kerr介質(zhì)的非線性系數(shù)和原子間的失諧量在光場(chǎng)與原子相互作用系統(tǒng)中的影響。本文利用全量子理論討論了非線性系數(shù)和原子間的失諧量對(duì)二項(xiàng)式光場(chǎng)與級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子相互作用過(guò)程中場(chǎng)熵的影響。

1 二項(xiàng)式光場(chǎng)

單模二項(xiàng)式光場(chǎng)定義為[2]:

其中，M表示最大光子數(shù);η為光場(chǎng)強(qiáng)度參量，當(dāng)η=0，1時(shí)，|ηM〉分別約化為真空態(tài)|0〉和Fock態(tài);當(dāng) η →0，M→ ∞ 但 ηM= α2= 常數(shù)，則|ηM〉約化為相干態(tài)。因此二項(xiàng)式態(tài)是介于相干態(tài)和Fock態(tài)之間的一種量子中間態(tài)，研究二項(xiàng)式光場(chǎng)和原子的相互作用具有理論及應(yīng)用價(jià)值。

2 理論模型

圖1 與二項(xiàng)式光場(chǎng)相互作用的三能級(jí)原子圖Fig.1 Cascade three-atom interaction energy-level diagram with binomial light field

如圖1所示的級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子模型，|3〉為最高激發(fā)態(tài)，|2〉為激發(fā)態(tài)，|1〉為原子的基態(tài)。原子在能級(jí)|3〉與|2〉，|2〉與|1〉之間躍遷，能級(jí)|3〉與|1〉之間為禁戒躍遷。在旋波近似及相互作用繪景中，二項(xiàng)式光場(chǎng)與原子相互作用的哈密頓量為:

其中a+和a為光場(chǎng)的產(chǎn)生和湮滅算符，g1和g2為原子與光場(chǎng)的耦合系數(shù)，本文取g1=g2=g，x為表示介質(zhì)的三階非線性電極化現(xiàn)象強(qiáng)弱程度的參量，△ =ω2－v2=ω1－v1為光場(chǎng)與原子耦合的失諧量。

設(shè)原子初態(tài)處在三個(gè)能級(jí)的疊加態(tài):

光場(chǎng)處于二項(xiàng)式態(tài)，則系統(tǒng)量子態(tài)的時(shí)間演化可表示為:

兩體純態(tài)糾纏度(部分熵糾纏度)為[8-10]:

而SIρ(t)的定義為:

其中:ρa(bǔ)(t)=Trf(|ΨI(t)〉〈ΨI(t)|)，

可以證明，糾纏度在0和1.1之間，表征系統(tǒng)局域的混亂程度，量子態(tài)的糾纏度越大，從局部上看“局部態(tài)”的“不確定程度”就越大。

利用式(3)可得原子和二項(xiàng)式光場(chǎng)相互作用的約化密度矩陣:

二項(xiàng)式光場(chǎng)的約化密度矩陣的本征值λf(t)滿足:

方程中系數(shù) u、v、u、w 滿足:

因此，光場(chǎng)和級(jí)聯(lián)三能級(jí)原子的量子約化熵可表示為:

3 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果分析

取二項(xiàng)式光場(chǎng)的最大光子數(shù)M=200，當(dāng)光場(chǎng)強(qiáng)度η、Kerr介質(zhì)參數(shù)x、失諧量△取不同值，對(duì)原子處于不同初始狀態(tài)時(shí)對(duì)(5)式進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算，可得到場(chǎng)熵隨時(shí)間的演化特性。場(chǎng)熵的時(shí)間演化可以反映光場(chǎng)與原子關(guān)聯(lián)程度的演化特性，熵越高，關(guān)聯(lián)越強(qiáng)，糾纏度越大。在場(chǎng)熵演化曲線中，gt表示時(shí)間因子，sf(t)表示場(chǎng)熵值。

3.1 原子的初始狀態(tài)處于非相干迭加態(tài)

原子處于激發(fā)態(tài)時(shí)，取A=0，B=1，C=0數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖2，圖3所示。

圖2 η=0.09 x=0.13時(shí)失諧量對(duì)場(chǎng)熵演化的影響Fig.2 Entropy evolution of the field with the frequency detuning when η =0.09 x=0.13

由圖2可知，在光場(chǎng)強(qiáng)度較小和失諧量為零時(shí)，x=0.13時(shí)原子間糾纏強(qiáng)烈，周期方面:前期熵值的振蕩幅度較大，但隨時(shí)間的延長(zhǎng)，平均熵值趨于平緩且維持較大值。在此過(guò)程中增加失諧量的值，即考慮到非共振因素。從圖中我們可以看到，體系的熵場(chǎng)值整體下移，即糾纏強(qiáng)度減弱。但會(huì)在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。

由圖3可知，在光場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，x取0.03時(shí)原子間糾纏量會(huì)達(dá)到最值，但場(chǎng)熵值振蕩幅度較大，失諧量值的變化對(duì)振幅的影響不大。即在此情況下原子間的糾纏不穩(wěn)定。

3.2 原子的初始狀態(tài)處于等權(quán)相干迭加態(tài)

從圖4我們可以看出，在Kerr介質(zhì)系數(shù)取1時(shí)，體系熵值基本上都在最大值和光場(chǎng)的強(qiáng)弱無(wú)關(guān)。失諧量在光場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)對(duì)體系熵值影響不大，對(duì)周期也沒(méi)有較大的影響。但是，在弱光場(chǎng)中如果適當(dāng)?shù)卦龃笫еC量的值卻可以使體系的糾纏量的振蕩幅度變小，即原子較好的糾纏在一起。

圖4 光場(chǎng)強(qiáng)弱，介質(zhì)系數(shù)和失諧量對(duì)場(chǎng)熵的影響Fig.4 Entropy evolution of the field with parameters of coherent light field，kerr coefficient and frequency detuning

4 結(jié)論

本文從理論上數(shù)值分析了二項(xiàng)式光場(chǎng)中Kerr介質(zhì)系數(shù)和失諧量對(duì)級(jí)聯(lián)三能級(jí)原子糾纏量的影響，得出:當(dāng)原子處在非相干迭加態(tài)時(shí)，二項(xiàng)式光場(chǎng)的強(qiáng)弱、Kerr介質(zhì)系數(shù)和失諧量對(duì)體系的熵值影響不同。當(dāng)光場(chǎng)較弱時(shí)，能得到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，此時(shí)Kerr介質(zhì)的系數(shù)決定了糾纏量的最值，且失諧量的大小對(duì)糾纏量的幅值有影響;當(dāng)光場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，得不到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，此時(shí)Kerr介質(zhì)的系數(shù)的影響同上，而失諧量對(duì)周期和幅值均沒(méi)有影響。若原子處在等權(quán)迭加態(tài)時(shí)，當(dāng)光場(chǎng)較弱時(shí)，Kerr介質(zhì)的系數(shù)影響場(chǎng)熵的最大值，且失諧量影響振蕩幅值;當(dāng)光場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，Kerr介質(zhì)的系數(shù)的影響同上，而失諧量對(duì)體系的熵值沒(méi)有太大影響。選擇合適的Kerr介質(zhì)的系數(shù)和失諧量的值可以得到穩(wěn)定的糾纏態(tài)，這對(duì)量子糾纏態(tài)的制備有一定的參考價(jià)值。

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