一個簡化的混沌系統(tǒng)及其控制器設計

吳鳳嬌，張建偉，王 雷

(西北農(nóng)林科技大學水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100)

0 引言

世界的本質(zhì)是非線性的，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。自從1963年Lorenz［1］第一次在三維系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來，混沌引起了人們的廣泛關注。人們發(fā)現(xiàn)并提出了很多新的混沌系統(tǒng)，具有代表性的包括1999年陳關榮等［2］發(fā)現(xiàn)存在混沌吸引子的Chen系統(tǒng)，2002年呂金虎等［3］發(fā)現(xiàn)的Lü系統(tǒng)和2004年劉崇新等［4］進一步提出的Liu系統(tǒng)。隨著計算機科學的不斷發(fā)展，人們對系統(tǒng)的混沌認識逐漸加深。

近年來，相關學者構造了很多新的四維混沌系統(tǒng)［5-7］，但對只含有一個立方項的四維混沌系統(tǒng)的研究不多，對其控制進行的文獻就更少。人們對于如何控制混沌開展了大量的研究，并已經(jīng)設計出許多控制方法，包括線性反饋控制方法、模糊控制方法、滑?？刂品椒ㄒ约爸鲃涌刂品椒ǖ龋?-13］。本文首先在磁彈體混沌系統(tǒng)的基礎上，構造一個新的四維混沌系統(tǒng)，并對其混沌特性進行動力學分析，證實該系統(tǒng)混沌的存在性。并提出一種新的滑模控制方法用于該系統(tǒng)的控制，通過Matlab數(shù)值仿真驗證所設計的控制器的有效性。

1 混沌系統(tǒng)的提出及分析

1.1 系統(tǒng)的混沌數(shù)學模型

混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的行為，而含有非線性項是非線性動力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項對系統(tǒng)能否出現(xiàn)混沌具有重要作用。磁彈體系統(tǒng)［14］的混沌模型為:

本文在公式(1)磁彈體系統(tǒng)的基礎上，通過引入部分線性項，構造只含有一個立方項的新四維動力系統(tǒng)為:

其中，α、F、ω 均是大于零的常數(shù)，d1、d2、d3、d4為外界擾動，它們都是有界的，即|di|≤δ，δ為常數(shù)。為不失一般性，此處取隨機擾動 d1=0.2;d2=0.3*sin(t);d3=0.4*cos(t);d4=0.4。當 α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2時，系統(tǒng)的三維相軌跡曲線如圖1所示。

圖1 公式(2)系統(tǒng)的x1-x2-x3相軌跡運動曲線

1.2 系統(tǒng)的混沌特性分析

1.2.1 耗散性分析

對系統(tǒng)進行耗散性分析有助于更好地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的混沌特性，對式(2)做梯度運算可以得到:

經(jīng)過上述分析計算可以看出，公式(2)系統(tǒng)的梯度小于零，即系統(tǒng)具有耗散性結構，隨著時間的推移，系統(tǒng)的運動軌跡最終將會趨于一個體積為零的極限吸引子上，收斂的速度是以指數(shù)-0.8-α的形式收斂到零。

1.2.2 Poincaré截面分析

利用Poincaré截面可以更好地認識系統(tǒng)的混沌特性，是一種經(jīng)典的混沌系統(tǒng)分析技術。可以通過觀測龐加萊截面上點的分布對系統(tǒng)進行定性分析，做出公式(2)系統(tǒng)在x1-x4平面點的分布情況如圖2所示，在圖2中點的分布是成片分形密集的，說明系統(tǒng)存在混沌行為。

圖2 公式(2)系統(tǒng)的龐加萊截面

1.2.3 Lyapunov 指數(shù)

李雅普諾夫是一種非常經(jīng)典的非線性動力學系統(tǒng)分析技術，通過觀察李雅普諾夫隨系統(tǒng)參數(shù)變化的動態(tài)規(guī)律，可以非常方便地對系統(tǒng)是否存在混沌做出判斷。當系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)有一個大于零時，稱其為混沌系統(tǒng);當系統(tǒng)存在2個李雅普諾夫指數(shù)大于零時，稱其為超混沌系統(tǒng)。當 α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2時，做出公式(2)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)F的變化規(guī)律如圖3所示，可以從圖3中明顯地看出，系統(tǒng)有一個Lyapunov指數(shù)大于零，因此公式(2)系統(tǒng)存在混沌特性。

圖3 公式(2)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

2 系統(tǒng)混沌模型的滑模變結構控制

2.1 系統(tǒng)的受控模型

公式(2)系統(tǒng)在控制器作用下的受控模型為:

式(4)中 u1、u2、u3、u4為待設計的控制器，定義如下矩陣:

其中，A為系統(tǒng)的線性矩陣，B為系統(tǒng)的控制矩陣，U為控制向量，X為狀態(tài)向量，D為外界擾動向量，G為系統(tǒng)的非線性向量。

在控制器輸入為0時，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡曲線以x1為例如圖4所示，可以看出，公式(2)系統(tǒng)在未加控制器時，其運動軌跡是非周期的隨機運動。因此設計目標就是在加入控制器后，能夠?qū)⒐?2)系統(tǒng)控制到指定的固定點或周期軌道。

圖4 受控前公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時域圖

2.2 控制器的設計

滑模控制器的設計分為2步:(1)等價控制器的設計，通過構造滑模面使系統(tǒng)達到期望的軌道;(2)不連續(xù)的趨近率的設計，保證系統(tǒng)在滑模面外的運動都能在有限的時間內(nèi)達到滑模面上，保證系統(tǒng)的魯棒性。

控制的目標是使系統(tǒng)的狀態(tài)X=［x1x2x3x4］T跟蹤期望的狀態(tài) Xd=［xd1xd2xd3xd4］T，因此，定義系統(tǒng)的跟蹤誤差:

其中，E= [e1e2e3e4]T為系統(tǒng)的跟蹤誤差向量?？梢缘贸稣`差動力系統(tǒng)為:

設計滑模面S=S(E，t):

其中，需要滿足條件 det(KB)≠0，此處取 K=diag(1，1，1，1)，并且滿足 A-BL 為負定矩陣。

總的滑模控制器設計為:

其中，ueq是等效控制器，ud為不連續(xù)的趨近律。

在滑模狀態(tài)下，必須滿足:

在不考慮外界擾動時，由式(6)、式(7)和式(9)可得:

因此由式(10)可以得到等效控制器:

為了保證系統(tǒng)在滑模面上運動的魯棒性，設計不連續(xù)的趨近律:

將式(11)和式(12)代入式(8)可得，系統(tǒng)總的控制器設計為:

其中，sign( x)是 x的符號函數(shù)，當 x＞0，sign( x)=1;當 x=0，sign( x)=0;當 x＜0，sign( x)=-1。

命題 若ε為常數(shù)，且滿足ε＞δ，則前述設計的式(13)控制器可將公式(2)系統(tǒng)從混沌態(tài)控制至穩(wěn)定運行狀態(tài)。

證明 李雅普諾夫函數(shù)選擇為:

從式(7)和式(13)可以得到:

證畢。

從上面的證明可以看出，設計的式(13)控制器具有很好的魯棒性，具有對外界干擾不敏感的優(yōu)點。

2.3 數(shù)值模擬

為將公式(2)系統(tǒng)從混沌態(tài)控制到期望的目標，取矩陣 A-BL的特征根為 P=［-5，-4.99，-5，-5.01］，故可確定矩陣:

根據(jù)式(7)可確定滑模面如下:

系統(tǒng)的初值取為［x(0)，y(0)，z(0)，u(0)］=［1，1，1，1］，期望目標 xd1=xd2=xd3=xd4=xd?？梢缘玫娇刂破鳛?

2.3.1 控制到固定點

在這里取參考狀態(tài)xd=0.3為例，在剛開始不加入控制器，等系統(tǒng)運行至t=10s時加入控制器，采用Matlab數(shù)值模擬繪制系統(tǒng)的狀態(tài)變量和滑模面的運動軌跡分別如圖5和圖6所示，此時對應的參數(shù)取值為 α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2，ε =7。

通過觀察圖5和圖6系統(tǒng)的狀態(tài)變量以及滑模面時域圖可知，系統(tǒng)在加入控制器后在很短的時間內(nèi)最終被控制至參考狀態(tài)xd=0.3，證明所設計控制器的有效性。

圖5 受控后公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時域圖(xd=0.3)

圖6 受控后公式(2)系統(tǒng)滑模面的時域圖

2.3.2 控制到周期軌道

在這里取參考狀態(tài)xd=0.5sin(0.5t)為例，在剛開始不加入控制器，等系統(tǒng)運行至t=10s時加入控制器，采用Matlab數(shù)值模擬繪制系統(tǒng)的狀態(tài)變量的運動軌跡如圖7所示。

圖7 受控后公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時域圖(xd=0.5sin(0.5t)

通過觀察圖7系統(tǒng)的狀態(tài)變量時域圖可知，系統(tǒng)在加入控制器后在很短的時間內(nèi)最終被控制至參考狀態(tài) xd=0.5sin(0.5t)，證明所設計控制器的有效性。

3 結束語

本文構造了一種只含一個立方項的非線性系統(tǒng)，通過對其相圖、耗散性、Lyapunov指數(shù)等動力學特性進行分析，證實了該系統(tǒng)的混沌存在性。并設計了一種新的滑?？刂品椒▽ζ浠煦邕\行軌跡進行控制，分別將其控制到期望的固定點和周期軌道，理論分析和Matlab數(shù)值仿真結果完全一致，證實了設計的控制器的合理性和有效性。

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