基于線性調(diào)頻擴(kuò)頻定位的動(dòng)態(tài)誤差修正算法

席通專，丁希侖

（北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

隨著無線傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，其低成本、低能量消耗、多功能［1］等特點(diǎn)吸引了大量研究，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物聯(lián)網(wǎng)、人員定位、機(jī)器人定位等眾多領(lǐng)域。定位功能是無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的一大特點(diǎn)，與傳統(tǒng)定位技術(shù)相比有組網(wǎng)靈活、成本低等特點(diǎn)。本文所采用的線性調(diào)頻擴(kuò)頻技術(shù)（chirp spread spectrum，CSS）是基于IEEE802.15.4a的物理層標(biāo)準(zhǔn)的無線傳感器技術(shù)，在中短距離內(nèi)具有良好的定位精度和穩(wěn)定性。

CSS技術(shù)是基于信號(hào)傳播時(shí)間（TOA）的測(cè)距，獲得節(jié)點(diǎn)之間的距離值后，可以采用無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中常用的基于距離的定位算法進(jìn)行定位。目前CSS定位的誤差修正主要研究CSS傳感器本身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和底層協(xié)議來提高測(cè)距精度，結(jié)合多個(gè)測(cè)距信息來反饋修正誤差的研究不多，這樣可以使測(cè)量距離得到相互修正。近年來，Ming Cao等人在文獻(xiàn)［2，3］中把Cayley-Menger行列式［4］引入定位中，推導(dǎo)出了平面定位誤差滿足的二次約束方程，這對(duì)定位誤差修正研究意義重大。利用誤差的距離幾何約束方程來對(duì)誤差進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的研究進(jìn)展卻不多。Ming Cao提出了一種基于距離幾何約束方程轉(zhuǎn)化為求誤差平方和的最值問題來估計(jì)測(cè)量誤差。文獻(xiàn)［5，6］中，在不同定位系統(tǒng)中應(yīng)用Ming Cao提出的方法來進(jìn)行測(cè)距誤差修正，再結(jié)合定位算法來提高定位精度，并進(jìn)行了仿真分析驗(yàn)證。他們的研究?jī)H采用仿真方法對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，沒有進(jìn)行定位實(shí)驗(yàn)評(píng)估算法效果，本文通過分析Ming Cao的基于距離幾何約束的誤差平方和最小值來估計(jì)誤差的方法后，發(fā)現(xiàn)該方法對(duì)定位精度的改善并不明顯，本文實(shí)驗(yàn)也證明了這點(diǎn)。

根據(jù)上述分析，本文提出了一種結(jié)合測(cè)距誤差模型與距離幾何約束方程來對(duì)視距環(huán)境下0定位進(jìn)行距離修正，給出實(shí)際定位中每個(gè)位置點(diǎn)的最優(yōu)測(cè)距誤差模型，再用這個(gè)系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化的線性方程對(duì)測(cè)量值進(jìn)行動(dòng)態(tài)修正。文章第1節(jié)分析了視距環(huán)境下CSS測(cè)距誤差模型特性，第2節(jié)介紹了距離幾何約束方程，分析Ming Cao的誤差平方和最優(yōu)解問題來修正誤差算法，然后提出了結(jié)合測(cè)距誤差模型和距離幾何約束的動(dòng)態(tài)修正算法，文章最后部分通過室內(nèi)CSS定位實(shí)驗(yàn)比較了動(dòng)態(tài)修正算法、Ming Cao的距離幾何約束算法及普通靜態(tài)修正算法的效果。

1 CSS測(cè)距誤差模型分析

線性調(diào)頻擴(kuò)頻技術(shù)以前主要用于脈沖壓縮雷達(dá)，能夠很好地解決沖擊雷達(dá)系統(tǒng)測(cè)距長(zhǎng)度和測(cè)距精度不能同時(shí)優(yōu)化的矛盾。IEEE將CSS技術(shù)列為802.15.4a技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的底層實(shí)現(xiàn)方式之一之后，CSS技術(shù)被越來越多被用于無線定位。CSS系統(tǒng)通過測(cè)量信號(hào)傳播的時(shí)間來計(jì)算距離，采用一種對(duì)稱雙向兩次測(cè)量法（SDS-TWR）［7］。該方法不需要節(jié)點(diǎn)之間時(shí)鐘同步即可完成測(cè)量，減少時(shí)鐘漂移帶來的誤差。CSS定位系統(tǒng)測(cè)距精度雖然比其他的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)高，但測(cè)量距離也包含了噪聲和誤差。誤差主要來源于兩部分，定位系統(tǒng)自身所引起的誤差和外部環(huán)境引起的誤差。CSS自身所引起的誤差為系統(tǒng)性誤差，主要是由傳感器的自身所有的參數(shù)如時(shí)鐘精確性、天線性能等導(dǎo)致的偏移距離。同時(shí)系統(tǒng)還存在由于非視距、多經(jīng)效應(yīng)和具體環(huán)境特點(diǎn)帶來的誤差，非視距環(huán)境會(huì)導(dǎo)致CSS系統(tǒng)出現(xiàn)比較大的誤差。由于本定位系統(tǒng)所應(yīng)用的環(huán)境特點(diǎn)，研究視距范圍內(nèi)的誤差修正，本文所提出的方法在非視距環(huán)境下并不能保證良好性能。

在視距環(huán)境下，CSS系統(tǒng)測(cè)距模型大致滿足線性關(guān)系，模型的系數(shù)與測(cè)距傳感器本身參數(shù)和環(huán)境有關(guān)，先通過測(cè)距測(cè)試研究CSS系統(tǒng)在視距環(huán)境的測(cè)距模型。測(cè)試分為兩組，一組研究同一對(duì)測(cè)距模塊在不同環(huán)境下的測(cè)距誤差模型，一組研究?jī)蓪?duì)不同測(cè)距模塊在相同環(huán)境的測(cè)距誤差模型。

測(cè)試1:選擇一對(duì)測(cè)距模塊，固定其中一模塊，另一個(gè)模塊依次放置在設(shè)定距離點(diǎn)測(cè)量;在室內(nèi)不同位置環(huán)境重復(fù)上述測(cè)試。

測(cè)試2:選擇兩對(duì)測(cè)距模塊，每一對(duì)測(cè)距模塊在同一位置環(huán)境按照實(shí)驗(yàn)1測(cè)距方法進(jìn)行測(cè)量。

得到測(cè)試結(jié)果后，通過最小二乘擬合得到相應(yīng)的測(cè)距誤差模型，數(shù)據(jù)點(diǎn)及擬和曲線如圖1所示，（a）、（b）為測(cè)試1結(jié)果，（c）、（d）為測(cè)試2研究結(jié)果，擬合方程如下:

上面的測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了存在誤差和其他干擾的CSS測(cè)距模型線性關(guān)系的系數(shù)并不是固定的，環(huán)境的變化、節(jié)點(diǎn)的不同，甚至測(cè)距模塊的姿態(tài)變化，都會(huì)引起測(cè)距模型系數(shù)的變化。如果有非視距或其他多徑效應(yīng)存在，測(cè)量距離與真實(shí)距離可能不滿足線性關(guān)系，或者擬合直線的系數(shù)會(huì)變動(dòng)很大，此時(shí)擬合方程式?jīng)]有意義。因此，視距環(huán)境下的CSS定位中有以下測(cè)距誤差模型為:

其中:d是真實(shí)距離;d是測(cè)量距離;a，b為線性方程系數(shù)。其中a1，a2，b1，b2可以根據(jù)定位前對(duì)定位模塊進(jìn)行測(cè)距測(cè)試擬合所得系數(shù)平均值附近的一個(gè)較小區(qū)間。如果擬合系數(shù)超過所取范圍，則認(rèn)為有較大噪聲干擾，仍然認(rèn)為測(cè)距誤差模型在式（5）的范圍內(nèi)。

目前視距范圍內(nèi)減少誤差的方法一般是取測(cè)距測(cè)試所擬合的測(cè)距誤差模型方程作為修正方程對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，即在整個(gè)定位中不考慮節(jié)點(diǎn)之間的差異、環(huán)境特點(diǎn)等導(dǎo)致測(cè)距誤差模型方程的差異，而采用同一方程對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正，本文中把這種方法叫做靜態(tài)誤差修正算法，研究根據(jù)每個(gè)定位最小單位（三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)，一個(gè)待測(cè)節(jié)點(diǎn)，如圖2所示）內(nèi)利用三個(gè)測(cè)量距離，然后通過距離幾何約束尋找最優(yōu)的測(cè)距模型方程d=a*d+b*，最大限度地動(dòng)態(tài)修正誤差，第2節(jié)詳細(xì)介紹了誤差修正過程。

圖2 三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)定位示意圖

2 距離幾何約束及動(dòng)態(tài)誤差修正算法

2.1 Cayley-Menger行列式及距離幾何約束修正誤差法分析

式中d（pi，qj）表示點(diǎn)pi和qj之間的歐幾里得距離。兩個(gè)點(diǎn)序列的Cayley-Menger雙聯(lián)行列式［4］定義為:

當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)序列是同一序列時(shí)，用D（p1，…，pn）表示D（p1，…，pn;q1，…，qn）用 M（p1，…pn）表示 M（p1，…，pn;q1，…，qn）并把 D（p1，…，pn）叫做 Cayley-Menger行列式。

Cayley-Menger行列式有下面比較經(jīng)典的結(jié)論:

定理1.（距離幾何基本定理）考慮m維空間由點(diǎn)p1，…，pn組成的n元組。如果n≥m+2，則Cayley-Menger矩陣M（p1，…，pn）是奇異的，即:

圖2為基于距離定位的一個(gè)常用最小定位單位，其中已知三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)1，2，3的位置坐標(biāo)，由無線傳感器可以測(cè)得待測(cè)節(jié)點(diǎn)0到錨節(jié)點(diǎn)1，2，3的之間距離。待測(cè)節(jié)點(diǎn)0到錨節(jié)點(diǎn)1，2，3，4的測(cè)量距離記為，i=1，2，3;4個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際歐式距離記為 dij=d（pi，pi），i，j=0，1，2，3＆i≠j。定義測(cè)量誤差 εi為:

則由定理1 知，D（p0，p1，p2，p3）=0，聯(lián)立D（p1，p2，p3）≠0，Ming Cao等人在文獻(xiàn)［2，3］中推出以下誤差關(guān)系式:

其中:A是3×3階矩陣，b是3×1階矩陣，c是一實(shí)數(shù)，且A，b，c是由dij表達(dá)的。可以看出式（10）是僅關(guān)于三個(gè)誤差值的一個(gè)約束方程。

在此基礎(chǔ)上，Ming Cao等提出了基于距離幾何約束方程的誤差估計(jì)方法。通過一個(gè)最小二乘法問題來求解最優(yōu)值來估計(jì)誤差如式（11）所示，本文中把這種方法叫做距離幾何約束Ming Cao修正法。

為了解決上述問題，下面部分根據(jù)CSS測(cè)距特點(diǎn)提出了誤差動(dòng)態(tài)修正方法，充分利用了距離幾何約束方程把測(cè)量距離誤差建立聯(lián)系并達(dá)到相互修正的作用。

2.2 基于距離幾何約束方程的動(dòng)態(tài)誤差修正算法

對(duì)于CSS定位系統(tǒng)來說，如第1節(jié)分析，視距環(huán)境下CSS測(cè)量距離非嚴(yán)格滿足線性關(guān)系，且線性方程的系數(shù)也隨著不同測(cè)距模塊、測(cè)距環(huán)境等在一個(gè)范圍內(nèi)變化。實(shí)際定位中定位節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，不可能提前測(cè)試好每對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的測(cè)距誤差模型系數(shù)，即使能測(cè)也是沒有意義的，因?yàn)闇y(cè)量過程中測(cè)距模塊的位置、位姿、信道等變化都會(huì)引起系數(shù)變化。

目前針對(duì)上述問題的處理方法多采用如第1節(jié)所述靜態(tài)修正算法。但是這種修正方法有明顯不足，CSS測(cè)距系統(tǒng)是一種高精度的系統(tǒng)，在100 m范圍內(nèi)測(cè)距誤差僅僅2～3 m，而測(cè)距誤差模型修正的距離是同一個(gè)數(shù)量級(jí)數(shù)據(jù)，采用不準(zhǔn)確測(cè)距模型方程修正后誤差依然可能很大。因此采用更準(zhǔn)確的測(cè)距誤差模型是很必要的，最好的解決方法是能估計(jì)出最小定位單位中待測(cè)節(jié)點(diǎn)與三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的三個(gè)測(cè)距誤差模型，但是由于約束方程數(shù)目不夠求解出每個(gè)模型系數(shù)。本算法則假設(shè)最小定位單位中三個(gè)測(cè)距誤差模型為同一模型，然后再根據(jù)距離幾何約束條件找出這一最佳估計(jì)。在本算法中，把使得距離約束方程f1（ε1，ε2，ε3）取得最接近0的系數(shù)作為一個(gè)最小定位單位的最佳測(cè)距誤差模型。滿足距離幾何約束為0的測(cè)距誤差模型可能有多個(gè)，但是根據(jù)第1節(jié)研究，視距環(huán)境下的測(cè)距誤差模型系數(shù)一般在一個(gè)范圍內(nèi)，而把超出這個(gè)范圍系數(shù)的測(cè)距誤差模型認(rèn)為是其他較大隨機(jī)誤差或非視距等引起的，或是數(shù)學(xué)方法求出的無效解。研究中只考慮在已知系數(shù)范圍內(nèi)使距離約束方程左邊最接近0的一組系數(shù)解為最佳測(cè)距誤差模型的系數(shù)。

根據(jù)第一節(jié)的研究，根據(jù)定位實(shí)驗(yàn)前測(cè)距實(shí)驗(yàn)擬合測(cè)量模型方程，選取多個(gè)擬合測(cè)距誤差模型系數(shù)的平均值作為中位置，然后選擇中位置附近的一個(gè)區(qū)間 a∈［a1，a2］，b∈［b1，b2］作為求解最佳測(cè)距誤差模型系數(shù)區(qū)間。聯(lián)立

式（5）和式（9）得到以下方程組，

由式（12）可以推出:

把εi帶入距離幾何約束方程式（10），得到關(guān)于未知數(shù)a，b的函數(shù)，記為

在 a∈［a1，a2］，b∈［b1，b2］內(nèi) F（ab）最接近 0 所對(duì)應(yīng)的一組a*，b*就是測(cè)距誤差模型的最佳系數(shù)估計(jì).因此求解最佳測(cè)距誤差模型方程的問題就轉(zhuǎn)化為如式（15）的一個(gè)最優(yōu)值求解的問題，

通過數(shù)值方法可以求解出系數(shù)的最優(yōu)估計(jì):a*，b*。求解出最佳測(cè)距誤差模型d=a*+b*后，利用這個(gè)模型對(duì)測(cè)量距離進(jìn)行修正，修正后的距離采用平面定位方法如三邊法等即可求得待測(cè)節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)。動(dòng)態(tài)誤差修正算法的意義在于能夠更準(zhǔn)確的修正測(cè)量距離，修正后的距離再采用任何其他定位算法都提高定位精度，但是本算法相對(duì)于靜態(tài)修正算法增加了計(jì)算量。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本定位實(shí)驗(yàn)采取Nanotron公司開發(fā)的CSS測(cè)距模塊。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地為室內(nèi)15.2 m×15.2 m的空間，中間無障礙物，測(cè)距模塊安裝在1.5 m等高的支架上，三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)位于P1（0.95，0.95），P2（14.25，14.25），P3（14.25，14.25），定位位置如圖3所示的25個(gè)點(diǎn)上，圖中每格距離為1.9 m。待定位節(jié)點(diǎn)依次放置在這25個(gè)位置上。

圖3 定位實(shí)驗(yàn)布置圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

用式（16）作為定位誤差來評(píng)價(jià)三種定位算法效果:

圖4 定位誤差對(duì)比圖

從圖4可以看出，本文所用方法在92% 的點(diǎn)比距離幾何約束Ming Cao法和靜態(tài)修正法有明顯精度改善，距離幾何約束Ming Cao修正法與靜態(tài)修正法效果近似。定位誤差去掉最大3個(gè)點(diǎn)和最小3個(gè)點(diǎn)計(jì)算出三種方法的誤差值的平均值。通過表1中可以看出動(dòng)態(tài)修正法的三項(xiàng)誤差指標(biāo)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于距離幾何約束Ming Cao修正法和靜態(tài)修正法，動(dòng)態(tài)修正的誤差是靜態(tài)修正法誤差的61%，距離幾何約束Ming Cao修正法的68% 。由此可得，本文所用誤差動(dòng)態(tài)修正方法大幅提高了定位精度。同時(shí)，本文所用方法修正的測(cè)量距離可以與其他定位精度更高的基于距離的定位算法結(jié)合，將能進(jìn)一步提高定位算法的精度。

表1 實(shí)驗(yàn)指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié)論

CSS定位系統(tǒng)具有良好的視距環(huán)境下定位精度。距離幾何約束方程準(zhǔn)確地描述了平面定位中誤差之間關(guān)系，能夠用于測(cè)量距離誤差修正。本文所提出的結(jié)合測(cè)距誤差模型與距離幾何約束方程的動(dòng)態(tài)修正算法能有效地修正視距環(huán)境下CSS定位系統(tǒng)測(cè)量誤差提高定位精度，效果好于其他常用方法。

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