新型三平動并聯(lián)機床的運動分析

李琳，李開明

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094）

0 前言

并聯(lián)機床是在現(xiàn)代數(shù)控技術(shù)、機床技術(shù)和機器人技術(shù)基礎上發(fā)展出的一種高精度、高柔性的制造設備。同串聯(lián)機床相比，并聯(lián)機床具有獨特的優(yōu)點，克服了串聯(lián)機床存在的缺點［1］。它將空間并聯(lián)機構(gòu)的特點應用到機床中，綜合利用計算機軟件、電子控制等設備，取代部分機械傳動，能夠很方便地實現(xiàn)較復雜的空間運動。與傳統(tǒng)機床相比，并聯(lián)運動機床具有結(jié)構(gòu)簡單、剛度高、動態(tài)性能好、反應速度快、可重構(gòu)等優(yōu)點［2］。由于并聯(lián)機床理論上所具有的一系列優(yōu)點，近年來已成為一個十分熱門的研究方向。但是在實際應用中，還有許多技術(shù)問題尚待攻克。

并聯(lián)機構(gòu)的復雜性首先表現(xiàn)為并聯(lián)多閉環(huán)機構(gòu)內(nèi)在的運動學的復雜性。奇異位形是機構(gòu)的一個非常重要的運動學特性，機構(gòu)的運動受力、控制等各方面的性能都與此有密切關(guān)系。在并聯(lián)機構(gòu)的研究中，當并聯(lián)機構(gòu)處于奇異位形時，其操作平臺具有多余自由度，此時機構(gòu)就會失去控制。奇異性是并聯(lián)機器人機構(gòu)學研究的重要內(nèi)容，本文對并聯(lián)機床的奇異性和平穩(wěn)性進行深入研究，為并聯(lián)機床結(jié)構(gòu)確定關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)提供依據(jù)。

1 運動學方程的建立

該并聯(lián)機床通過六條支鏈連接上下兩平臺，六根絲桿兩兩平行，即 A1B1//A2B2，A3B3//A4B4，A5B5//A6B6。下平臺固定，上平臺可進行平動，六根結(jié)構(gòu)、長度相同可以分別調(diào)節(jié)的支撐桿用球面副連接上下兩平臺，其中有兩組桿與上平臺鉸接時采用了復合鉸鏈設計，通過特定的鉸鏈布置和支鏈伸縮桿同步驅(qū)動限制了末端執(zhí)行器的三個轉(zhuǎn)動自由度，實現(xiàn)機構(gòu)三維移動。

圖1 機構(gòu)簡圖

首先建立坐標系［圖1（b）］。固定坐標系O－xyz固聯(lián)于下平臺，坐標中心O與下平臺幾何中心重合，Ox軸與OB1重合，Oy按右手定則確定，Oz軸垂直于固定平臺向上。動坐標系 P － x＇y＇z＇與上平臺固聯(lián)，中心 P 與上平臺幾何中心重合，x＇軸與Pc1重合，y＇按右手定則確定。

下平臺各鉸鏈中心點Ai及組桿鉸鏈點Ci（圖2）在固定坐標系中的坐標為:

圖2 下平臺

其中 B5B6=B3B4=B1B2=D=r。

設上平臺坐標系P－x＇y＇z＇原點 P 在定坐標中坐標為（xp，yp，zp），則齊次變換為:

圖3 上平臺

其中R表示動坐標系對定坐標系的方向余弦。則動平臺上的鉸鏈點ci在固定坐標系中的位矢可表示為:

由于本文的研究對象為三自由度平動機構(gòu)，

并聯(lián)機構(gòu)的復雜性導致機構(gòu)的位置正解難度較大，但本機構(gòu)由于具有特殊性，具有唯一解析正解。其解如下:

2 奇異性

當機構(gòu)處于某些特殊位置時，其雅克比矩陣將成為奇異陣，其行列式的值為零，機構(gòu)的速度正反解不存在。把并聯(lián)機構(gòu)的這些特殊位置稱為奇異位形或特殊位形。奇異性是并聯(lián)機床結(jié)構(gòu)參數(shù)設計所需考慮的重要因素。當并聯(lián)機床處于奇異形位時，機構(gòu)將獲得多余不可控的自由度或者變得剛化而失去部分自由度。機構(gòu)自由度的喪失意味著機構(gòu)某種功能的喪失，而機構(gòu)獲得額外的自由度則會導致機構(gòu)失控，因此在設計和應用時應該盡量避開其奇異位形［3-4］。

即:

3 平穩(wěn)性研究

三階逆雅可比矩陣為:

以基坐標系o－xyz為參考系，動平臺坐標系原點P在基坐標系o－xyz中坐標為（xp，yp，zp），假設P點在Z=950 mm截面內(nèi)做圓周運動，其運動方程為:

其中t的單位為s，xp，yp，zp單位為 mm。其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:靜平臺半徑R=1 000 mm，動平臺半徑D=350 mm，驅(qū)動桿桿長lmin=900 mm，lmax=1 900 mm。利用 MATLAB進行數(shù)據(jù)處理，得到桿和動平臺線速度和線加速度曲線。其中圖4為各桿的速度;圖5為各桿加速度;圖6為動平臺速度;圖7為動平臺加速度。

圖4 各桿的伸縮速度

由圖4～圖7可知:桿1最大線速度為31.387 mm/s，最大線加速度為49.303 mm/s2;桿2最大線速度為28.894 mm/s，最大線加速度為45.387 mm/s2;桿3最大線速度為28.895 mm/s，最大線加速度為45.39 mm/s2，曲線沿 x 軸呈正余弦變化。動平臺中心點最大線速度為47.122 mm/s，理論值為47.124 mm/s，最大線加速度為74.021 mm/s2，理論值為74.022 mm/s2。該機床驅(qū)動桿的伸縮速度曲線連續(xù)并且非常光滑，說明該機床運動時的平穩(wěn)性較好。

4 結(jié)束語

［1］王傳強，趙恒華.3-TPT并聯(lián)機床奇異性及平穩(wěn)性研究［J］.組合機床與自動化加工技術(shù)，2010，（10）:26-28.

［2］劉素明，趙強，李軍.3-2HSS并聯(lián)機床運動學分析及運動仿真［J］.機床與液壓，2008，（9）:115-117.

［3］陳旭，鄧亮，蔡光起，等.基于3-UPS機構(gòu)并聯(lián)機床的運動學分析［J］.機械與電子，2005，（6）:9-11.

［4］王傳強，趙恒華.并聯(lián)機床的奇異性研究［J］.石油化工高等學校學報，2010，（6）:84-88.