關(guān)于函數(shù)常表素數(shù)的問題

管訓(xùn)貴

（泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

1 引言及主要結(jié)論

用Gauss函數(shù)（又稱取整函數(shù)）表示特殊的整數(shù).G?del，Escher和Bach.在合著的一本數(shù)學(xué)普及讀物中，用遞歸方式定義了如下的數(shù)列

G（0）=0，G（n）=n-G（G（n-1）），n=1，2，3，…并向全世界征解該數(shù)列的通項公式.直到1986年，N.I.Fine[1]解決并得出其結(jié)論是：

后來，Lord Rayleigh用Gauss函數(shù)給出了又一個有趣的結(jié)論：設(shè)α，β為正無理數(shù)，且滿足關(guān)系1，則an=[nα]，n=1，2，3，…；bn=[nβ]，n=1，2，3，…兩兩不相等，且恰好給出了全體正整數(shù).

而用多項式函數(shù)表素數(shù)的問題，則是數(shù)論中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容之一，有許多重要問題與猜想至今尚未完全解決.

18世紀(jì)初，大數(shù)學(xué)家Euler等人就獲得了常表素數(shù)的函數(shù)（fn）=n2-n+17（0≤n≤16），（fn）=n2-n+41（0≤n≤40），（fn）=n2-79n+1601（0≤n≤79）等等.

G.Kabinovitch證明了[2]：函數(shù) （fn）=n2-n+m在0≤n≤m-1時常表素數(shù)的充要條件是虛二次域Q()的類數(shù)為1，這里d=1-4m.

R.Honsberger[3]在《素數(shù)的產(chǎn)生》一文中，介紹了產(chǎn)生素數(shù)的公式：函數(shù)

對正整數(shù)m和n，只取素數(shù)值，且取到所有的素數(shù)值，而每個奇素數(shù)正好各取一次.這一公式確實是人們夢寐以求的奇妙公式，它不僅只產(chǎn)生素數(shù)，而且能產(chǎn)生全部素數(shù)，甚至每個奇素數(shù)恰好各取一次，所以這個公式的出現(xiàn)，的確是一件值得慶賀的突破性的進展.

沈明剛[4]研究了函數(shù)f（n）=n2-n+p，他指出f（n）常表素數(shù)的實質(zhì)是Z[θ]為主理想環(huán)，這里θ為f（x）=x2-x+p的一個根，從而完全確定當(dāng)且僅當(dāng)p=2，3，5，11，17，41時，f（n）對于0≤n≤p-1常表素數(shù).

W.Fung和H.C.Williams[5]給出函數(shù)f（n）=47n2-1701n+10181在0≤n≤42時常表素數(shù).隨后，R.Ruby給出了函數(shù)f（n）=36n2-810n+2753在0≤n≤44時常表素數(shù).

2000年，袁平之[6]證明了：若p為奇素數(shù)，則h（-8p）=2的充要條件是對任何適合gcd（a，2p）=1，0＜a＜p的整數(shù)a，2p+a2常表素數(shù).此結(jié)論說明類數(shù)為2的二次域和函數(shù)常表素數(shù)之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.

本文給出用Gauss函數(shù)[x]常表素數(shù)的一個結(jié)果.即如下

定理 有一實數(shù)α存在，使得對任意正整數(shù)n，Gauss函數(shù)[αn]常表素數(shù).

2 關(guān)鍵性引理

引理1（契比雪夫定理） 對任意實數(shù)x≥1，在區(qū)間[x，2x]上必有素數(shù)存在.

證明 參見文獻[7].

引理2（單調(diào)有界定理） 任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.

證明 參見文獻[8].

引理3 設(shè)θ＞0.55，則存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，在區(qū)間[x，x+xθ]上存在素數(shù).

證明 參見文獻[9-10].

3 定理的證明

證法1 設(shè)m是不小于2的正整數(shù)，p1為給定的任意奇素數(shù).由引理1知，有一素數(shù)pn+1滿足

顯然 pn+1+1≠mpn+1，否則 pn+1=mpn+1-1為合數(shù).故

則由 pn＜logmpn+1＜logm（pn+1+1）＜pn+1知 un＜un+1＜vn+1＜vn.從而有

于是由引理2知，存在實數(shù)α和β，使得

又對所有正整數(shù)n有un＜vn，故un＜α≤β＜vn.令α0=α,α1=mα0,…,αn+1=mαn, 則 pn＜αn＜pn+1，即[αn]=pn常表素數(shù).

證法2 設(shè)p1=3，pn為大于N的任一素數(shù).取θ=0.6，由引理3知，有一素數(shù)pn+1滿足

故由引理2知，存在實數(shù)A和B，使得

又對所有正整數(shù)n有un＜vn，故un＜A≤B＜vn，同時kn得即pn＜Akn≤Bkn＜pn+1.令 Akn=αn（或 Bkn=αn），則[αn]=pn常表素數(shù).

定理得證.

[1]Fine N T.J of Mathematical Analysis and Applications[J].1986,113：185-187.

[2]Guy K.Unssolved Problems in Number Theory[M].Springer Verlay：New York,1994：1-55.

[3]Honsberger R.素數(shù)的產(chǎn)生[J].數(shù)學(xué)譯林,1984,3（3）：1-5.

[4]沈明剛.n2-n+p常表素數(shù)的完全確定[J].科學(xué)通報,1987（11）：801-803.

[5]Fung W,Williams H C.Quadratic polynomials which have a high density of prime values[J].Math Comput,1990(3)：286-289.

[6]袁平之.方程xy+yz+zx=n的正整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,43（3）：391-398.

[7]常庚哲,謝盛剛.數(shù)學(xué)競賽中的函數(shù)[X][M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1989：82-86.

[8]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社,2000：46.

[9]Hardy H,Wright E M.The Theory of Numbers[M].New York：Oxford Univ Press,fourth edition,1960.

[10]Iwaniec H,Laborde M.p in short intervals[J].Ann Inst.Fourier(Grenoble),1981(31)：37-56.