混凝土噴射臺車工作臂逆向運動學(xué)研究

韓 勇，管會生

(西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

混凝土噴射臺車是一種利用機械臂和壓縮空氣將混凝土輸送并噴射到施工面的自行式機械，被廣泛應(yīng)用于隧道、礦山等地下工程的建設(shè)中。我國對混凝土噴射臺車的應(yīng)用與研究始于20世紀(jì)70年代。近年來，不斷對國外混凝土噴射機械臂進行引進、消化、吸收再創(chuàng)新，目前已有幾家企業(yè)成功研制出混凝土噴射臺車，其綜合性能指標(biāo)已達到了相當(dāng)高的水平，可以滿足國內(nèi)部分工程項目的需要。

在以往的研究中:文獻［1－2］總結(jié)了地下工程建設(shè)機械化施工技術(shù);文獻［3－5］具體介紹了混凝土噴射臺車在隧道和礦山建設(shè)的應(yīng)用、發(fā)展、施工工藝以及存在的技術(shù)難點。機械臂是混凝土噴射臺車的主要工作裝置，具有調(diào)節(jié)噴頭空間位置與姿態(tài)的功能。對于復(fù)雜的噴射路徑，需要有一套聯(lián)動控制的機制，控制各油缸動作，驅(qū)動機械臂的關(guān)節(jié)運動，使末端工作器按給定路徑移動。文獻［6］給出了機械臂數(shù)學(xué)模型化的方法;文獻［7］介紹了機械臂的控制技術(shù);文獻［8－10］將機器人臂的分析技術(shù)應(yīng)用于工程機械工作臂的研究，在已知臂關(guān)節(jié)參數(shù)變量的條件下計算出工作臂末端可達空間，提供了工程機械工作臂正向運動學(xué)的研究實例。

為解決機械臂末端執(zhí)行器工作路徑控制的問題，需進一步研究噴射路徑與機械臂關(guān)節(jié)參數(shù)變量的關(guān)系。在噴射混凝土作業(yè)中，噴射路徑是依照工程需要預(yù)先給定的。因此，與文獻［8－10］不同的是，噴頭位置已知而機械臂關(guān)節(jié)運動過程未知。計算機械臂各關(guān)節(jié)參數(shù)將涉及到運動學(xué)逆向求解(文獻［8－10］屬于正向運動學(xué)求解)。

本文以Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂裝置作為研究對象，利用逆向運動學(xué)的方法，研究機械臂位姿參數(shù)與噴頭運動軌跡的關(guān)系。

1 混凝土噴射機械臂的結(jié)構(gòu)與工作原理

Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車是由Normet公司開發(fā)的一種多功能隧道移動混凝土噴射設(shè)備，可用于橫截面積15～200 m2和高度為15 m的工作空間。該臺車工作裝置(如圖1所示)集高效能的機械臂和工作平臺于一體，主要由基座、大臂、平臺基座、人員操作平臺、小臂和噴頭等部分組成。

混凝土噴射作業(yè)步驟為:

1)臺車移動。駕駛員操作臺車進入噴射位置，放下支腿，固定臺車位置。

2)大臂動作。大臂油缸驅(qū)動大臂工作，將人員平臺送至噴射工作面。保證工作區(qū)域在小臂工作空間之內(nèi)，且操作人員視野良好。

3)小臂動作。人員籃小臂將噴射頭送至噴射位置并采用S型路徑往返前進。同時，將混合均勻的混凝土輸送至噴頭，均勻噴射在工作壁面上。

圖1 Spraymec 9150混凝土噴射臺車機械臂(單位:mm)Fig.1 Working arm of Spraymec 9150 shotcreting machine(mm)

2 運動數(shù)學(xué)模型的建立

混凝土噴射機械臂可被看做由一系列轉(zhuǎn)動副和移動副連接而成的桿件組。在各桿件都不變形的前提下，在各桿件上確立對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)系，并且保證坐標(biāo)系與對應(yīng)桿件相對固定，利用Denavait－Hartenberg(D－H)方法，以4×4的矩陣來描述某桿件與相對固定參考坐標(biāo)系的三維幾何關(guān)系。將一系列空間關(guān)系矩陣按機構(gòu)運動關(guān)系首尾相乘，就可以得到機械臂末端相對于基座坐標(biāo)系的位置關(guān)系矩陣，最終建立混凝土噴射機械臂的位姿矩陣。具體步驟如下:

1)建立桿件坐標(biāo)。除去油缸后的機械臂結(jié)構(gòu)簡圖如圖2(a)所示，在桿件 Li(i=0，1，…，7)上固結(jié)坐標(biāo)系XiYiZi。其中，桿件 L1—L4的 X坐標(biāo)垂直向外桿，桿件L5—L7的X坐標(biāo)垂直向內(nèi)，X0Y0Z0坐標(biāo)為地面，X7Y7Z7坐標(biāo)為噴頭位置，噴頭原點被固結(jié)在小臂尖端中心位置。繪制的桿件坐標(biāo)簡圖如圖2(b)所示。根據(jù)工作臂機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿件坐標(biāo)可得到其桿件參數(shù)，各桿件參數(shù)如表1所示。

圖2 工作臂結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of working arm

表1 機械臂桿件參數(shù)Table 1 Pole parameters of manipulator

2)建立空間位姿矩陣。XiYiZi坐標(biāo)相對地面坐標(biāo)系X0Y0Z0的空間位姿矩陣Li可表示為各桿件矩陣按順序首尾相乘的形式，為

式中:三行三列矩陣Ri3×3是XiYiZi坐標(biāo)的姿態(tài)參數(shù)矩陣，決定其在空間中對應(yīng)坐標(biāo)系的姿態(tài);(xi，yi，zi)T是位置參數(shù)矩陣，確定其空間位置坐標(biāo)。

桿件矩陣i－1Ti有通式，為

根據(jù)機械臂桿件參數(shù)(如表1所示)，可知桿件矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6、6T7分別是關(guān)于變量 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7的函數(shù)。所以 7 個桿件矩陣可表示為:0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)、4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3 逆解方法

逆解問題是在目標(biāo)矩陣位置參數(shù)已知的情況下，求整臂位置姿態(tài)——各桿件參數(shù)的問題。

混凝土噴射機械臂逆解的已知條件:小臂終端X7Y7Z7坐標(biāo)相對于 X0Y0Z0坐標(biāo)的位置(x7，y7，z7)。求解目標(biāo):機械臂各桿件參數(shù)變量(θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7)。

在無附加條件的情況下，顯然逆解將得到多組臂形解。為確定一組合理臂形解，將整臂逆解分為以下3步:

1)確定大臂終端點。根據(jù)噴射路徑，找到合適的人員平臺位置，確定大臂終端X4Y4Z4坐標(biāo)(x4，y4，z4)。

2)確定大臂運動，解大臂桿件參數(shù)。根據(jù)大臂終端點坐標(biāo)，解出大臂桿件參數(shù)矩陣0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)。

3)求小臂桿件參數(shù)。將求出的大臂參數(shù)L4和已知參數(shù)X7Y7Z7的坐標(biāo)(x7，y7，z7)代入整臂位姿矩陣，解得出小臂桿件矩陣4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3.1 大臂終端位置

大臂臂形與人員平臺的位置有關(guān)，為找出大臂終端X4Y4Z4位置，應(yīng)確定合理的人員平臺位置。

合理的人員平臺位置應(yīng)滿足以下2個條件:

1)操作人員應(yīng)有良好的操作視野。

2)噴射工作區(qū)域在小臂工作空間之內(nèi)。

因此，人員平臺應(yīng)位于噴射工作面中心(點Pc)正前方。噴射區(qū)域與人員平臺關(guān)系如圖3所示。圖中X4Y4Z4為大臂終端，該點與平臺底部連接。D為大臂終端與噴射區(qū)域中心點Pc的橫坐標(biāo)距離，考慮小臂伸長距離，取值為2.5～3 m。Z為大臂終端與噴射區(qū)域中心點Pc的縱坐標(biāo)距離，其取值與操作人員目視高度有關(guān)，可取1.4 ～1.6 m。

圖3 噴射區(qū)域與平臺位置關(guān)系Fig.3 Position relationship between working area and platform

確定人員平臺位置的步驟如下:

1)根據(jù)噴射路徑找出工作面中心nc。以隧道中線某處為坐標(biāo)0點，在噴射路徑上均勻地取n個點Pn(xn，yn，zn)，通過式3可得到噴射中心點Pc的空間坐標(biāo)(cx，cy，cz)。

2)求出人員平臺中心L點。以噴射隧道側(cè)墻為例，X4Y4Z4相對于 X0Y0Z0的空間位置坐標(biāo) (x4，y4，z4)為:

3.2 大臂參數(shù)求解

已知大臂末端坐標(biāo)(x4，y4，z4)，大臂姿態(tài)就能被確定。在式(1)中，當(dāng)取i=4，可得大臂末端(桿件4坐標(biāo)X4Y4Z4)相對地面的位姿矩陣為:

考慮到人員平臺與地面水平，將條件θ1=－θ4代入式(5)，等式右側(cè)矩陣相乘可得:

提取式(6)中矩陣的位置參數(shù)可得:

經(jīng)計算整理后可得出4個變量的解:

式中:A= －x4·sin θ1+y4cos θ1－a4;B=xz－d1－d4。

3.3 小臂參數(shù)求解

已算得大臂桿件參數(shù)矩陣L4，式(1)取i=7，可得小臂末端(桿件7坐標(biāo)X7Y7Z7)相對地面的位姿矩陣

此時逆解整臂問題的未知量僅剩下3個小臂桿件參數(shù) θ5、θ6、d7。計算可得出:

式中:C=cos θ1·x7+sin θ1·y7－sin θ1·y4－cos θ1·x4;D= － sin θ1·x7+cos θ1·y7－ cos θ1·y4+sin θ1·x4。

4 應(yīng)用

按照實際噴射混凝土噴射工況［1］，在側(cè)墻上定義一條起點坐標(biāo)為(5 000，3 800，7 800)的噴射路徑(如圖4所示)，根據(jù)該路徑計算機械臂各關(guān)節(jié)運動參數(shù)曲線。

圖4 噴射路徑(單位:mm)Fig.4 Shotcreting path(mm)

按逆向解方法求以上路徑對應(yīng)各個運動副的參數(shù)曲線，過程如下:

1)在路徑上均勻取1 000個點;

2)求每個點對應(yīng)的 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7值;

3)將每個關(guān)節(jié)的數(shù)據(jù)擬合成曲線，得到5條轉(zhuǎn)動副參數(shù)曲線和2條平移副參數(shù)曲線;

4)將 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7曲線以 ASCII碼的形式保存至 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件。

編寫Matlab程序?qū)崿F(xiàn)上述功能，程序框圖如圖5所示。

圖5 程序運行框圖Fig.5 Program block

設(shè)定路徑上取點數(shù)n=1 000，計算步數(shù)為2 000。輸出仿真結(jié)果，得到轉(zhuǎn)動副參數(shù)曲線(見圖6)和平移副參數(shù)曲線(見圖7)。

5 虛擬樣機驗證

為論證逆解的正確性，設(shè)計虛擬樣機實驗來驗證逆解結(jié)果。

采用SolidWorks軟件進行三維建模，利用COSMOSMotion進行運動仿真實驗，從而驗證逆解方案。

根據(jù)預(yù)定噴射路徑，通過逆解求得了 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7共 7 個變量曲線。利用正向運動學(xué)思想，將這些運動曲線賦值給機械臂的對應(yīng)關(guān)節(jié)驅(qū)動電機，通過運動仿真，觀察機械臂末端的運動路徑與預(yù)定噴射路徑是否一致。

5.1 虛擬樣機的建立

利用SolidWorks軟件建立混凝土噴射機械臂各零件的簡化模型，除去油缸和銷軸，裝配整臂。在COSMOSMotion插件中，定義基座為靜止零件，其他零件為運動零件。軟件根據(jù)裝配條件生成如下運動副:轉(zhuǎn)動副joint1、轉(zhuǎn)動副joint2、移動副joint3、轉(zhuǎn)動副joint4、轉(zhuǎn)動副joint5、轉(zhuǎn)動副joint6、移動副joint7，然后在上述運動副上添加驅(qū)動電機。

將 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件以樣條曲線的形式依次導(dǎo)入至joint1、joint2、…、joint7對應(yīng)的驅(qū)動電機中。

建立混凝土噴射機械臂虛擬樣機如圖8所示。

圖8 機械臂虛擬樣機Fig.8 Virtual prototype of manipulator

5.2 仿真結(jié)果

為觀察人員籃和小臂末端運動軌跡，分別在人員籃轉(zhuǎn)動基座和小臂第二節(jié)伸縮臂末端定義軌跡跟蹤［8］。

設(shè)置仿真時間為200 s，幀數(shù)為2 000，選擇積分器類型為GSTIFF。機構(gòu)路徑仿真結(jié)果如圖9所示。

對比圖9和圖4，不難看出，正向仿真運動軌跡線和預(yù)先定義的噴射路徑相符合。該現(xiàn)象說明:按照逆解得到的各關(guān)節(jié)運動曲線可以驅(qū)動機械臂尖端按照預(yù)定路徑運動。

圖9 運動軌跡Fig.9 Trajectory

6 體會

本文運用幾何解法，給出了Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂的一種逆解方案，并設(shè)計了虛擬樣機實驗，對逆解結(jié)果進行驗證。驗正結(jié)果證明逆解正確，可作為同類機械臂末端執(zhí)行器控制的參考。

本文建立數(shù)學(xué)模型時默認各桿件為剛性桿件，在真實桿件形變作用下，實際情況和理論計算存在一定偏差。如考慮桿件變形因素的影響，可使計算更精確。

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