邊界穩(wěn)定化Heegaard曲面具有臨界性的一個(gè)必要條件

孫艷紅

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028000)

1 問(wèn)題背景

設(shè)M是一個(gè)緊致、可定向的三維流形.F是真嵌入在M中的分離的并且沒(méi)有環(huán)面分支的曲面.F的圓片復(fù)形記為Γ(F)，定義如下:

1)F的壓縮圓片的合痕類構(gòu)成Γ(F)的頂點(diǎn)集.

2)如果存在m+1個(gè)頂點(diǎn)的代表元彼此不交，則它們構(gòu)成一個(gè)m維單形.

稱曲面F是一個(gè)拓?fù)錁O小曲面，如果Γ(F)為空集，或者Γ(F)是不可縮的.并且稱拓?fù)錁O小曲面F的拓?fù)渲笖?shù)(簡(jiǎn)稱指數(shù))為滿足πn－1(Γ)≠1的最小的n.特別地，如果Γ(F)為空集，則定義為拓?fù)錁O小曲面F的指數(shù)為0.指數(shù)為0的拓?fù)錁O小曲面通常稱為不可壓縮曲面，這是三維流形理論中被廣泛研究的一類重要曲面.指數(shù)為1的拓?fù)錁O小曲面稱為強(qiáng)不可約曲面，這類曲面在三維流形理論中同樣十分重要.拓?fù)錁O小曲面是由David Bachman［2］首次提出的，是近年來(lái)三維流形理論一個(gè)熱門(mén)問(wèn)題.它與微分幾何中的極小曲面的概念有非常緊密的聯(lián)系［2－3］.

拓?fù)錁O小曲面具有很多相似的性質(zhì)，即使拓?fù)渲笖?shù)可能并不相同.例如，三維流形中嵌入的不可壓縮曲面和任意指數(shù)的拓?fù)錁O小曲面，都可以合痕移動(dòng)使得交線在兩個(gè)曲面上都是本質(zhì)的.

對(duì)于一般情況，David Bachman對(duì)指數(shù)≥2的拓?fù)錁O小曲面做了深入研究，首先證明了任意指數(shù)的拓?fù)錁O小曲面是存在的［3］.特別地，David Bachman引入了臨界曲面(critical surface)的定義［1］，并證明了臨界曲面是指數(shù)為2的拓?fù)錁O小曲面.因此給出了指數(shù)為2的拓?fù)錁O小曲面的等價(jià)定義.

定義1［3］F是M中的一個(gè)臨界曲面(critical surface)，如果F的壓縮圓片的合痕類可以分解成兩個(gè)不交的非空子集C0和C1如下:

1)對(duì)每個(gè)i=0，1，存在 F 的兩個(gè)壓縮圓片 Di，Ei∈Ci，Di，Ei位于 F 的不同側(cè)并且交集為空;

2)對(duì)任意兩個(gè)壓縮圓片滿足V∈C0，W∈C1，并且V與W位于F的不同側(cè)，則V與W的交集不為空.

盡管這個(gè)定義更加直觀，然而目前已經(jīng)知道的臨界曲面的例子仍然非常少.Lee Jung Hoon在文獻(xiàn)［6］中給出了一種利用“邊界穩(wěn)定化”構(gòu)造臨界Heegaard曲面的方法.本文在Lee Jung Hoon工作的基礎(chǔ)上，證明了邊界穩(wěn)定化后的Heegaard曲面是臨界曲面時(shí)，原來(lái)的Heegaard曲面具有不交線性質(zhì).

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)首先介紹一些三維流形理論中的預(yù)備知識(shí).設(shè)M是一個(gè)緊致連通可定向的三維流形.則M可以看成兩個(gè)壓縮體V和W，沿著它們同胚的正邊界，通過(guò)一個(gè)保持定向的同胚映射粘合得到的.稱這樣的分解為M的一個(gè)Heegaard分解，記為M=V∪HW，其中?+V=?+W=H稱為M的Heegaard曲面.

稱M=V∪HW是弱可約的，如果存在V中本質(zhì)的圓片D和W中本質(zhì)的圓片E，使得D和E在H上不交.否則，稱M=V∪HW是強(qiáng)不可約的.有關(guān)強(qiáng)不可約和弱可約Heegaard分解的性質(zhì)，可以參考文獻(xiàn)［4］.

當(dāng)M是一個(gè)帶邊流形時(shí)，每一個(gè)邊界分支必屬于V或W的負(fù)邊界集合.M=V∪HW是一個(gè)Heegaard分解，S??M，不妨設(shè) S??－W.則可以構(gòu)造 M 的另一個(gè) Heegaard 分解 M=V*∪H*W*，使得?－V*=?－V∪S，?－W*=?－WS，構(gòu)造方法如下:在壓縮體 W 中，考慮 S的一個(gè)正則鄰域 S×I，記S=S×(0)，在 W(S×I)(實(shí)際上它同胚于W)中取一條簡(jiǎn)單弧α，使得頂點(diǎn)分別在?+W和S×(1)上，并且假設(shè)它與W中的 1－把柄不交.令 V*=V∪N(α)∪(S×I)，W*=MV*=W((S×I)∪η(α))，H*=V*∩W*.容易驗(yàn)證M=V*∪H*W*.稱M=V*∪H*W*為M=V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.容易驗(yàn)證g(H*)=g(H)+g(S)，其中g(shù)(F)表示曲面F的虧格.

設(shè)M是一個(gè)三維流形，V∪HW是M的一個(gè)強(qiáng)不可約的Heegaard分解.如果存在V中的一個(gè)本質(zhì)圓片D，W中的一個(gè)本質(zhì)圓片E，以及H上的一條簡(jiǎn)單本質(zhì)閉曲線α，使得α與D，W的邊界都不交.則稱V∪HW具有不交線性質(zhì).關(guān)于具有不交線性質(zhì)的Heegaard分解的研究已經(jīng)取得很多成果.實(shí)際上不交線性質(zhì)也可以用Heegaard距離等于2來(lái)描述，不在這里敘述Heegaard距離，感興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)［5］.

不交線性質(zhì)的一個(gè)特殊情況是不交(D，A)性質(zhì):我們稱壓縮體中的一個(gè)本質(zhì)平環(huán)為擴(kuò)展平環(huán)，如果它的兩個(gè)邊界分別在壓縮體的正、負(fù)邊界上.設(shè)M是一個(gè)三維流形，V∪HW是M的一個(gè)強(qiáng)不可約的Heegaard分解.如果存在V中的一個(gè)本質(zhì)圓片D，和W中的一個(gè)擴(kuò)展平環(huán)A使得D∩A=?，則稱V∪HW具有不交(D，A)性質(zhì).容易證明，具有不交(D，A)性質(zhì)的Heegaard分解一定具有不交線性質(zhì).

圖1 邊界穩(wěn)定化Fig.1 Boundary stabilization

注記1 本文中提到的不交線性質(zhì)和不交(D，A)性質(zhì)，都是假設(shè)V∪HW是強(qiáng)不可約的.容易證明，如果Heegaard分解V∪HW是弱可約的，則V∪HW一定具有不交線性質(zhì)，本文不考慮這種情況.

3 主要結(jié)果

首先介紹Lee Jung Hoon在文獻(xiàn)［6］中的一個(gè)結(jié)果.它給出了邊界穩(wěn)定化后的Heegaard曲面是臨界曲面的一個(gè)充分條件.為了方便讀者以及后文需要，我們同時(shí)給出這個(gè)定理的完整證明.

定理1［6］設(shè)M是一個(gè)緊致連通并且可定向的三維流形，S=?M是連通的曲面，V∪HW是M的一個(gè)強(qiáng)不可約的Heegaard分解，S=?－W，M=V*∪H*W*為M=V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.則當(dāng)V∪HW具有不交(D，A)性質(zhì)時(shí)，H*是M的一個(gè)臨界Heegaard曲面.

證明 在A中選取一條本質(zhì)的弧 α，令V*=V∪N(α)∪(S×I)，W*=MV*=W(S×I)η(α)，H*=V*∩W*，M=V*∪H*W*是V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.記V*中的1－把柄N(α)對(duì)應(yīng)的壓縮圓片為B.對(duì)H*的壓縮圓盤(pán)集的合痕類做一個(gè)分劃C0和C1，并按照屬于V*或W*進(jìn)一步分劃成如下四個(gè)集合:

1)C0∩V*為壓縮圓片B;

2)C0∩W*為與B不交的圓片集;

3)C1∩V*為與B不合痕的圓片集;

4)C1∩W*為與B相交的圓片集.

顯然，H*的壓縮圓盤(pán)集的每一個(gè)元素一定屬于并只屬于上述四個(gè)集合之一.我們需要證明這個(gè)分劃滿足定義1中臨界性.

首先，證明C0和C1滿足定義1中的條件(1).W中的本質(zhì)原片仍然是W*中的本質(zhì)圓片，它與B不交，因此屬于C0∩W*，因此C0中存在兩個(gè)位于H*異側(cè)的不交圓片.另一方面，D是V的本質(zhì)圓片，同樣也是V*中的本質(zhì)圓片，它與B在V*中不合痕，因此屬于C1∩V*，A－N(α)是W*中的本質(zhì)圓片，由于它與B相交于2個(gè)點(diǎn)，它屬于C1∩W*.由假設(shè)，D與A不交，因此D與A－N(α)不交.故C1中也存在兩個(gè)位于H*異側(cè)的不交圓片.

其次，證明C0和C1滿足定義1中的條件(2).首先，C0∩V*的圓片與C1∩W*的圓片相交是顯然的，因此，我們只需證明C0∩W*中的圓片與C1∩V*中的圓片相交.任取C0∩W*中的一個(gè)圓片E，由于它與B不交，因此E可以合痕與N(α)不交.故E可以看成是W中的本質(zhì)圓片.任取C1∩V*中的一個(gè)圓片F(xiàn)，我們用反證法證明E與F一定相交，從而完成證明.假設(shè)E與F不交.由于F與B不合痕，我們假設(shè)選取的F，是C1∩V*與B相交數(shù)最小，并且與E不交的圓片.如果F∩B為空集，則F是V中的本質(zhì)圓片，由于V∪HW是強(qiáng)不可約的，故E∩F不為空集，這與我們的假設(shè)矛盾.因此F∩B不為空集，由最小交線假設(shè)，以及標(biāo)準(zhǔn)的最內(nèi)圓片討論和標(biāo)準(zhǔn)的最外弧討論，F(xiàn)∩B是一些弧集合，并且在F上界定的最外子圓片在V*中是本質(zhì)的，由于B將V*切成V和S×I，而S×I中是不存在本質(zhì)圓片的，故在F上的最外弧在F上界定的最外子圓片是在V中是本質(zhì)的，記為Δ.再一次由V∪HW是強(qiáng)不可約性，可以知道E與Δ是不交的，然而E與Δ的交點(diǎn)同樣也是E與F的交點(diǎn)，這與我們假定E與F不交是矛盾的.因此假設(shè)不成立，E與F一定是相交的.

證明了C0和C1滿足臨界性的定義，因此H*是M的一個(gè)臨界Heegaard曲面.下面給出邊界穩(wěn)定化后的Heegaard曲面是臨界曲面的一個(gè)必要條件.

定理2 設(shè)M是一個(gè)緊致連通并且可定向的三維流形，S=?M是連通的曲面，V∪HW是M的一個(gè)強(qiáng)不可約的Heegaard分解，S=?－M.M=V*∪H*W*為M=V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.若H*是M的一個(gè)臨界Heegaard曲面，則V∪HW具有不交線性質(zhì).

證明 假設(shè)M=V*∪H*W*為強(qiáng)不可約的Heegaard分解M=V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.H*是M的一個(gè)臨界Heegaard曲面.因此，存在H*的壓縮圓片的一個(gè)分劃，記為C0和C1，滿足定義1中的兩個(gè)條件.

同樣記V*中的1－把柄N(α)對(duì)應(yīng)的壓縮圓片為B.不妨假設(shè)B屬于C0的，即屬于C0∩V*.顯然C1∩V*中的圓片在V*都不能合痕于B，由臨界曲面的定義，C1∩W*中的圓片一定與B是相交的.并且存在C1∩V*中的一個(gè)圓片D*，C1∩W*中的一個(gè)圓片E*，使得D*與E*不交.

由于D*是V*中與B不合痕的圓片，并且B將V*切成V和S×I，而S×I中不存在不可壓縮的帶邊曲面，因此D*可以合痕移動(dòng)使得與B不交，并且完全落在V中.因此D*實(shí)際上是V中的本質(zhì)圓片.

考慮曲面H－N(α)，它是H的子曲面，記為H1，H1帶有一個(gè)邊界曲線記為t，?E*∩H1是一些弧.由于E*是本質(zhì)的，至少一條弧在H1上是本質(zhì)的，記為l.l的頂點(diǎn)落在t上，并把t分解成t1和t2.l∪t1或者l∪t2是H*上一條簡(jiǎn)單的本質(zhì)的閉曲線.

由于D*與E*不交，因此D*與l∪t1(或者l∪t2)是不交的.由于M=V∪HW是強(qiáng)不可約的，l∪t1在W中不能界定圓片，否則M=V∪HW就是弱可約的.最后證明W中一定存在本質(zhì)圓片，使得?J與l∪t1不交.任取W中一本質(zhì)圓片J，使得它是所有本質(zhì)圓片中與E*的交集為最小的，顯然J也可以看成是W*中的本質(zhì)圓片.由標(biāo)準(zhǔn)的最內(nèi)圓片討論可知，J與E*交線是弧分支，再由標(biāo)準(zhǔn)的最外弧討論可知，如果存在弧分支，可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的切割與粘貼的方法找到一個(gè)W中一本質(zhì)圓片J＇，使得，這與假設(shè)J與E*的交集為最小矛盾，因此J與E*是不交的.所以J與l∪t1也是不交的.

因此l∪t1是H上本質(zhì)的簡(jiǎn)單閉曲線，它與V中的本質(zhì)圓片D不交，與W中的本質(zhì)圓片J不交，所以V∪HW具有不交線性質(zhì).

圖2 H1上的本質(zhì)弧Fig.2 Essential arcs in H1

4 結(jié)論與展望

設(shè)M是一個(gè)緊致連通并且可定向的三維流形，S=?M是連通的曲面，M=V∪HW是M的一個(gè)強(qiáng)不可約的Heegaard分解，S=?－W.M=V*∪H*W*為M=V∪HW關(guān)于曲面S的邊界穩(wěn)定化.H*是M的一個(gè)臨界Heegaard曲面的充分條件是V∪HW具有不交(D，A)性質(zhì)，必要條件是V∪HW具有不交線性質(zhì).

希望進(jìn)一步得到這個(gè)問(wèn)題的充分必要條件，具有不交線性質(zhì)但是不具有不交(D，A)性質(zhì)的Heegaard分解，邊界穩(wěn)定化后的Heegaard曲面是否一定為臨界曲面?這個(gè)問(wèn)題有待研究.

［1］ Bachman D.Critical Heegaard surfaces［J］.Trans Amer Math Soc，2002，354:4015－4042.

［2］ Bachman D.Topological index theory for surfaces in 3－manifolds［J］.Geom Topol，2010，14:585－609.

［3］ Bachman D，Johnson J.On the existence of high index topologically minimal surfaces［J］.Math Res Lett，2010，17:389－394.

［4］ Casson A J，McA Gordon C.Reducing Heegaard splittings［J］.Topology Appl，1987，27:275－283.

［5］ Hempel J.3－manifolds as viewed from the curve complex［J］.Topology，2001，40:631－657.

［6］ Lee J H.Critical Heegaard surfaces obtained by amalgamation［J］.Topology Appl，2013，160(1):111－116.