交流信號RMS值頻率偏移誤差的準(zhǔn)正交抵消算法

李建文，邢建平，李 佩，鞠 寧

（山東大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

0 引言

近幾年電力系統(tǒng)的電能質(zhì)量研究獲得了越來越多的重視，均方根RMS（Root Mean Square）值被廣泛應(yīng)用于描述電能質(zhì)量問題，如電壓、電流的短期或長期波動及其瞬時或暫時斷電等[1]。當(dāng)信號滿足同步采樣[2]條件，即當(dāng)信號采樣序列相位同信號相位保持同步時，或至少滿足相關(guān)采樣[2-3]條件，即信號采樣序列長度為信號周期的整數(shù)倍時，RMS算法的計(jì)算速度和精度都很高，也不易受諧波影響；反之，該算法會產(chǎn)生不同程度的計(jì)算誤差[1，4-7]（本文簡稱為頻率偏移誤差）?；谟布娐返男盘柌蓸油郊夹g(shù)較為成熟，但會顯著增加硬件復(fù)雜度；目前國內(nèi)提出不少基于軟件的不同思路的同步采樣策略，具有結(jié)構(gòu)簡單、占用資源少的優(yōu)點(diǎn)，獲得不同程度的應(yīng)用[8-11]。但軟件同步策略受軟件、硬件等多種因素影響，性能往往不穩(wěn)定，很難徹底消除信號RMS值頻率偏移誤差。通過對信號采樣序列進(jìn)行插值處理或以不同頻率特性窗函數(shù)進(jìn)行濾波處理，RMS值的頻率偏移誤差可以獲得相當(dāng)程度的衰減[4-7]，但代價是計(jì)算量大幅增加，系統(tǒng)實(shí)時性降低?；谛〔ㄗ儞Q的RMS值估計(jì)及誤差抵消算法僅處于探索、嘗試階段，并未獲得實(shí)質(zhì)性應(yīng)用[12-14]。

文獻(xiàn)[15]通過對2個采樣起點(diǎn)相隔約1／2信號周期的采樣數(shù)據(jù)作加窗傅里葉變換，并由此抵消譜泄漏，從而有效地改善諧波分析的精度。本文算法以非同步方式獲取信號的2個相位差為1／4采樣長度的單周期采樣序列（當(dāng)采樣序列長度等于信號周期整數(shù)倍時，2個采樣序列正交），然后分別計(jì)算這2個采樣序列的均方MS（Mean Square）值，并取均值后開方。本文算法無需對采樣信號進(jìn)行復(fù)雜且不穩(wěn)定的頻率、相位的同步、跟蹤，增加了一個加權(quán)平均環(huán)節(jié)。仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 RMS算法

電力系統(tǒng)的交流電信號，尤其是電流信號含有豐富諧波，并非理想正弦信號，但考慮到諧波的存在對正交抵消算法的影響并不顯著[11]，也為了簡化分析，除非特別說明，本文假定交流電信號為理想正弦信號。一個頻率為f、幅度為A、初始相角為θ的正弦信號經(jīng)過一個采樣頻率為fs的N點(diǎn)采樣系統(tǒng)后，其N點(diǎn)采樣可用如下矢量表示：

由此，信號的均方MS值Ums及RMS值Urms分別為：

如果系統(tǒng)采樣頻率fs與信號頻率f同步，或

則可進(jìn)一步導(dǎo)出信號MS值和RMS值為：

可見只要系統(tǒng)采樣頻率fs與信號頻率f滿足式（4），則信號RMS值只與信號幅度A相關(guān)，與其相位、頻率無關(guān)。

2 RMS算法頻率偏移誤差

對一個采樣頻率同樣為fs、采樣點(diǎn)數(shù)為N的交流采樣系統(tǒng)，如果信號頻率f相對于采樣頻率fs發(fā)生偏移，且頻率偏移量為：

則式（2）可進(jìn)一步表示為：

其中，ω=2π／N為信號數(shù)字角頻率同步分量，Δω=2πΔf／fs為數(shù)字角頻率偏移量。如果Δω足夠小，使得，則式（7）可進(jìn)一步分解為：

由此式（1）所示矢量u也可分解為：

其中，us=（us0，us1，…，usN-1），usn= Asin（ωn+θ）為其同步分量，代表與系統(tǒng)采樣頻率同步的分量；ur=（ur0，ur1，…，urN-1），unr=AΔωncos（ωn+θ）為頻率偏移誤差分量。顯然，當(dāng) fs與 f保持同步，即滿足式（4）時，ur=0，u=us；當(dāng) f相對于 fs／N產(chǎn)生偏移，但偏移量 Δ f較小時，接近于很小。圖1為Δf=1 Hz時信號的時域分解圖，直觀反映了u、us、ur的時域關(guān)系，其中 f=51 Hz、A=1、θ=0，fs=5 kHz、N=100。

圖1 頻率偏移信號的分解Fig.1 Decomposition of signal with frequency deviation

將式（9）代入式（3）可得信號 MS值：

同理Ums也可進(jìn)一步分解為：

其中，Umss=〈us，us〉／N=A2／2 為 Ums中的同步分量；Umrs=2〈us，ur〉 ／N+ 〈ur，ur〉／N 為 Ums中的頻率偏移誤差分量。

由式（12）可見，當(dāng)信號頻率產(chǎn)生式（6）所示偏移，但偏移量Δf較小時，Umrs與Δf具有近似線性關(guān)系，且Umrs隨信號初始相位θ作周期性波動；還可看出在 θ=kπ／2（k=…，-2，-1，0，1，2，…）時，信號MS值頻率偏移誤差Umrs取得極值；基于此，如無特別聲明，文中計(jì)算和仿真都設(shè)定θ=0。圖2為由式（12）所得頻率偏移信號MS值頻率偏移誤差Urms和其實(shí)際頻率偏移誤差Urms在不同信號頻率下的對比，其中 A=1、θ=0、fs=5 kHz、N=100。 由圖可見，當(dāng)Δf 較?。串?dāng) -3 Hz＜Δf＜2 Hz時），式（12）計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況非常吻合，可很好地反映信號MS值頻率偏移誤差與Δf的關(guān)系；隨著 Δf的增大（即當(dāng)Δf＜-3 Hz或 Δf＞2 Hz時），兩者開始出現(xiàn)明顯偏差。

圖2 頻率偏移誤差的實(shí)際值與式（12）估計(jì)結(jié)果對比Fig.2 Comparison between real error and error estimated by equation（12）

3 正交抵消算法

當(dāng)一個頻率為 f=fs／N+Δf、初始相角為 θ、幅度為A的信號a通過一個采樣頻率為fs的采樣系統(tǒng)時，由式（11）、（12）可得信號 a的 MS 值：

同樣對于一個與信號a正交的信號b（其頻率和幅度與信號a相等，而初始相角為θ+π／2），其MS值可近似表達(dá)為：

易得出Umas、Umbs的平均值為：

可見，對于一個交流采樣系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號頻率相對于采樣頻率存在式（6）所示頻率偏移時，經(jīng)式（3）計(jì)算得到的信號MS值會產(chǎn)生式（12）所示的頻率偏移誤差。如果構(gòu)造一個與此信號正交的信號，并以同樣方式計(jì)算其MS值，則這2個信號的MS值的均值中頻率偏移誤差就會相互抵消?？紤]到2個相互正交的正弦信號的平方和在任意時刻都是常量，即 sin2（ωt+θ）+cos2（ωt+θ）=1，此結(jié)論并不難理解。圖3中，采樣點(diǎn)變化范圍為0～N-1（對應(yīng)信號相位 θ～2π+θ），信號 a的參數(shù)為 f=49 Hz、A=1、θ=0，而系統(tǒng)fs=5 kHz、N=100。由圖3可見，圖中MATLAB仿真結(jié)果同式（13）—（15）推導(dǎo)結(jié)果幾乎完全一致，故可看出此算法的有效性。

圖3 RMS值頻率偏移誤差的正交抵消Fig.3 Orthogonal cancellation of RMS calculation error caused by frequency deviation

4 準(zhǔn)正交抵消算法

式（13）—（15）所述正交抵消算法需構(gòu)造一個與原信號正交的信號。對于一個正弦信號，以硬件方式對原信號移相90°就可得到其正交信號，但這種方法是以增加電路復(fù)雜度和成本為代價的。另外構(gòu)造一個信號的正交信號本身就必須要準(zhǔn)確跟蹤信號頻率和相位。而已知這些信息，完全可通過調(diào)整采樣頻率來實(shí)現(xiàn)頻率同步，可見上述算法意義不大。

本文提出了一種基于軟件的信號MS值頻率偏移誤差準(zhǔn)正交抵消算法。圖4為這種算法的數(shù)據(jù)采樣示意圖。圖中a和b 2組采樣數(shù)據(jù)長度都為N，采樣起點(diǎn)相隔N／4。這2組數(shù)據(jù)可分別表示為矢量。 本文算法正是以這2個矢量替代上面提及的2個相互正交的函數(shù)a、b，然后分別求出它們的MS值Umas、Umbs，并求其均值Ucms。

圖4 準(zhǔn)正交抵消算法的采樣示意圖Fig.4 Schematic diagram of signal sampling by quasi orthogonal cancellation algorithm

如圖4所示，如果將上述5N／4個采樣數(shù)據(jù)等分5 段（Sm-4、Sm-3、Sm-2、Sm-1、Sm），每段分別求 MS 值，并計(jì)為Umms-i（i=0，1，2，3，4），則式（15）所示算法可進(jìn)一步表示為：

圖5為這種準(zhǔn)正交抵消算法的系統(tǒng)框圖，圖中1／Z表示延時1個單位時間。圖6為該算法的頻率偏移誤差抵消效果對比，圖中Ums、Uq4ms分別為采用本算法前、后的信號MS值。式（16）的MATLAB仿真的算法如下。

圖5 準(zhǔn)正交抵消算法的系統(tǒng)圖Fig.5 System diagram of quasi orthogonal cancellation algorithm

圖6 準(zhǔn)正交抵消算法仿真結(jié)果Fig.6 Simulative results of quasi orthogonal cancellation algorithm

取輸入信號 u=Asin（2πft+θ），并設(shè)定信號初始相位θ=0（取此相位時頻率漂移誤差最大）、幅度A=1、頻率f取45～55 Hz，然后以固定采樣頻率fs=5 kHz對信號進(jìn)行采樣得5N／4=125個采樣：

將上述采樣數(shù)據(jù)等分5段，并對5段數(shù)據(jù)分別按式（3）求各段數(shù)據(jù)的MS值Um0s、 Um1s、…、Um4s，然后代入式（16）求得由此算法得到的信號MS值Uq4ms，取式（17）表示的采樣數(shù)據(jù)中的前100個，并根據(jù)式（3）直接求信號MS值Ums。

由圖 6可見，當(dāng) -2 Hz＜Δf＜3 Hz時，此算法幾乎完全抵消掉了信號MS值頻偏誤差；但隨著的增大，抵消效果逐漸變差。為了更準(zhǔn)確反映此算法的抵消效果，表1列出了在幾個重要信號頻率點(diǎn)，采用本文算法前／后的頻率偏移誤差抵消效果對比。

表1 準(zhǔn)正交抵消算法抵消效果Tab.1 Cancellation effect of quasi orthogonal cancellation algorithm

5 諧波對準(zhǔn)正交抵消算法的影響

DL／T630—1997規(guī)定，保持信號基波頻率不變，在基波上疊加20%的3～13次諧波，信號RMS值的允許改變量不超過精度等級的200%；而信號頻率在45～55 Hz范圍內(nèi)改變，RMS值的允許改變量不超過精度等級的100%?？梢姌?biāo)準(zhǔn)對諧波造成的RMS測量誤差的限制相對寬松。

設(shè)式（1）、（2）定義的信號 k次諧波第 n點(diǎn)采樣為：

顯然當(dāng)信號基波頻率f產(chǎn)生偏移Δf時，k次諧波的數(shù)字頻率偏移Δω=2πkΔf／fs，擴(kuò)大了 k倍。Δω大幅增加會導(dǎo)致式（8）存在條件（也是準(zhǔn)正交算法存在的前提條件）無法滿足Δω足夠小，使得?？梢娦盘栔邪C波時，本文算法的誤差抵消效果會變差，這一點(diǎn)通過圖7所示仿真結(jié)果也得到了驗(yàn)證。

圖7仿真的算法與第4節(jié)的算法完全一致，只是輸入信號疊加了諧波?？紤]到DL／T630—1997相關(guān)章節(jié)中，信號RMS值的諧波效應(yīng)是通過分別在基波上疊加20%的3～13次諧波來檢測，本文取20%的3～8次諧波分別疊加在基波上作為輸入信號，并分別進(jìn)行MATLAB仿真。

圖7 諧波對準(zhǔn)正交抵消算法的影響Fig.7 Effect of harmonics on quasi orthogonal cancellation algorithm

圖7中波形①、③的輸入信號為基波信號：

而波形②、④、⑤的輸入信號為包含k次諧波的信號：

其中，k=3，4，…，8；A=1；α=β=0；信號基波頻率 f取45～55 Hz；采樣頻率 fs=5 kHz。

圖7中MATLAB仿真輸出波形①為式（19）所示基波信號經(jīng)5 kHz固定頻率采樣后直接計(jì)算得到的信號MS值的計(jì)算誤差；波形②為式（20）所示6個帶諧波信號（分別包含3～8次諧波）經(jīng)5 kHz采樣后直接計(jì)算得到的MS值的計(jì)算誤差；波形③為經(jīng)準(zhǔn)正交抵消算法計(jì)算得到的MS值計(jì)算誤差；波形④、⑤為經(jīng)準(zhǔn)正交抵消算法計(jì)算得到的MS值計(jì)算誤差，其中波形④為 4、6、8次諧波情況，波形⑤為 3、5、7次諧波情況。通過上述分析與仿真可得：

a.諧波頻率高導(dǎo)致本文算法存在的前提條件無法滿足（至少無法充分滿足），從而導(dǎo)致本文算法的誤差抵消效果下降；

b.信號中偶次諧波比奇次諧波對本文算法的誤差抵消效果影響更大，原因在于，2個基波信號正交時，對應(yīng)的兩同次偶諧波反相，而奇次諧波相互正交；

c.可以看出在49～51 Hz的基波頻率范圍內(nèi)，本文算法仍能夠?qū)㈩l率偏移誤差壓縮在1%范圍內(nèi)，即使在最惡劣情況下（圖7中細(xì)虛線在橫坐標(biāo)54.5 Hz的測量誤差），仍有約5 dB（3倍）的誤差衰減效果；

d.如果嚴(yán)格按照DL／T630—1997提供的檢測方法（固定基波頻率在50 Hz）檢測信號的RMS值諧波效應(yīng)，信號并無頻率偏移問題，因此無法檢驗(yàn)本文算法諧波效應(yīng)（在圖7的橫坐標(biāo)50 Hz處所有信號MS值的頻率偏移誤差都為0），此時本文算法只相當(dāng)于一個低通濾波器。

6 結(jié)論

受各種因素的影響，電力信號的頻率總會相對于采樣頻率發(fā)生偏移，從而影響信號的RMS值計(jì)算精度。本文提出了一種準(zhǔn)正交抵消算法——通過分別對2個采樣起點(diǎn)相隔約1／4信號周期的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行MS計(jì)算，并取兩者平均，抵消掉RMS值中頻率偏移誤差。通過本文的分析、計(jì)算和仿真證明，當(dāng)采樣頻率保持5 kHz不變，信號頻率在48～53 Hz范圍內(nèi)變化時，該算法幾乎可完全抵消掉信號RMS值中頻率偏移誤差——?dú)堄嗾`差小于0.1%，即使在DL／T630—1997 規(guī)定的頻率上／下限（55 Hz／45 Hz），該算法仍然可以對RMS值的頻率偏移誤差有10 dB左右的衰減——?dú)堄嗾`差在1%左右。當(dāng)輸入信號包含諧波時，本文算法的頻率偏移誤差抵消效果變差，但按照DL／T630—1997提供的檢測方法仍有約5 dB（3倍）的衰減效果。