兩電平逆變器半周期對稱SHEPWM方法

黃銀銀，費萬民

（南京師范大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇 南京 210042）

0 引言

兩電平功率逆變器是中低壓電機調(diào)速、電力系統(tǒng)無功補償和電壓調(diào)節(jié)器等大量工業(yè)電源的核心部件，在機械加工、工業(yè)過程控制和電力工業(yè)等各個行業(yè)中得到了非常廣泛的應(yīng)用。

兩電平逆變器的核心技術(shù)包括拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和控制策略兩部分，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對成熟和穩(wěn)定，而控制策略則相對活躍，不斷有新的有價值的研究成果出現(xiàn)。常用的逆變器控制策略有：正弦波脈寬調(diào)制SPWM（Sine Pulse Width Modulation）、空間矢量脈寬調(diào)制SVPWM（Space Vector Pulse Width Modulation）和特定諧波消除脈寬調(diào)制SHEPWM（Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation）等。 SHEPWM方法[1-3]是通過開關(guān)時刻的優(yōu)化選擇，來消除選定的低頻次諧波，與其他PWM方法相比，有以下優(yōu)點：在同樣的開關(guān)頻率下，輸出電壓波形最好，可降低輸出濾波器設(shè)計難度，減小其尺寸并降低其成本；在同樣波形質(zhì)量的條件下，SHEPWM方法的開關(guān)頻率最低，開關(guān)損耗小，效率高；可利用三相逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來自動消除3倍頻次諧波等。因而，該方法在1973年被提出后[4]，一直得到廣泛的研究和關(guān)注。

關(guān)于逆變器SHEPWM方法的研究，大多集中在對1／4周期對稱波形SHEPWM非線性方程組求解方法上[1-15]。 1／4周期波形對稱約束，可以減少作為獨立變量的開關(guān)切換角的個數(shù)、非線性方程組的個數(shù)和求解工作量，顯著簡化問題，但同時也極大地限制了解的空間，不利于實際應(yīng)用中的優(yōu)化設(shè)計[5-8]。美國Illinois大學(xué)的Jason R.Wells博士研究證明，取消波形1／4周期對稱約束，可以顯著擴展逆變器SHEPWM問題的解的空間，引起了研究者的廣泛關(guān)注，帶動了新研究方法[3，16]。 筆者所在研究小組曾對多電平逆變器半周期對稱SHEPWM問題進行了深入研究，取得了很好的研究結(jié)果[16-17]，得出了半周期對稱SHEPWM方法具有最為寬廣的解空間，因而具有重要的研究和應(yīng)用價值的結(jié)論[17]，該結(jié)論完全適用于傳統(tǒng)的兩電平逆變器。迄今為止，關(guān)于兩電平逆變器半周期對稱SHEPWM方法的系統(tǒng)化和通用化的研究還未見報道。為此，本文采用了2種波形對稱方案，討論了兩電平逆變器1／2周期對稱的SHEPWM非線性方程組的建立和求解方法，求取了8組在調(diào)制比M全程范圍內(nèi)連續(xù)變化的解的軌跡（其中6組M值在0.01～1.02之間有效，1組M值在0.04～1.02之間有效，1組M值在0.02～1.03之間有效），求解結(jié)果充分證明兩電平逆變器半周期對稱SHEPWM方法有寬廣的解的空間。取其中2組解（M=0.8），采用PSIM仿真軟件，進行了仿真研究。制作了三相小功率逆變器模型，采用仿真研究中的相同參數(shù)，對同樣的2組解進行了實驗研究，仿真和實驗結(jié)果一致，證明了所提方法能夠?qū)崿F(xiàn)基波控制和諧波消除目標(biāo)，進而證明了其有效性。

1 SHEPWM方程組的建立

逆變器SHEPWM方法的基本原理是對逆變器輸出的相電壓進行傅里葉分解，強制其基波幅值為期望值、選定的低頻次諧波為零，建立非線性方程組，通過求解方程組求取滿足要求的開關(guān)切換角，并用這些開關(guān)切換角控制逆變器，實現(xiàn)所期望的輸出電壓。

假設(shè)逆變器輸出電壓的周期為T，在保證傅里葉系數(shù)簡單的前提下，從對稱特性上來看，1／2周期對稱的相電壓波形可以有正負(fù)2個半周期鏡對稱（正半周期波形沿橫軸水平移動半周期后，與負(fù)半周期波形關(guān)于橫軸對稱）和關(guān)于T／2點奇對稱（正半周期波形沿著過T／2點的縱軸翻轉(zhuǎn)后，與負(fù)半周期波形關(guān)于橫軸對稱）2種對稱方式。對于三相對稱系統(tǒng)，3倍頻次諧波在線電壓中自動抵消，因此這里只考慮消除選定的非3的倍數(shù)頻次的低頻次諧波。

為便于表達，對2種半周期波形對稱方案作如下定義：假設(shè)第1個半周期內(nèi)的相電壓為f（t），按照關(guān)系 f（t+T／2）=-f（t）擴展第 2 個半周期 PWM 波形的方案，稱作Ⅰ類 1／2周期對稱；按照關(guān)系 f（T-t）=-f（t）擴展第2個半周期PWM波形的方案，稱作Ⅱ類1／2周期對稱。

圖1為半周期對稱SHEPWM方法的原理示意圖。其中，Udc為直流側(cè)母線電壓。設(shè)半個周期內(nèi)有N個開關(guān)切換角，則在控制基波的同時，2類對稱方法均可以消除N-1個諧波分量。

圖1 兩電平逆變器相電壓輸出波形及開關(guān)切換角的定義Fig.1 Waveform of phase voltage of two-level inverter and definition of switching angle

由圖 1（b）、（c）可知，相電壓輸出波形滿足 Dirichlet條件，可以進行傅里葉分解為如下形式：

由于正負(fù)半周對稱，所以 a0=0。 將圖 1（b）、（c）所示的 f（t）代入式（1），并根據(jù)基波控制和諧波消除目標(biāo)（以只消除非3的倍頻次諧波為例），可以得出SHEPWM非線性方程組分別如下。

a.對I類對稱方案而言，當(dāng)N為奇數(shù)時，有：

當(dāng)N為偶數(shù)時，有：

b.對Ⅱ類對稱方案而言，當(dāng)N為奇數(shù)時，有：

當(dāng)N為偶數(shù)時，有：

式（2）—（5）中開關(guān)角 αk滿足關(guān)系：

本文以半個周期內(nèi)20個開關(guān)切換角（N=20）消除 5、7、11、13、17、19、23、25、29 次這 9 個低頻次諧波為例，分Ⅰ、Ⅱ類2種對稱方案，建立了SHEPWM非線性方程組。

2 SHEPWM方程組求解

SHEPWM方程組為基于三角函數(shù)的非線性超越方程組，比較有效的求解方法是采用MATLAB中的Fsolve函數(shù)。在求解算法確定之后，初值的選擇對迭代過程是否收斂具有非常重要的影響。為了求取盡可能多的數(shù)值解，采用基于三角載波的SPWM方法、基于空間矢量的SVPWM方法和大量的無規(guī)則試探方法，取調(diào)制比M=0.8，對建立的非線性方程組進行了求解。然后，以M=0.8處的數(shù)值解為初值，改變調(diào)制比M，求取了SHEPWM非線性方程組的解的變化軌跡。在Ⅰ、Ⅱ類2種對稱方案中，對在調(diào)制比M全程或幾乎全程有效的解及其變化軌跡分別選取了4組M=0.8處解的數(shù)值如表1和表2所示，解的變化軌跡如圖2和圖3所示。

表1、表2中的解1、解2、解3和解 4分別和圖2、圖 3 中的（a）、（b）、（c）和（d）所示的解的軌跡相對應(yīng)。值得強調(diào)的是，以表1、表2中的解為初值，對SHEPWM非線性方程組求解，可以得到圖2、圖3上每一點的數(shù)值解。

圖2和圖3均是在M以0.01為間隔的條件下采樣得到的，同一個曲線圖中的所有數(shù)值解都是在一組初值的條件下得到的，每組解的求解精度均不低于10-5，迭代次數(shù)普遍集中在5～20次范圍內(nèi)，極個別出現(xiàn)高于100次的現(xiàn)象。

通過仔細觀察，發(fā)現(xiàn)圖3（c）解的變化曲線是關(guān)于90°的水平線對稱的，這一現(xiàn)象說明兩電平逆變器半周期對稱SHEPWM問題的解包含了兩電平1／4周期對稱情況時的解，或者說半周期對稱SHEPWM方法是1／4周期對稱SHEPWM方法的拓展，因而更具一般性，具有更多的解。

3 仿真研究

為了驗證所求數(shù)值解的基波控制和諧波消除效果，選取直流側(cè)電壓Udc=100 V，基波頻率f=50 Hz，負(fù)載電阻R=100 Ω，以M=0.8時的2組解（表1中的解1和表2中的解1）作為參數(shù)，采用電力電子專用仿真軟件PSIM，對兩電平逆變器半周期對稱的SHEPWM問題進行了仿真研究。圖4為半周期Ⅰ類對稱時解1對應(yīng)的仿真波形，圖5為半周期Ⅱ類對稱時解1對應(yīng)的仿真波形。

從圖4和圖5的仿真波形可以看出，無論兩電平1／2周期對稱采用的是Ⅰ類對稱方式還是Ⅱ類對稱方式，在30次諧波之前，相電壓頻譜（見圖4（b）和圖5（b））中除了基波以外，只有3倍頻次的諧波存在；而線電壓頻譜（見圖 4（d）和圖 5（d））中除了基波以外，30次諧波之前的低頻次諧波全部被消除。

表2 兩電平逆變器半周期Ⅱ類對稱時SHEPWM方程組在M=0.8時的4組解Tab.2 Four solution groups of half-cycle symmetry SHEPWM schemeⅡfor two-level inverter with M=0.8

圖2 以表1解為初值得到的解隨M變化的曲線Fig.2 Variation trajectory of solution vs.M，with solution groups of Tab.1 as initial values

圖3 以表2解為初值得到的解隨M變化的曲線Fig．3 Variation trajectory of solution vs.M，with solution groups of Tab.2 as initial values

圖4 表1中解1的相電壓、線電壓波形及其頻譜圖Fig．4 Phase and line voltage waveforms and spectrums of solution group 1 in Tab.1

觀察仿真結(jié)果還可以看出，雖然這2組解是在2種不同的兩電平半周期對稱方式下求得的，所對應(yīng)的SHEPWM輸出相電壓波形也不一樣，但是它們在基波控制和諧波消除方面的效果是相同的，證明2種方式下所求的數(shù)值解都是正確的。

此外，對比分析圖 4（b）和圖 5（b）發(fā)現(xiàn)，圖 4（b）的相電壓中只含有5個3倍頻次的諧波，即3、9、15、21 和 27 次諧波，而圖 5（b）的相電壓中含有10 個 3 倍頻次的諧波，即 3、6、9、12、15、18、21、24、27和30次諧波。這一現(xiàn)象表明兩電平逆變器在1／2周期Ⅰ類對稱的情況下，在30次諧波之前，相電壓頻譜中除基波以外只含有3的奇次倍次的諧波，而在1／2周期Ⅱ類對稱的情況下，在30次諧波之前，相電壓頻譜中除基波以外還含有3的自然數(shù)倍次的諧波，比Ⅰ類對稱時多了3的偶次倍次的諧波。

另外需要說明的是，以上列舉的2種不同對稱方式下的解雖然都可以達到消除低次諧波的效果，但不同的解剩余的高次諧波含量是不一樣的，實際應(yīng)用時可以根據(jù)需要選擇。

4 實驗驗證

為了進一步驗證本文提出的兩電平逆變器半周期對稱SHEPWM非線性方程組的建立方法以及求出的數(shù)值解在基波控制和諧波消除方面的實際效果，制作了三相兩電平逆變器電路模型，其中的開關(guān)管采用RF840型MOSFET；直流側(cè)電壓來自自耦變壓器輸出整流器，Udc=100 V；采用計數(shù)器驅(qū)動EPROM產(chǎn)生功率管的驅(qū)動信號的方法，同一橋臂上下2個開關(guān)管的死區(qū)時間為3 μs，以100 Ω線繞電阻為負(fù)載，分別對仿真研究中的2組數(shù)值解進行了實驗驗證。實測實驗波形如圖6所示。實驗與仿真的結(jié)果一致，證明了所求數(shù)值解為SHEPWM問題的真解。

圖6 實驗波形Fig.6 Experimental waveforms

5 結(jié)論

a.SHEPWM的根本問題是求取SHEPWM非線性方程組的解。不同的解具有不同的特點，求得盡可能多的解，可以為不同應(yīng)用場合的優(yōu)化設(shè)計提供更多的選擇空間。

b.本文提出了“關(guān)于正負(fù)2個半周期鏡對稱”和“關(guān)于T／2點奇對稱”2種不同的兩電平半周期對稱方式，分別建立SHEPWM非線性方程組，以半周期內(nèi)20個開關(guān)切換角為例，對非線性方程組進行求解，得到了許多采用傳統(tǒng)的1／4周期對稱SHEPWM方法難以求取的解。更重要的是從波形對稱方案的角度出發(fā)，提出了求取更多數(shù)值解的方法。

c.仿真和實驗研究結(jié)果表明，本文所提方法和求取的解都能夠達到控制基波和抑制低次諧波的效果，是正確和可行的。但是不同的對稱方式下相電壓頻譜中含有3倍頻次諧波的數(shù)量不同，不同的解可以達到相同的低頻次諧波消除的目標(biāo)，而剩余的諧波含量有所不同，實際應(yīng)用需按不同需要選擇。