音樂與數(shù)學(xué)

自古以來，音樂和數(shù)學(xué)就有關(guān)聯(lián).在中古時期，人們把音樂與算術(shù)、幾何與天文同列為教育的課程.就連今天的電子計算機(jī)也始終跟音樂聯(lián)系在一起.

樂譜的書寫是數(shù)學(xué)在音樂上顯示其影響力最為明顯的地方.在樂曲中，我們可以找到拍號（4∶4、3∶4、1∶4等）、每個小節(jié)的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等.譜寫樂曲要使它適合每音節(jié)的拍子數(shù)，這相似于找公分母的過程——在一個固定的拍子里，不同長度的音符必須使它湊成一個特定的節(jié)拍.然而作曲家創(chuàng)造樂曲時卻能極其美妙而又毫不費力地把它們與樂譜的嚴(yán)格構(gòu)造有機(jī)地融合在一起.通過對一部完整的作品進(jìn)行分析，我們會看到每一個音節(jié)都有規(guī)定的拍數(shù)，而且運用了各種合適長度的音符.

除了上述數(shù)學(xué)與樂譜的明顯聯(lián)系外，音樂還與比例、指數(shù)、曲線、周期函數(shù)以及計算機(jī)科學(xué)等相關(guān)聯(lián).畢達(dá)哥拉斯的追隨者們（公元前585—400）最先用比例把音樂和數(shù)學(xué)結(jié)合起來.他們發(fā)現(xiàn)樂聲的協(xié)調(diào)與所認(rèn)識的整數(shù)之間有著密切的關(guān)系，撥動一根弦發(fā)出的聲音依賴于弦的長度.他們還發(fā)現(xiàn)協(xié)和音是由長度與原弦長的比為整數(shù)比的繃緊的弦給出的.事實上被撥動弦的每一種和諧的結(jié)合，都能表示為整數(shù)比.由增大成整數(shù)比的弦的長度能夠產(chǎn)生全部的音階.例如，從產(chǎn)生音符C的弦開始，C的16/15長度給出B，C的6/5長度給出A，C的4/3長度給出G，C的3/2長度給出F，C的8/5長度給出E，C的16/9長度給出D，C的2/1長度給出低音C.

你可能感到驚奇，為什么鋼琴有它的特有形狀？實際上許多樂器的形狀和結(jié)構(gòu)與各種數(shù)學(xué)概念有關(guān).指數(shù)函數(shù)和指數(shù)曲線就是這樣的概念.指數(shù)曲線由具有y=kx形式的方程描述，式中k>0.如y=2x.它在坐標(biāo)軸中的圖象如下.

圖 1

圖 2

無論是弦樂還是管樂，在它們的結(jié)構(gòu)中都反映出指數(shù)曲線的形狀.

對樂聲本質(zhì)的研究，在19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家傅立葉的著作中達(dá)到了頂峰.他證明了所有的樂聲，不管是器樂還是聲樂，都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些簡單的正弦周期函數(shù)的和.每種聲音都有三種品質(zhì)：音調(diào)、音量和音色. 無論是弦樂還是管樂，在它們的結(jié)構(gòu)中都反映出指數(shù)曲線的形狀.

傅立葉的發(fā)現(xiàn)，使人們可以將聲音的三種品質(zhì)通過圖解加以描述并區(qū)分.音調(diào)與曲線的頻率有關(guān)，音量與曲線的振幅有關(guān)，而音色則與周期函數(shù)的形狀有關(guān).

很少有人既通曉數(shù)學(xué)又通曉音樂，這使得把計算機(jī)用于合成音樂及樂器設(shè)計等方面難以成功.數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，是現(xiàn)代樂器設(shè)計和計算機(jī)音響設(shè)計的精髓.許多樂器的制造都是把它們產(chǎn)生的聲音的圖象，與這些樂器理想聲音的圖象相比較然后加以改進(jìn)的. 電子音樂的再生也是跟周期函數(shù)圖象緊密聯(lián)系著的.音樂家和數(shù)學(xué)家們將在音樂的產(chǎn)生和再生方面，繼續(xù)擔(dān)任著同等重要的角色.

（云南 吳天琪 薦）