電力數(shù)據(jù)中的冪律分布特性

王冠男，鄧春宇，趙 悅，鄭亞芹

（北京國電通網(wǎng)絡技術有限公司大數(shù)據(jù)業(yè)務部 北京 100070）

1 引言

在自然界和社會生活中，經(jīng)常存在這樣的數(shù)據(jù)，數(shù)值在某個特征附近變化，并且變化較小，這一類數(shù)據(jù)被稱為正態(tài)分布，具有很多優(yōu)秀的特性，如圖1（a）所示。比如人的身高、學生的考試成績、同質(zhì)群體的紅細胞數(shù)以及數(shù)理統(tǒng)計中隨機誤差等都符合正態(tài)分布。在傳統(tǒng)數(shù)據(jù)挖掘方法中，正態(tài)分布被譽為概率論里最重要的分布。

然而，隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們有能力處理完全數(shù)據(jù)而不是樣本數(shù)據(jù)，因此，現(xiàn)實中很多完全數(shù)據(jù)不再符合正態(tài)分布，比如個人收入的分布、變化尺度的范圍很寬，波動可以跨越很多數(shù)量級。根據(jù)這類數(shù)據(jù)可以畫出一條向右偏斜并且拖著長尾巴的累積分布曲線，顯然，它與正態(tài)分布曲線有顯著的不同，如圖1（b）所示。這種長尾分布表明，絕大多數(shù)個體的值很小，只有少數(shù)個體的值相當大。這種現(xiàn)象被稱為長尾效應，或者重尾法則，本文研究的冪律分布是長尾分布中重要的一種[3，4]。

研究表明，90%的電力指標數(shù)據(jù)都不符合正態(tài)分布。確定數(shù)據(jù)是否為正態(tài)分布在數(shù)據(jù)的探索性分析中具有舉足輕重的作用，因為正態(tài)分布是很多統(tǒng)計方法和數(shù)據(jù)挖掘方法所必需的條件，比如線性和非線性回歸模型、因子分析、典型相關分析以及主成分分析等，甚至包括最基本的線性相關性系數(shù)的計算。若數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，需要采取其他相應的辦法，如數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或者更換分析方法，否則輕者導致模型計算結果的不準確性，嚴重者更會影響針對算法結果所做的決策。本文主要針對電力數(shù)據(jù)中的指標進行分析，研究其真正的分布規(guī)律，主要從3個方面展開，首先介紹數(shù)據(jù)源和相關指標，然后闡述電力指標數(shù)據(jù)的冪律分布特性以及細分行業(yè)用電量的對數(shù)正態(tài)分布特性，最后結合業(yè)務背景解釋電力指標符合冪律分布的原因。

圖1 正態(tài)分布和冪律分布

2 數(shù)據(jù)描述

2.1 數(shù)據(jù)源

本文選擇全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量以及全社會用電量3個指標作為分析研究的目標，選擇原因如下。

·全社會用電量與國家經(jīng)濟密切相關，研究表明，用電量的增長影響GDP的增長，而GDP的增長對用電量的增長影響不大，即用電量增長和GDP增長的關系是從用電量到GDP增長的單向因果關系。

·全國發(fā)電量是直接衡量一個國家經(jīng)濟狀況的重要指標。國家電網(wǎng)公司是關系國家能源安全和國民經(jīng)濟命脈的重要骨干企業(yè)，公司的售電量能夠反映公司甚至國家的供電能力。3個電力指標具有較強的相關性。

表1闡述了所選3個電力指標的維度、時間和區(qū)域。本文所選取的時間為2011－2013年每年的2月和7月。

2.2 電力指標的非正態(tài)分布特性

本文采取密度函數(shù)曲線檢驗法和夏皮羅·威爾克提出的W統(tǒng)計量，將數(shù)據(jù)和圖形相結合，共同驗證全社會發(fā)電量、國家電網(wǎng)售電量和全國用電量的非正態(tài)分布特性。

圖2展示了3個指標的密度函數(shù)曲線，由于空間限制，時間維度是2012年2月、2012年7月、2013年2月、2013年7月。由圖2可知，3個電力指標大多集中在較小的數(shù)值上，只有少數(shù)分布在較大的數(shù)值上，在空間維度上不符合正態(tài)分布，并且都具有長尾分布的特征。

表2～表4分別展現(xiàn)了2008-2013年所有2月份和7月份中3個指標的W統(tǒng)計量檢驗結果，即P值。

由表2～表4可知，全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全社會用電量的W統(tǒng)計檢驗的結果都小于0.05，即有不到5%的信心認為3個電力指標符合正態(tài)分布，下文將進一步分析3個指標分別符合何種分布。

3 電力指標的冪律分布特征

3.1 冪律分布特征

長尾和冪律的區(qū)別是：冪律分布需要數(shù)據(jù)必須在統(tǒng)計意義上可以被冪律曲線擬合，而對于長尾分布而言，能否被冪律曲線精確地擬合并不重要，重要的是有一個長長的尾巴。已知全國用電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全社會發(fā)電量屬于長尾分布，但是仍需要進一步證明其為冪律分布。

表1 全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量、全社會用電量的數(shù)據(jù)描述

圖2 全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)售電量和全社會用電量3個指標的密度函數(shù)曲線

表2 全國發(fā)電量的正態(tài)分布W統(tǒng)計量檢驗結果

表3 國家電網(wǎng)公司售電量的正態(tài)分布W統(tǒng)計量檢驗結果

表4 全社會用電量的正態(tài)分布W統(tǒng)計量檢驗結果

冪律分布的分布特征如圖1（b）所示，通用計算式為y=cx-r，x和 y是正的隨機變量，c、r為常數(shù)，且大于 0。冪律分布的特點是絕大多數(shù)事件的值很小，只有少數(shù)事件的值相當大。將冪律分布公式的兩邊分別取對數(shù)，則ln x與ln y存在以下的線性關系:1n y=1n c-r1n x，冪律分布在雙對數(shù)坐標下表現(xiàn)為一條斜率為冪指數(shù)的負數(shù)的直線，這一線性關系是判斷某個隨機變量是否滿足冪律的依據(jù)，r為冪律指數(shù)。

圖3展示了3個電力指標的冪律分布特征，時間維度是2012－2013年每年的2月份和7月份。由圖3可知，除了特殊原因引起的較小數(shù)值外（西藏地區(qū)），其他數(shù)值基本符合線性關系，并且冪律指數(shù)為正數(shù)，因此3個指標符合冪律分布的特征，屬于冪律分布。

表5～表7分別展示了3個電力指標在雙對數(shù)坐標下的參數(shù)擬合結果，其中，冪律指標r都大于-2，驗證了圖3的結論，全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全社會用電量符合冪律分布。

3.2 用電量的對數(shù)正態(tài)分布特征

圖3 全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全社會用電量的冪律分布特征

表5 全國發(fā)電量的冪律分布檢驗結果

表6 國家電網(wǎng)公司售電量的冪律分布檢驗結果

表7 全社會用電量的冪律分布檢驗結果

由上文可知，全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全國用電量符合冪律分布的特性，與其他兩個指標相比，用電量具有特殊的優(yōu)良特性。

已知兩個變量X和Y無論獨立與否，X+Y的和仍然服從正態(tài)分布。若X和Y服從對數(shù)正態(tài)分布，則仍然服從對數(shù)正態(tài)分布，而X+Y卻不符合這一規(guī)律。通過分析，本文發(fā)現(xiàn)大部分細分行業(yè)的用電量服從對數(shù)正態(tài)分布，而細分行業(yè)用電量之和卻不符合這一規(guī)律，比如全國用電量、第一產(chǎn)業(yè)用電量、第二產(chǎn)業(yè)用電量、第三產(chǎn)業(yè)用電量等。在第4節(jié)中，將詳細闡述細分行業(yè)用電量服從對數(shù)正態(tài)分布的根本原因。

本文選擇具有代表性的5個細分行業(yè)進行詳細分析，分別是農(nóng)業(yè)、輕工業(yè)、重工業(yè)、信息傳輸業(yè)、房地產(chǎn)、計算服務業(yè)。圖4展示了5個行業(yè)用電量的經(jīng)驗累積分布函數(shù)（ECDF），應用極大似然估計的方法對分布參數(shù)進行擬合，并且將用電量與5個冪律分布進行對比，分別是指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、逆高斯分布、帕累托分布和列維分布。由圖可知，對數(shù)正態(tài)分布是最合理的擬合分布。

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

其中：

對數(shù)正態(tài)分布具有優(yōu)秀的特性，當隨機變量log X符合正態(tài)分布時，則X符合對數(shù)正態(tài)分布。即對用電量進行對數(shù)轉(zhuǎn)換，就可以得到正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，因此證明用電量符合對數(shù)正態(tài)分布不僅大大減少了數(shù)據(jù)分析的工作量，還解決了用電量不是正態(tài)分布的難題。表8展示了對數(shù)轉(zhuǎn)換后細分行業(yè)用電量的正態(tài)分布檢驗結果。

由表8可知，所有W統(tǒng)計量的檢驗結果大于0.05，即有95%的信心認為，細分行業(yè)的用電量經(jīng)過對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布，可以直接應用以正態(tài)分布為必要條件的數(shù)據(jù)分析和挖掘方法。

4 原因分析

由上文已知，全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全國用電量符合冪律分布的特性，并且細分行業(yè)的用電量服從對數(shù)正態(tài)分布，本節(jié)主要結合業(yè)務背景闡述3個電力指標符合冪律分布以及細分行業(yè)用電量服從對數(shù)正態(tài)分布的根本原因。

3個電力指標符合冪律分布特性的主要原因如下。

·由于政策、地理位置和自然環(huán)境等原因，全國經(jīng)濟發(fā)展嚴重不平衡，東部沿海地區(qū)較發(fā)達，西部等地區(qū)經(jīng)濟較為落后。電力和經(jīng)濟密不可分，是強正相關的關系，某地區(qū)的用電情況可以反映此地的經(jīng)濟狀況，因此電力指標數(shù)據(jù)在地域上也存在不平衡的現(xiàn)象。

圖4 細分行業(yè)用電量的ECDF

表8 細分行業(yè)用電量對數(shù)轉(zhuǎn)換后的正態(tài)分布W統(tǒng)計量檢驗結果

·自然資源分布不平衡。全國的煤炭資源和水源分布不平衡，只有少數(shù)地區(qū)具有豐富的煤炭資源和水資源，這導致電力指標數(shù)據(jù)的曲線向左傾斜，并且具有冪律分布的特征。

因為電力指標數(shù)據(jù)在地域上分布不平衡，所以隨著電力指標數(shù)值的增加，P（Q>q）逐漸降低，并且降低速度減緩，呈現(xiàn)冪函數(shù)的規(guī)律，這正是冪律分布的特征。

細分行業(yè)用電量服從對數(shù)正態(tài)分布，下面運用數(shù)學理論闡述產(chǎn)生此種現(xiàn)象的根本原因。

正態(tài)分布的變量和對數(shù)正態(tài)分布的變量存在著區(qū)別和聯(lián)系，就共同點來說，兩種變量都是獨立變量，即用戶每天的用電量是獨立的，符合正態(tài)分布。兩種分布最大的區(qū)別在于“加”和“乘”，這種細微的不同使得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律也具有明顯差異。

首先以布朗運動為例來解釋正態(tài)分布。假設某個行業(yè)在某一天的用電量為Q1,在下一天的用電量為Q2，在單位時間Δt內(nèi)，行業(yè)用電量的差值為ΔQ，增加或者減少。令Qn為n天以后某行業(yè)的累積用電量，則：

其中：

Q（i）相互獨立，且 P=1）=P=-1）=1/2。Xn服從二項分布，參數(shù)為n和p=0.5，由中心極限定理可知，當n→+∞時，Qn近似服從正態(tài)分布。

但是在現(xiàn)實中，由于溫度變化、某個月的假期時間長短的變化以及政策變化等原因，行業(yè)用電量的增減不是隨機的，比如通過分析發(fā)現(xiàn)在2月和7月，細分行業(yè)的用電量更傾向于增加而不是減少，除非發(fā)生特殊情況。假設在單位時間Δt內(nèi)，行業(yè)用電量以相同的概率增加ΔQ1，減少ΔQ2，ΔQ1和 ΔQ2為已知常數(shù)，并且 ΔQ1>ΔQ2（在某些月份ΔQ1<ΔQ2，不影響最終結果）。

求解如下方程：

得到ΔQm=ΔQ1/ΔQ2。則n天以后，行業(yè)的累積用電量為：

其中，Q（i）的含義保持不變，且 P（Q（i）=1）=P（Q（i）=-1）=1/2，Q（i）相互獨立，即行業(yè)在某一天用電時不會考慮下一天的用電情況。正如布朗運動中的分析，Qn仍然服從二項分布。由于 ΔQ1>ΔQ2（或者 ΔQ1<ΔQ2），則分布曲線必定會向左偏。當n→+∞時，Qn近似服從對數(shù)正態(tài)分布。這符合中心極限定理的多重乘法的規(guī)則，即多個獨立同分布變量的乘積符合對數(shù)正態(tài)分布。因此，在同一時間段內(nèi)（本文選取一個月），各個省的細分行業(yè)用電量服從對數(shù)正態(tài)分布，且如果將細分行業(yè)繼續(xù)劃分，仍然服從對數(shù)正態(tài)分布。

5 結束語

本文主要針對電力指標的分布性規(guī)律進行分析研究。經(jīng)過統(tǒng)計分析研究發(fā)現(xiàn)，90%以上的電力指標不符合正態(tài)分布。經(jīng)驗證，全國發(fā)電量、國家電網(wǎng)公司售電量和全社會用電量3個電力核心指標具有冪律分布的特性，其中細分行業(yè)的用電量符合對數(shù)正態(tài)分布，并且具體闡述了產(chǎn)生這種現(xiàn)象的業(yè)務原因和數(shù)學原因。

本文對電力指標的分布規(guī)律進行了深入研究，為電力大數(shù)據(jù)的探索性分析做出了貢獻，并且為數(shù)據(jù)分析和挖掘方法的選擇提供了理論支撐。所得的研究成果能夠為電力數(shù)據(jù)分析同行提供更多的創(chuàng)新思路，方法和技術也可以應用到其他電力方面的數(shù)據(jù)，不僅豐富了電力數(shù)據(jù)分析領域的技術，對很多業(yè)務問題也具有理論指導意義。不符合正態(tài)分布的電力指標數(shù)據(jù)看似毫無規(guī)律，冪律分布以簡潔優(yōu)雅的形式，將毫不相干的事物聯(lián)系在了一起。以后也將是電力數(shù)據(jù)分析中研究的熱點，未來也將對電力行業(yè)中冪律分布的產(chǎn)生機制進行深入研究。

1 Rhee I,Shin M,Hong S,et al.On the levy walk nature of human mobility.Networking,IEEE/ACM Transactions on,2011(3)

2 Yang B,Duan W Q,Chen Z.New method to estimate scaling of power-law degree distribution and hierarchical networks.Applied Mathematics and Mechanics,2006,27(11)：1475～1479

3 葛玉偉，周戰(zhàn)，陳萬田.洪澤地區(qū)配電網(wǎng)故障冪律分布特性.現(xiàn)代電子技術,2011,34(6)：172～174

4 Chris A.The Long Tail.CITIC Publishing House,2005