局部高斯尺度混合模型的傅里葉－小波圖像降噪

唐 銳，張敬東，張 祺

(1．攀枝花學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，四川 攀枝花617000，2．攀枝花學(xué)院交通與汽車工程學(xué)院，四川 攀枝花617000)

1 引言

數(shù)字圖像的噪聲主要來源于圖像的獲取(圖像的數(shù)字化)和傳輸過程。圖像傳感器的工作情況受各種因素的影響，如圖像獲取中的環(huán)境條件和傳感元器件本身的質(zhì)量。圖像在傳輸過程中主要由于受傳輸信道的干擾而受到噪聲污染。

噪聲的污染使圖像偏離了真實(shí)景況，極大影響了人們從圖像中提取信息，因此，非常有必要在利用圖像之前消除噪聲。常規(guī)的圖像消噪方法主要有兩類［1－7］:一類是基于頻域，針對整幅圖像的全局處理;另一類是基于空間域，針對圖像中某一像素中鄰域的局部處理。這兩類消噪處理要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開。這兩類消噪處理方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊沿細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊。

傅里葉變換從整個(gè)時(shí)域(空域)上分析信號的頻譜信息，卻不能反應(yīng)信號在局部時(shí)間范圍內(nèi)的特性，缺乏信號的局部化分析能力有效地表示圖像中的突變部分。

小波分析在時(shí)間域和頻率域都具有良好的局部特性可以聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，小波分析恰好改變了這種局限性。

為了獲取較好的降噪效果，文獻(xiàn)［2］提出了一種傅里葉－小波降混合噪方法并獲得了良好的效果。文章在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上，采用局部高斯尺度混合模型描述降噪圖像的小波變換系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性［7－14］，進(jìn)行不含噪圖像的小波系數(shù)估計(jì)，修改小波系數(shù)，該方法考慮了圖像中含有噪聲的相關(guān)性，使得降噪效果比傳統(tǒng)方法進(jìn)一步提高。

2 傅里葉變換

一般性考慮給定非周期實(shí)函數(shù)信號f(t)，f(t)∈L2(R)的連續(xù)傅里葉變換及逆變換的定義為:

F(ω)取決于f(t)在整個(gè)積分區(qū)間的整體性質(zhì)，其從整個(gè)時(shí)域(空域)上分析信號的頻譜信息，卻不能反應(yīng)信號在局部時(shí)間范圍內(nèi)的特性，缺乏信號的局部化分析能力。傅里葉變換可以分別時(shí)域和頻域分析問題，但不能同時(shí)在時(shí)域和頻域考察。這些正是傅里葉變換存在的弱點(diǎn)。

3 小波變換

傅里葉變換對時(shí)間域上的信號進(jìn)行頻譜分析時(shí)，當(dāng)從時(shí)域變換到頻域時(shí)所有的時(shí)域特征就會(huì)失去，對于非平穩(wěn)信號的分析有一定的局限性，而對信號進(jìn)行小波變換并不會(huì)改變它的時(shí)間特性，而且小波分析在時(shí)間域和頻率域都具有良好的局部特性可以聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，小波分析恰好改變了這種局限性。

小波ψ(t)∈L2(R)，其傅里葉變換為Ψ(ω)，當(dāng)Ψ(ω)滿足容許性條件:

時(shí)，稱ψ(t)為一個(gè)小波基函數(shù)或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列，由其可生成的小波序列可表示為:

其中，a為縮放因子(對應(yīng)于頻域信息);b為平移因子(對應(yīng)于時(shí)空信息)。

任意能量有限函數(shù)f(t)，f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換定義為:

其逆變換為:

式中，ψ*(t)表示ψ(t)的復(fù)數(shù)共軛。

4 局部高斯尺度混合模型

局部高斯尺度混合模型如圖1所示，圖中y為一個(gè)局部鄰域內(nèi)含噪聲圖像的小波變換系數(shù)的隨機(jī)向量，w和u均為零均值的小波變換系數(shù)的高斯隨機(jī)向量，其協(xié)方差矩陣可分別記為Cu和Cw，z為標(biāo)量乘數(shù)因子，其概率密度分布函數(shù)為:

高斯尺度模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

由此可得，在確定的z的概率密度分布函數(shù)的條件下，y是一個(gè)零均值的高斯隨機(jī)向量，其協(xié)方差陣為:

若 E(z)=1，則:

圖1 局部高斯尺度混合模型Fig．1 local Gaussian scale mixtures model

圖像的降噪是在每一個(gè)局部鄰域內(nèi)，從噪聲圖像的小波變換系數(shù)的隨機(jī)向量y中估計(jì)出局部鄰域中心的原始圖像的小波系數(shù)xc，xc的最小平均平方誤差估計(jì)在y的條件下的數(shù)學(xué)期望為:

其中:

基于上述分析，本文采用一種融合傅里葉變換和小波變換的方法對圖像進(jìn)行降噪，即基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法，其算法步驟如下:

(1)傅里葉變換圖像降噪:估計(jì)原始圖像的功率譜密度，分析原始圖像的能量分布情況;

(2)小波變換圖像降噪:

Ⅰ將傅里葉變換降噪后的圖像作小波變換，獲得圖像的小波變換系數(shù)，將圖像分解為多個(gè)子頻帶信號;

Ⅱ按照GSM法修改小波系數(shù)協(xié)方差陣，對每一個(gè)鄰域進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)出局部鄰域中心的原始圖像的小波系數(shù)，進(jìn)而獲得不含噪聲的圖像的小波變換系數(shù)的估計(jì);

Ⅲ將修改后的小波變換系數(shù)作小波逆變換，獲得降噪后的圖像。

5 實(shí)驗(yàn)方法與結(jié)果

為了更好地驗(yàn)證和比較本文所用方法的性能，我們將此方法用于兩個(gè)8位灰度圖像Barbara，Boat上，其中，Barbara圖像具有較多的紋理和緩慢變化的部分，Boat圖像是一個(gè)有鮮明背景、包含較多的尖銳變化的戶外圖片。實(shí)驗(yàn)分兩部分進(jìn)行，第一部分為分別對圖像Barbara，Boat添加不同標(biāo)準(zhǔn)偏差(σ)的隨機(jī)噪聲，采用局部GSM模型混合傅里葉－小波法降噪時(shí)選用不同的小波，即Db3，Db4，Db5，Db6，Db8，Db10對加噪圖像進(jìn)行降噪。第二部分為在第一部分所得結(jié)果的基礎(chǔ)上和局部自適應(yīng)維納濾波(LAWMAP)、貝葉斯最小平方－高斯尺度混合模型(BLS-GSM)、混合傅里葉－小波等方法作比較。

此處使用的衡量降噪效果的指標(biāo)是PSNR(peak signal to noise ratio)，其定義如下:

式中，Xi為原始圖像的第i個(gè)像素值;X為降噪后圖像的第i個(gè)像素值，該指標(biāo)為客觀標(biāo)準(zhǔn)，沒有反映人類對圖像質(zhì)量的視覺感受，主要用于8位灰度圖像的降噪評估中。采用本文所用的方法對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后的PSNR分別如圖2、圖3所示。

圖2 LGSMM混合傅里葉－小波降噪Barbara圖像的PSNR值Fig．2 PSNR of Barbara using themethod proposed

圖3 GSM混合傅里葉－小波降噪boat圖像的PSNR值Fig．3 PSNR of Boat using themethod proposed

圖4和圖5分別顯示的是噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=30時(shí)的圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后的效果。不同方法對加不同噪聲偏差的圖像Barbara降噪處理后的對比圖如圖6所示。

圖4 圖像降噪效果(Barbara，σ=30)Fig．4 effect of imagede-noising(Barbara，σ =30)

圖5 圖像降噪效果(Boat，σ=30)Fig．5 effect of imagede-noising(Boat，σ =30)

圖6 采用不同方法降噪效果對比圖(Barbara)Fig．6 contrast diagram of noise reduction effects using different methods( Barbara)

(1)從圖2和圖3中可以看出，采用本文提出的基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪時(shí)，原始加噪圖像的PSNR和使用不同小波降噪后圖像的PSNR均隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的增大而減小，但使用不同小波降噪后圖像的PSNR減少速率要緩慢，這表明原始加噪圖像的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ越大，降噪效果越明顯。同時(shí)可看到采用基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪時(shí)，選擇不同的小波函數(shù)，圖像Barbara，Boat降噪后的PSNR線幾乎重合。

(2)當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差σ=30時(shí)，從圖4和圖5中左右兩幅圖片顯示效果的比較中可看到采用本文方法對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后，原圖像中的噪聲幾乎全部消去。

(3)圖6為局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法、混合傅里葉－小波降噪法、BLSGSM，LAWMAP等方法對圖像Barbara進(jìn)行降噪后的PSNR，與混合傅里葉－小波降噪法、BLS-GSM，LAWMAP等方法相比，本文提出的降噪方法降噪效果顯著。

6 結(jié)論

本文提出了基于局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法圖像進(jìn)行降噪處理方法，利用局部高斯尺度混合模型充分考慮圖像小波變換系數(shù)間的相關(guān)性，使用協(xié)方差替代方差進(jìn)行小波系數(shù)的估計(jì)，更加符合現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)字圖像處理。仿真結(jié)果表明:

(1)本方法小波函數(shù)的選擇不影響降噪效果，克服了常規(guī)小波變換處理信號時(shí)要根據(jù)待處理信號的特征選擇最合適小波函數(shù)的局限性。

(2)采用局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波對圖像Barbara，Boat進(jìn)行降噪后，原圖像中的噪聲幾乎全部消去，降噪效果明顯。

(3)采用局部高斯尺度混合模型的混合傅里葉－小波降噪法、混合傅里葉－小波降噪法、BLSGSM，LAWMAP等方法對圖像Barbara進(jìn)行降噪后的PSNR結(jié)果表明本文采用的方法比上方法的降噪效果有顯著提高。

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