力電沖擊荷載下PZT／復(fù)合材料梁界面斷裂分析

白 瑞 祥＊， 王 亮， 陳 浩 然

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

壓電材料在航空航天、汽車和電子工程等領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用，如PZT系列壓電陶瓷.由于壓電材料經(jīng)常粘貼在基體表面，在制造或使用過程中形成的界面裂紋是壓電智能結(jié)構(gòu)最常見的失效模式之一.很多學(xué)者對(duì)壓電材料界面靜態(tài)斷裂行為進(jìn)行了研究［1－2］.壓電材料在航空航天、電子封裝等領(lǐng)域的應(yīng)用中經(jīng)常受到各種沖擊荷載，因此，界面裂紋的動(dòng)態(tài)斷裂行為是一個(gè)很重要的現(xiàn)象，不能忽視.目前已有一些學(xué)者對(duì)壓電材料的動(dòng)態(tài)斷裂進(jìn)行了研究.Ueda通過Laplace和Fourier轉(zhuǎn)換方法，對(duì)含有中心裂紋的壓電材料和壓電層合結(jié)構(gòu)在法向沖擊荷載作用下的斷裂問題進(jìn)行了研究［3］.Shina等通過積分轉(zhuǎn)換方法，對(duì)功能梯度壓電材料界面裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展問題進(jìn)行了研究［4］.Zhao對(duì)含界面裂紋的壓電層合板進(jìn)行了傳導(dǎo)分析，得到了隨時(shí)間變化的應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子［5］.Hu等通過動(dòng)態(tài)J－積分分析了壓電雙材料界面裂紋在力電沖擊荷載作用下的能量釋放率［6］.Jin等建立了脫膠的壓電／膠層／基體的一維解析模型，對(duì)在高頻電荷載作用下界面裂紋的應(yīng)力分布進(jìn)行了研究［7］.但是，目前對(duì)PZT／復(fù)合材料界面裂紋在力電耦合沖擊荷載作用下的研究還較為有限.

本文基于非線性有限元分析和虛裂紋閉合技術(shù)，并采用接觸單元防止PZT片和復(fù)合材料板分層前緣發(fā)生穿透現(xiàn)象，對(duì)含有界面裂紋的PZT／復(fù)合材料梁在力電耦合沖擊荷載作用下的能量釋放率進(jìn)行分析，討論壓電效應(yīng)、電壓和鋪層角度對(duì)沖擊荷載的影響，同時(shí)討論界面接觸對(duì)結(jié)果的影響.

1 基本理論

1.1 虛裂紋閉合技術(shù)

虛裂紋閉合技術(shù)最早由Irwin提出［8］，圖1為虛裂紋閉合技術(shù)3D有限元分析示意圖.其基本概念是假設(shè)長(zhǎng)度為a的裂紋，其尖端擴(kuò)展微小長(zhǎng)度Δa時(shí)所釋放的能量等于將其閉合時(shí)所需要做的功［9］.

GⅠ、GⅡ、GⅢ可用下式表示：其中GⅠ、GⅡ、GⅢ分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂紋能量釋放率，ΔA＝Δab，在這里ΔA是裂紋尖端處分層的虛擬閉合面積，Δa是分層前緣單元的長(zhǎng)度，b是單元寬度.

圖1 虛裂紋閉合技術(shù)3D有限元分析示意圖Fig.1 Schematic of VCCT for 3DFE analysis

1.2 動(dòng)力有限元方程

壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力有限元方程形式為

式中：Muu、Kuu和KuD分別為質(zhì)量矩陣、彈性剛度矩陣和壓電剛度矩陣；D為電位移向量；Fu是機(jī)械荷載矩陣；Cuu為阻尼矩陣；FD是電荷載向量；u為結(jié)構(gòu)位移，是時(shí)間t的函數(shù).

如果考慮材料Rayleigh阻尼，則

其中αc為常質(zhì)量矩陣乘子，βj為材料阻尼.

1.3 接觸單元

PZT／復(fù)合材料梁在沖擊的力電荷載作用下，PZT片會(huì)和復(fù)合材料發(fā)生接觸并產(chǎn)生穿透現(xiàn)象，為此需要在接觸界面設(shè)置接觸單元，來控制裂紋前緣穿透現(xiàn)象的發(fā)生.在分層前緣設(shè)置面對(duì)面的接觸單元，采用罰函數(shù)法求解，不考慮滑動(dòng)摩擦的影響.罰函數(shù)法公式為

式中：fn為法向接觸力，K為接觸剛度，δ為接觸位移.接觸單元間的穿透值通過分離的接觸體上節(jié)點(diǎn)間的距離來計(jì)算.

2 數(shù)值算例和討論

本文采用3D－VCCT單元，該單元可以有效減少編程工作和避免不必要的計(jì)算，在裂尖的節(jié)點(diǎn)對(duì)間采用剛度很大的彈簧連接來計(jì)算其節(jié)點(diǎn)力.裂紋尖端周圍的節(jié)點(diǎn)則用來提取位移等相關(guān)信息，并用來計(jì)算裂紋尖端后面的張開位移的擴(kuò)展量.當(dāng)某一時(shí)刻能量釋放率達(dá)到材料本身的能量釋放率臨界值時(shí)，裂紋向前擴(kuò)展.刪除裂紋尖端的3D－VCCT單元來模擬裂紋的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展，并在刪除單元的同時(shí)激活裂紋開裂路徑上的接觸單元，避免裂紋分層前緣可能出現(xiàn)的相互嵌入.

2.1 算例驗(yàn)證

考慮受沖擊荷載作用下含有中心裂紋的壓電雙材料無限大半平面，其幾何材料參數(shù)見文獻(xiàn)［6］.圖2分別給出了通過虛裂紋閉合方法和動(dòng)態(tài)J－積分得到的能量釋放率.本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［6］所得結(jié)果相比吻合較好，說明了本文分析方法的有效性.

圖2 能量釋放率隨時(shí)間t變化曲線Fig.2 The variation of energy release rate with time t

2.2 PZT／復(fù)合材料梁界面沖擊斷裂分析

兩個(gè)PZT片對(duì)稱粘貼在復(fù)合材料層合梁上下表面，上面PZT片作為作動(dòng)器，下面PZT片作為傳感器，幾何模型如圖3所示，其中長(zhǎng)L＝50 mm，寬W＝20mm，hp＝0.5mm，hc＝0.75mm，在PZT驅(qū)動(dòng)器和復(fù)合材料層合板之間有一個(gè)初始裂紋a＝10mm，邊界條件為兩端固定.PZT片表面受到?jīng)_擊的均布荷載為σ0＝1kPa，電荷載為電壓.采用有限元軟件ANSYS11.0進(jìn)行非線性數(shù)值分析計(jì)算.有限元網(wǎng)格模型如圖4所示，并在裂尖處進(jìn)行了網(wǎng)格加密.

壓電片（PZT－4）彈性常數(shù)：c11＝139GPa，c12＝74.3GPa，c22＝113GPa，c33＝25.6GPa；壓電應(yīng) 力 常 數(shù)：e21＝ －6.98C／m2，e22＝13.84 C／m2，e15＝13.44C／m2；介電常數(shù)：k11＝6.0×10－9F／m，k22＝5.74×10－9F／m；面密度ρ＝7 600kg／m2.復(fù)合材料單層板厚度為0.125mm，材料參數(shù)：面密度ρ＝1 200kg／m2，E1＝135.7 GPa，E2＝E3＝9GPa，ν12＝ν13＝0.24，ν23＝0.46，G12＝G13＝5.2GPa，G23＝3.4GPa.

圖3 PZT／復(fù)合材料梁幾何模型Fig.3 Configuration model of PZT／composite beam

圖4 有限元網(wǎng)格模型Fig.4 FE meshes model

圖5 裂紋表面接觸和壓電效應(yīng)對(duì)G／Gn響應(yīng)的影響Fig.5 The influence on the response of G／Gnwith crack surface contact and piezoelectricity

為了便于比較，定義量綱一電壓為R＝Ve22／Lσ0，壓電復(fù)合材料梁受到?jīng)_擊外力σ0＝1 kPa，分別選取R為 －0.56、－0.28、0、0.28和0.56.量綱一能量釋放率因子Gn＝1 000σ0πa／c22，量綱一時(shí)間因子t＝0時(shí)，壓電作動(dòng)器上表面和壓電傳感器下表面同時(shí)施加力電沖擊荷載，本文所有討論的能量釋放率為壓電復(fù)合材料梁脫膠前緣A點(diǎn)的能量釋放率的響應(yīng)曲線.圖5分別給出了壓電和接觸效應(yīng)對(duì)PZT／復(fù)合材料梁界面裂紋的量綱一總能量釋放率隨量綱一時(shí)間變化的曲線.可以看出，考慮壓電效應(yīng)時(shí)界面裂紋的能量釋放率比不考慮壓電效應(yīng)時(shí)減小了大約50%，說明壓電材料由于特有的壓電效應(yīng)對(duì)沖擊的外力荷載下界面裂紋的起裂有抑制作用，特別是很高機(jī)電耦合系數(shù)的壓電材料，比如本文中使用的PZT－4.通過比較還可以發(fā)現(xiàn)，沒有壓電效應(yīng)時(shí)接觸效應(yīng)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不是很大，但是有壓電效應(yīng)時(shí)，不考慮裂紋前緣接觸就會(huì)引起較大的誤差.接觸將會(huì)減小界面能量釋放率的振蕩幅度并且推遲其峰值的出現(xiàn)時(shí)間.

圖6為不同電壓作用下PZT／復(fù)合材料梁界面裂紋量綱一總能量釋放率隨量綱一時(shí)間的變化曲線.無論施加正電壓還是負(fù)電壓，都會(huì)使界面能量釋放率響應(yīng)曲線的波動(dòng)幅值增大，其增大的幅度要明顯高于減小的幅度，且都隨著電壓的增加而增大.無論施加正電壓還是負(fù)電壓，都會(huì)使界面總能量釋放率的峰值變大，從而加劇裂紋的起裂擴(kuò)展.而且，在相同的量級(jí)范圍內(nèi)，負(fù)電壓對(duì)界面能量釋放率的影響要高于正電壓的影響.因此，在對(duì)壓電復(fù)合材料界面斷裂分析時(shí)，要考慮電壓正、負(fù)對(duì)界面動(dòng)態(tài)起裂行為的影響.在考慮壓電效應(yīng)時(shí)，壓電片的變形具有自適應(yīng)性，對(duì)界面裂紋起裂具有一定的抑制作用，而對(duì)于具有界面缺陷的壓電智能復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀控制時(shí)所加的驅(qū)動(dòng)電壓會(huì)加速裂紋的擴(kuò)展，使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)功能失效，可見，充分保證界面黏接質(zhì)量是十分必要的.

圖6 G／Gn在不同電壓下的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of G／Gnunder different voltages

圖7 和8為不同鋪層（非均衡鋪層）時(shí)量綱一的總能量釋放率隨量綱一時(shí)間變化的響應(yīng)曲線.當(dāng)施加負(fù)電壓時(shí)，［306］、［456］鋪層和［06］鋪層時(shí)的響應(yīng)曲線很接近，而［606］、［906］鋪層時(shí)的響應(yīng)曲線要高于［06］鋪層.當(dāng)施加正電壓時(shí)，［306］和［456］鋪層的響應(yīng)曲線則低于［06］鋪層，［606］和［906］鋪層的響應(yīng)曲線和［06］鋪層的響應(yīng)曲線很接近.可以看出，復(fù)合材料的彎扭以及拉剪特性對(duì)PZT／復(fù)合材料梁界面的動(dòng)態(tài)能量釋放率影響很大，施加電壓的正負(fù)則導(dǎo)致非均衡鋪層對(duì)力電耦合的低能量沖擊荷載下的界面斷裂行為變得更加復(fù)雜.

圖7 不同鋪層下G／Gn響應(yīng)曲線（R＝－0.28）Fig.7 Response curves of G／Gnunder different stacking sequences（R ＝ －0.28）

圖8 不同鋪層下G／Gn響應(yīng)曲線（R＝0.28）Fig.8 Response curves of G／Gnunder different stacking sequences（R＝0.28）

圖9 為不同阻尼下量綱一的總能量釋放率隨量綱一時(shí)間變化的曲線.可以看出，考慮壓電材料的阻尼后，阻尼越大，響應(yīng)曲線震蕩幅度越小，曲線越光滑，并且峰值的到達(dá)時(shí)間延緩.圖10為不同阻尼下量綱一的總能量釋放率峰值隨電壓的變化曲線.可以看出，考慮壓電材料阻尼會(huì)減小壓電復(fù)合材料梁界面動(dòng)態(tài)能量釋放率的峰值，而且施加電壓越大，阻尼影響越明顯.可以看出，力電耦合沖擊荷載下的PZT／復(fù)合材料梁界面裂紋的能量釋放率和其隨時(shí)間變化規(guī)律是與壓電材料的阻尼特性密切相關(guān)的，驅(qū)動(dòng)電壓越大，裂紋尖端能量聚集越大，考慮壓電片阻尼則因考慮了能量的耗散而相應(yīng)降低了裂紋尖端的能量釋放率，而不考慮壓電材料的阻尼則會(huì)低估壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的抗斷裂能力.

圖9 不同阻尼下G／Gn的響應(yīng)曲線（R＝0.28，αc＝0.01）Fig.9 Response curves of G／Gnunder different dampings（R＝0.28，αc＝0.01）

3 結(jié) 論

（1）壓電效應(yīng)對(duì)沖擊機(jī)械力荷載下界面裂紋的動(dòng)態(tài)起裂有很好的抑制作用，特別是高機(jī)電耦合系數(shù)的壓電材料.

（2）不管施加正電壓還是負(fù)電壓，都會(huì)加劇PZT／復(fù)合材料梁界面裂紋的動(dòng)態(tài)起裂擴(kuò)展，且鋪層角度對(duì)界面裂紋的動(dòng)態(tài)能量釋放率影響比較復(fù)雜.

（3）沖擊荷載下一定要考慮裂紋前緣接觸行為，另外，不考慮壓電材料的阻尼會(huì)低估PZT／復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的抗斷裂能力.

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