滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)控制器參數(shù)優(yōu)化*

楊 濤 張為民② 張?jiān)吕?楊 勇

(①同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804;②同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092)

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，高速精密數(shù)控加工成為現(xiàn)代制造業(yè)發(fā)展的必然趨勢(shì)，而數(shù)控機(jī)床的工作性能很大程度上取決于伺服進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。故如何通過機(jī)械結(jié)構(gòu)改良和控制系統(tǒng)優(yōu)化來提高機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性已成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問題。圍繞數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，國內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究工作，其中通過改良機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性［1－3］和利用計(jì)算機(jī)建模仿真［4－5］的方法都已發(fā)展較為成熟，但對(duì)于通過各環(huán)節(jié)控制器參數(shù)優(yōu)化來提高進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性方面卻少有學(xué)者涉足。

伺服系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)控制器的參數(shù)設(shè)置對(duì)伺服系統(tǒng)控制系統(tǒng)有著重要的意義?？刂破鲄?shù)的改變會(huì)引起伺服系統(tǒng)特性的變化，從而影響機(jī)床的動(dòng)態(tài)特性和加工特性。因此，本文以采用間接測(cè)量的數(shù)控機(jī)床滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立伺服系統(tǒng)控制回路和機(jī)械環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，利用復(fù)比法對(duì)各環(huán)節(jié)控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，并結(jié)合實(shí)例分析滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)伺服控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)效果。

1 優(yōu)化目標(biāo)

在數(shù)控機(jī)床中，對(duì)位置調(diào)節(jié)回路的要求是:其所屬進(jìn)給單元根據(jù)所存儲(chǔ)的幾何數(shù)據(jù)和速度數(shù)據(jù)盡可能無延時(shí)，且無畸變地跟蹤數(shù)控裝置中所形成的位置基準(zhǔn)量。如圖1所示，間接測(cè)量的進(jìn)給傳動(dòng)位置調(diào)節(jié)回路可抽象為伺服系統(tǒng)控制模塊和機(jī)械傳動(dòng)模塊的串聯(lián)，其中控制模塊包括位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)。因此本文對(duì)機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行控制器優(yōu)化的目標(biāo)是使伺服控制系統(tǒng)與機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性相匹配，實(shí)現(xiàn)“機(jī)電耦合”的優(yōu)良動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

2 優(yōu)化原理

2.1 調(diào)節(jié)技術(shù)

進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)采用級(jí)聯(lián)調(diào)節(jié)，從最內(nèi)環(huán)到最外環(huán)依次用于調(diào)節(jié)電流、電動(dòng)機(jī)角速度和電動(dòng)機(jī)角位置，并且上級(jí)主調(diào)節(jié)器的輸出量等于下級(jí)局部調(diào)節(jié)回路的基準(zhǔn)量。通常情況下，調(diào)節(jié)回路主要由調(diào)節(jié)裝置、調(diào)節(jié)對(duì)象和測(cè)量裝置組成。其中，輸出量x與基準(zhǔn)量w的關(guān)系就是相應(yīng)傳遞環(huán)節(jié)的傳遞特性。

2.2 復(fù)比法

復(fù)比法是一種以閉環(huán)調(diào)節(jié)回路的阻尼最優(yōu)法為準(zhǔn)則的方法［8］，其推導(dǎo)目標(biāo)是:閉環(huán)調(diào)節(jié)回路的頻率響應(yīng)特性在更大的頻率范圍內(nèi)具有0 dB(或1)這個(gè)值。閉環(huán)調(diào)節(jié)回路的頻率響應(yīng)特性方程的一般形式為

當(dāng)分母的最后一項(xiàng)向前構(gòu)成系數(shù)之比，且相鄰兩個(gè)比值又構(gòu)成如下關(guān)系

就可以獲得響應(yīng)速度快，超調(diào)量小的最優(yōu)阻尼頻響特性。以此類推，就可以確定從a0到an的所有參數(shù)的值，并且整定的參數(shù)對(duì)調(diào)節(jié)對(duì)象中的參數(shù)變化和所進(jìn)行的近似計(jì)算具有不敏感的魯棒特性［6］。

3 調(diào)節(jié)器的優(yōu)化

3.1 電流調(diào)節(jié)器參數(shù)整定

如圖1可知，電流環(huán)中的調(diào)節(jié)對(duì)象由延遲時(shí)間為TeIA，比例系數(shù)為1/RA的P－T1環(huán)節(jié)和具有純時(shí)滯的Tt的晶體管斬波器組成，將純時(shí)滯和濾波器延遲組合成小延遲時(shí)間總和TσI，則此調(diào)節(jié)對(duì)象的頻率響應(yīng)函數(shù)為

為了補(bǔ)償調(diào)節(jié)對(duì)象中的大延遲時(shí)間，提高電流環(huán)調(diào)節(jié)速度，電流環(huán)采用常規(guī)PI調(diào)節(jié)器，其頻響函數(shù)為

設(shè)置調(diào)節(jié)器的超前時(shí)間TnI=TeIA，則將對(duì)電流環(huán)調(diào)節(jié)對(duì)象中的大延遲時(shí)間進(jìn)行補(bǔ)償，使之為零。經(jīng)約分后的電流環(huán)的閉環(huán)頻響函數(shù)為

利用復(fù)比法，由式(2)可得

將式(6)代入式(5)，并忽略具有(jω)2的因式項(xiàng)，則可將電流調(diào)節(jié)回路的二階頻率響應(yīng)特性近似地描述為P－T1環(huán)節(jié)，即

且電流環(huán)的等效延遲時(shí)間TEI=2TσI。

3.2 轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器參數(shù)整定

電流調(diào)節(jié)回路用延遲時(shí)間為TEI的P－T1環(huán)節(jié)代替，并與延遲時(shí)間2TATn組合成轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的小延遲時(shí)間總和Tσn，則

同時(shí)將轉(zhuǎn)矩常數(shù)KT計(jì)入轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)KPn中來簡(jiǎn)化模型。當(dāng)采用常規(guī)PI調(diào)節(jié)器時(shí)，可得等效延遲時(shí)間為TEn=4Tσn的P－T1環(huán)節(jié)。

如果采用參考PI調(diào)節(jié)器，由于轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的基準(zhǔn)頻率響應(yīng)特性中參考PI調(diào)節(jié)器只起到比例系數(shù)為KPn的P調(diào)節(jié)器作用［8］，則轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的基準(zhǔn)響應(yīng)特性為

根據(jù)復(fù)比法，由公式(2)可整定出

將式(10)代入式(9)，并忽略具有(jω)2的因式項(xiàng)，則可將轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的二階頻率響應(yīng)特性近似地描述為P－T1環(huán)節(jié)，即

可見采用參考PI調(diào)節(jié)器的轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的調(diào)節(jié)時(shí)間為采用常規(guī)PI調(diào)節(jié)器的一半，因此對(duì)于轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路，選用參考PI調(diào)節(jié)器，且轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的等效延遲時(shí)間TEn=2Tσn。

3.3 位置調(diào)節(jié)器參數(shù)整定

位置調(diào)節(jié)回路采用比例系數(shù)為KV的P調(diào)節(jié)器，且位置調(diào)節(jié)回路的小延遲時(shí)間為式中:TEn為轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路等效延遲時(shí)間，TGn為轉(zhuǎn)速給定值延遲時(shí)間，并考慮用0.5TATx作為采樣－保持環(huán)節(jié)和TATx作為調(diào)節(jié)算法的運(yùn)算周期。因此，位置調(diào)節(jié)回路的閉環(huán)基準(zhǔn)響應(yīng)特性為

根據(jù)復(fù)比法，亦可整定出

考察機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)對(duì)KV參數(shù)整定的限制作用時(shí)，由于轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)回路的特征角頻率ωnA通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)的最低固有角頻率ωdmin，ωnA時(shí)的激增值在機(jī)械固有頻率范圍對(duì)位置調(diào)節(jié)回路合成幅值響應(yīng)特性方面不產(chǎn)生影響，故只考慮TGn作為位置調(diào)節(jié)回路的小延遲時(shí)間，則式(13)可簡(jiǎn)化為

可計(jì)算出最低機(jī)械固有角頻率時(shí)的幅值響應(yīng)特性的絕對(duì)值

如果想達(dá)到在最低機(jī)械固有頻率時(shí)具有激增值H的位置點(diǎn)上，得出包括機(jī)構(gòu)在內(nèi)的位置調(diào)節(jié)回路的幅值響應(yīng)特性為≤0 dB(或者≤1)這一目的，就必須將這個(gè)絕對(duì)值乘以激增值H，從而可以得到下列方程

此處同時(shí)考慮公式(14)的影響，則可以整理出KV系數(shù)的解為

4 實(shí)例

本文以一款采用滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的臥式加工中心為例，分析該控制器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)伺服控制器的優(yōu)化效果。為了簡(jiǎn)化模型，這里引用Zirn提出的由電動(dòng)機(jī)和耦合連接負(fù)載組成的雙質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化方案［7］，如圖2所示，其物理關(guān)系為

式中:MM和MW分別為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩和軸轉(zhuǎn)矩;JM和JL為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;φM和φL分別為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載轉(zhuǎn)角;ωM和ωL分別為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載的角速度;αM和αL分別為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載的角加速度;cT0為扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù);?ω為阻尼系數(shù)。

聯(lián)立上述方程組，并通過拉普拉斯變換可得此雙質(zhì)量振動(dòng)器系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性為

其中特征角頻率和阻尼系數(shù)分別為

通過對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行激振力模態(tài)測(cè)試，可近似得到雙質(zhì)量振動(dòng)器的固有角頻率ωdmin=130.6 s－1(或fdmin=20.8 Hz)和相應(yīng)的阻尼系數(shù)Dmech=0.023。而雙質(zhì)量振動(dòng)器的零點(diǎn)頻率ω0mech1和Dmech1的值可由下面的關(guān)系得到

聯(lián)立式(22)、(25)和(26)，可計(jì)算機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)ωL/ωM下的最大振幅H=16.8，即24.5 dB。

現(xiàn)在可建立進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的整體框圖如圖3所示，其中整定的初始條件為TATx=2 ms，TATx=100 μs，TEI=150 μs，JM=19.90 × 10－4kg·m2，JL=7.47 ×10－4kg·m2，ω0mech1=111.4 s－1，Dmech1=0.02。

由式(8)和(10)分別可得Tσn=0.35 ms，KPn≈3.91 N·m·s/rad，將 ω0mech1和Dmech1的值代入式(22)可得

因此，只需要一個(gè)參數(shù)就能確定KV，但其設(shè)定過程復(fù)雜且需要一系列迭代計(jì)算:

(1)如果假定轉(zhuǎn)速給定值延遲時(shí)間TGn=15 ms，則由式(12)可得Tσx=18.45 ms，并通過式(14)可得出最大的KV系數(shù)為KVmax=27.1 s－1。

將TGn/Tσx=0.81和絕對(duì)值H=16.8代入式(18)得KVmax/ωdmin=0.157，則KVmax=17.49 s－1＜ 27.1 s－1，因此，轉(zhuǎn)速給定值延遲時(shí)間可以給得大一些。

(2)如果假定一個(gè)TGn=30 ms的延遲時(shí)間，那么可得Tσx=33.45 ms，相應(yīng)地可得到KVmax=14.95 s－1。

將TGn/Tσx=0.819 7和絕對(duì)值H=16.8代入式(18)得KVmax/ωdmin=0.164，則KVmax=18.27 s－1＜14.95 s－1，因此，轉(zhuǎn)速給定值延時(shí)必須給得小一些。經(jīng)過數(shù)次迭代，最終確定TGn=24 ms，TGn/Tσx=0.874，KV=18.1 s－1。

至此，所有參數(shù)都已確定，可在Matlab平臺(tái)上建立進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)仿真模型(如圖4)。分析可得整個(gè)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性伯德圖如圖5所示，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖6所示。

由圖5可知，控制回路的設(shè)計(jì)滿足進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的性能要求，且其良好的阻尼特性能夠獲得很小的超調(diào)量，確保了系統(tǒng)的穩(wěn)定，并且當(dāng)頻率在一個(gè)大范圍內(nèi)變化時(shí)它的幅值都保持在0 dB。由圖6可知，進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.293 s，超調(diào)量只有3%，并且穩(wěn)態(tài)誤差控制在0.02%以內(nèi)。

5 結(jié)語

本文提出了間接測(cè)量的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)伺服控制器的參數(shù)優(yōu)化技術(shù)，涉及到控制器的選擇方案及其內(nèi)部參數(shù)的優(yōu)化方法，并通過實(shí)例中的滾珠絲杠進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)驗(yàn)證了控制器參數(shù)優(yōu)化的合理性。根據(jù)本文提出的控制器參數(shù)優(yōu)化技術(shù)，可以獲得一個(gè)穩(wěn)定的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間小于0.3s，超調(diào)量為3%，且穩(wěn)態(tài)誤差小于0.02%。

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