打點計時器測加速度——你錯了嗎

◆簡增珂

打點計時器分為電磁打點計時器和電火花打點計時器，是學(xué)生進入高中學(xué)習階段在物理學(xué)科所接觸的第一個測量工具。用打點計時器測加速度是高中物理的一個重要實驗，對培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的認知態(tài)度、良好的動手實驗操作能力、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)運算能力以及合作學(xué)習等方面意義重大。無論是在歷年高考中，還是在各地市模擬或檢測中，它都占有重要的一席之地。然而，筆者綜觀當前的教學(xué)思路和題目設(shè)計的方法，卻發(fā)現(xiàn)一個問題，那就是錯誤地把“加速度的平均值”當作“加速度”，錯誤地把“一次測量”當作“多次測量”，從而錯誤地用“多次測量求平均值”的方法計算實驗小車的加速度。

以下是筆者對這個問題的分析。

1 傳統(tǒng)的實驗方法

1.1 實驗?zāi)康?/h3>

1）練習使用打點計時器；2）測平均速度；3）測瞬時速度；4）測小車運動的加速度。

1.2 實驗原理

瞬時速度：對于勻變速直線運動，平均速度等于中間時刻的瞬時速度，。

加速度：在勻變速直線運動中，速度的變化量和所用時間的比值，（定義法）；(逐差法)。在v-t圖像中，圖線的斜率表示加速度。

1.3 實驗器材

打點計時器（電磁打點計時器或電火花打點計時器）、紙帶、實驗用小車、一端固定有定滑輪的長木板、鉤碼、細線、電源（學(xué)生電源或生活用電）、導(dǎo)線、刻度尺。

1.4 實驗步驟

在小車的后面固定一條紙帶，打點計時器固定在長木板沒有滑輪的一側(cè)，紙帶穿過打點計時器的限位孔，用鉤碼拉動小車在長木板上做加速運動，打點計時器就會在紙帶上打出一系列點，這些點就記錄了小車的運動情況。換上新紙帶，重復(fù)操作幾次。

1.5 數(shù)據(jù)處理

從多條紙帶當中選擇一條用來分析小車的運動，先判斷小車是否做勻變速直線運動，然后計算小車的加速度。

1）判斷小車是否做勻變速直線運動。如圖1所示，把紙帶按計數(shù)點分段做標記，可采用分段求加速度的方法進行比較。如果用加速度的定義式計算加速度，需要首先計算瞬時速度，這種方法不僅需要進行測量，還要進行多次運算，相對比較麻煩。另一種方法是采用逐項差值法。先測量各計數(shù)點之間的距離x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，然后 算 出 差 值：Δx1=x2-x1，Δx2=x3-x2，Δx3=x4-x3，Δx4=x5-x4，Δx5=x6-x5，Δx6=x7-x6，Δx7=x8-x7。如果各差值在誤差允許的范圍內(nèi)相等，就可以判斷小車做勻變速直線運動。

圖1

2）計算小車的加速度。針對所選出的一條紙帶，人們往往從減小誤差和充分利用測量數(shù)據(jù)的角度去計算加速度，因此，在差值判斷的基礎(chǔ)上大多采用逐差法或圖像法。

關(guān)于逐差法，各類期刊、報紙、教輔資料爭議頗多，由逐項逐差法又派生出多項間隔逐差法或者更復(fù)雜的逐差法。

為了減小偶然誤差，對所求出的多個加速度求平均值，則：

同樣，為了減小偶然誤差，對所求的多個加速度求平均值，則：。

③圖像法。首先把各時段求出的每一段的平均速度作為中間時刻的瞬時速度：。然后在v-t圖像中進行描點。最后用一條直線進行“擬合”，使各點均勻分布在直線上或者分布在直線的兩側(cè)，計算直線的斜率求加速度。

從理論上來看，筆者認為以上三種求加速度的方法都是錯誤的。

2 傳統(tǒng)實驗存在的錯誤

傳統(tǒng)實驗的方法錯在哪兒呢？這要從加速度的定義說起。加速度是描述物體速度變化快慢的物理量，是物體速度的變化量與所用時間的比值。也就是說，加速度是對應(yīng)某一個特定時間段而言的，當時間趨于無窮小時就是瞬時加速度。一般情況下所說的加速度，是指平均加速度。在理想的勻變速運動中，瞬時加速度與整個運動過程的加速度是一致的。

圖2

在本實驗中，無論是用各段的差值求加速度，還是用各段初末瞬時速度作圖求加速度，由于偶然誤差的原因，各段所求的數(shù)值可能存在差異。這時，人們自然會想到用多次測量求平均值的方法來減小偶然誤差。問題就出現(xiàn)在這兒。

首先，從加速度的物理意義可以知道，“加速度的平均值”不等同于“平均加速度”。對于某一個運動過程，可以分不同的時間段求加速度a1、a2、a3…an，但是每一個加速度只對相應(yīng)的時間段有物理意義。也就是說，加速度與時間段是一一對應(yīng)的關(guān)系。對一個運動過程而言，不同時段“加速度的平均值”只是一個數(shù)學(xué)問題，只能表示不同幾次分別求密度就叫做多次測量；因為每一次的測量會存在誤差，所以通過多次測量求平均值可以減小偶然誤差，該平均值就是這根胡蘿卜實驗測量的密度。但是，如果把一根胡蘿卜等長度切成幾段，測每一段的質(zhì)量和體積計算密度，就屬于不同的測量，每一段胡蘿卜密度的不同可以稱之為“差異”而不能稱之為“誤差”。

所謂“多次測量”，意味著針對同一個需要測量的物理量重復(fù)實驗操作。打點計時器是一種特殊的測量工具，能同時記錄運動物體的“時間—空間”信息，每打一條紙帶只對應(yīng)一次實驗操作，是對物體運動的一次測量。一個過程中的不同時段會存在“差異”而不是存在“誤差”。

從另一方面，應(yīng)該全面綜合考慮運動過程中出現(xiàn)的各種偶然因素，用發(fā)展的眼光看待這些偶然因素產(chǎn)生的影響，不能片面地認為這一段的誤差偏大而那一段的誤差偏小。

下面，筆者從整體的角度來分析小車的運動。

小車在整個運動過程中不可避免地會出現(xiàn)這樣或者那樣的偶然因素，而小車最終的運動狀態(tài)就是包含這些偶然因素的必然結(jié)果。從混沌學(xué)的角度來看，一個偶然因素產(chǎn)生的影響會持續(xù)到事件發(fā)展的結(jié)尾，也就是說，后面的偶然因素包含前面的偶然因素產(chǎn)生的影響，整個運動過程是“雞生蛋，蛋生雞……”的一個有機的整體。在小車的運動過程中，某一個偶然因素產(chǎn)生了影響，則小車的運動因此會發(fā)生一些變化，不管是經(jīng)過多長時間，小車的運動都是在這個變化的前提下進行的；反之，這個偶然因素顯然也是因為之前的其他的偶然因素產(chǎn)生的變化所造成的。所以，小車時間段的加速度大小上存在差異，有的比平均值大，有的比平均值小。對整個運動過程而言，只有它的數(shù)學(xué)意義而沒有實際的物理意義。

圖3

為了方便理解，先以速度這個物理量舉例：一只小螞蟻從一根細竹竿一端爬到另一端，已知小螞蟻爬過每一節(jié)竹竿所用的時間，求小螞蟻爬行的速度。從速度的定義可知，用小螞蟻通過的總位移和所用總時間的比值就可以求出這個速度。那么，能不能先對小螞蟻爬過每一節(jié)竹竿求速度，再用取平均值的方法求小螞蟻的速度呢？當然不能。同理，用不同時段的幾個加速度求平均，顯然不能等效替代整個運動過程的加速度。

其次，這些加速度是“多次測量”的數(shù)據(jù)嗎？不是。這些加速度只是對小車加速度一次測量中的分時段求值而已，應(yīng)該屬于不同的測量。再舉個簡單的例子：測一根胡蘿卜的密度，每測一組質(zhì)量和體積就能計算一次密度，多測最終的運動狀態(tài)本身就是一個個誤差累積作用的結(jié)果，已經(jīng)不能孤立地看待整個運動過程中某一段運動的誤差。既然整個過程中的各種誤差本身已經(jīng)累積作用，再試圖通過分段取平均來減小誤差，顯然是毫無道理可言的。

“開弓沒有回頭箭”，可以分段分析“一支箭”在不同時段運動的差異，但絕不能用某一段的運動代替“一支箭”運動的“全部”。

3 正確的實驗思路

正確地用打點計時器測加速度的實驗操作步驟和傳統(tǒng)實驗是相同的，只是在計算加速度的數(shù)據(jù)處理上有所不同。

3.1 若只用一條紙帶測加速度

由前面的分析可知，如果只用一條紙帶，則只是對小車的加速度進行了一次測量，只能整體計算出一個加速度?？梢赃x用紙帶兩個遠端各取兩個計數(shù)點求加速度，這個加速度就是小車實際物理意義上的加速度。

2）用間隔差值法求加速度：

由以上推導(dǎo)可知，間隔差值法實質(zhì)上也是定義法。對比以上兩種方法可以看出，如果選用定義法，實驗中所直接測量的數(shù)據(jù)先參與商值運算求瞬時速度，再參與差值運算求速度的變化量，最后參與商值運算求加速度，由于保留位數(shù)和有效數(shù)字的原因，誤差會不斷增大。如果選用間隔差值法，所測數(shù)據(jù)先參與差值運算求位移差，再參與商值運算求加速度。因此，從減小計算所產(chǎn)生的誤差來說，推薦使用間隔差值法。

3.2 若用多條紙帶測加速度

如果用打點計時器進行多次實驗操作，選擇多條紙帶，則每條紙帶可以分別求一個加速度，最后求和取平均值：。

總之，應(yīng)該全面地看待事物發(fā)展的規(guī)律，科學(xué)地認識加速度的物理實質(zhì)，充分理解打點計時器這一測量工具的測量原理，只有這樣才能真正體現(xiàn)本實驗的意義和價值。