諧波齒輪傳動柔輪的變形分析*

祝海林 蔣 宇 王鋮龍 錢志達 寧 鵬

(常州大學機械工程學院，江蘇常州213016)

諧波齒輪傳動是上世紀50年代后期為適應(yīng)空間科學、宇航尖端技術(shù)的發(fā)展而出現(xiàn)的一種新型傳動技術(shù)，它具有結(jié)構(gòu)簡單、傳動比大、承載能力高、齒面相對滑動速度低、傳動平穩(wěn)、噪聲小等優(yōu)點［1］，所以在航天航空、仿生技術(shù)、原子反應(yīng)堆、機床、儀器儀表、機器人、汽車、常規(guī)武器、印刷機構(gòu)及醫(yī)學器械等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1－2］。

諧波齒輪傳動是通過撓性構(gòu)件(柔輪)的彈性變形來實現(xiàn)運動和動力的傳遞，工作過程中，柔輪上各點的徑向變形量是不斷變化的，因而其主要失效形式是柔輪的疲勞破壞，特別在承載扭矩較大的場合，經(jīng)常出現(xiàn)因柔輪的徑向變形量過大而導致柔輪過早發(fā)生疲勞損壞。為了提高柔輪與剛輪的嚙合性能、延長諧波齒輪傳動裝置的使用壽命，很有必要對易損件——柔輪的變形情況進行分析。

近年來，有人提出了彈性波發(fā)生器的概念，這種波發(fā)生器的優(yōu)點在于通過調(diào)整變形力改變?nèi)彷啅较蜃冃瘟浚谷彷喤c剛輪的輪齒實現(xiàn)無側(cè)隙嚙合［3］。而要實現(xiàn)無側(cè)隙嚙合，必須先對柔輪的變形與變形力進行研究。目前，國內(nèi)主要是對杯形柔輪開展了變形、應(yīng)力研究，對環(huán)形柔輪的理論研究還不深入，設(shè)計過程中主要依靠經(jīng)驗和試驗的方法［2］。為此，本文運用材料力學解決超靜定結(jié)構(gòu)的方法，建立了雙波諧波齒輪傳動環(huán)形柔輪變形量、截面彎矩的計算模型，并以Matlab軟件為平臺，對柔輪的徑向變形量與柔輪齒數(shù)、中性層曲率半徑變化與柔輪截面位置的關(guān)系進行了仿真分析，可為柔輪的性能評價與進一步改進提供理論依據(jù)。

1 諧波齒輪傳動的特點

諧波齒輪傳動裝置主要由3個基本件組成，即波發(fā)生器1、具有外齒的柔輪2和具有內(nèi)齒的剛輪3，如圖1所示。通常波發(fā)生器為主動件，而剛輪和柔輪之一為從動件，另一個為固定件。按照波發(fā)生器上滾輪數(shù)的不同，有雙波傳動、三波傳動等，目前最常用的是雙波傳動［4］。在未裝配前，柔輪的原始剖面呈圓形(參見圖2的中性圓1)，柔輪與剛輪的周節(jié)相同，波發(fā)生器的最大直徑比柔輪變形前的內(nèi)圓直徑略大。把波發(fā)生器裝入柔輪內(nèi)時，由于波發(fā)生器的作用，迫使柔輪產(chǎn)生變形，柔輪變成橢圓(如圖2所示)。

波發(fā)生器轉(zhuǎn)動時，迫使柔輪變?yōu)椴粩嘈D(zhuǎn)的橢圓，長軸兩端附近的齒與剛輪的齒完全嚙合、短軸附近的齒則與剛輪的齒完全脫開，其余不同區(qū)段上的齒處于逐漸嚙入或嚙出的過渡狀態(tài)。波發(fā)生器連續(xù)轉(zhuǎn)動時，柔輪的變形部位也隨之轉(zhuǎn)動，使輪齒依次進入嚙合，然后又依次退出嚙合，從而實現(xiàn)嚙合傳動。諧波齒輪傳動的齒數(shù)差等于波數(shù)或波數(shù)的整數(shù)倍，為了實際加工的方便，諧波齒輪的齒形多采用漸開線［4］。

諧波齒輪傳動的基本特點是柔輪連續(xù)不斷地變形，柔輪工作在非對稱的應(yīng)力循環(huán)狀態(tài)下，其工作條件惡劣，所以柔輪是影響諧波齒輪傳動裝置工作性能的關(guān)鍵零件，諧波齒輪傳動裝置的壽命、可靠性、運動精度等主要受到柔輪的限制。由于柔輪的初始變形與剛輪的嚙合相關(guān)，為了達到更好的嚙合狀態(tài)，就需要準確掌握在裝入波發(fā)生器后柔輪的變形情況，以便確定兩種齒輪的嚙合參數(shù)。因此，長期以來柔輪的變形與疲勞強度一直是諧波齒輪傳動領(lǐng)域研究的難點和熱點。

2 柔輪的中性層與中性軸

柔輪的變形分析，一般以波發(fā)生器與柔輪裝配前后柔輪中性層曲線不伸長為前提條件。所謂中性層，是材料力學里的一種假設(shè)，包括幾何中性層、應(yīng)力中性層和應(yīng)變中性層。借助于中性層的概念，可以使復雜的材料力學問題得以簡化。

幾何中性層指的是材料(如桿件)內(nèi)部的中間面，這個面上的每一點到桿件兩邊的法向距離都相等。應(yīng)力中性層是桿件發(fā)生彎曲變形時，其內(nèi)部切向應(yīng)力為零的所有點形成的面。根據(jù)材料力學的平面假設(shè)，可把桿件看成由無數(shù)縱向纖維所組成，比較變形區(qū)內(nèi)桿件彎曲前后相應(yīng)位置的網(wǎng)格線長度可知，靠近外側(cè)的纖維受拉而伸長，靠近內(nèi)側(cè)的纖維受壓而縮短，從內(nèi)、外側(cè)至桿件的中心，其縮短和伸長的程度逐漸變小。由于材料的連續(xù)性，在伸長和縮短兩個變形區(qū)域之間，必定有一個既不伸長也不縮短的過渡層，該層不發(fā)生線性應(yīng)變，這一過渡層就稱為應(yīng)變中性層。即，在桿件彎曲變形時，應(yīng)變中性層纖維的長度在彎曲前后保持不變。在桿件發(fā)生彈性彎曲時，應(yīng)變中性層與應(yīng)力中性層是重合的，且通過桿件橫截面的中心，即也與桿件的幾何中性層重合。

研究材料受力彎曲變形時所說的中性層一般就是指應(yīng)變中性層，中性層和橫截面的交線，叫做中性軸，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點的連線。當桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時，中性軸通過橫截面的形心，且垂直于載荷的作用平面。根據(jù)文獻［5］知，桿件平面彎曲時中性層的曲率半徑ρ與截面彎矩M之間存在如下的關(guān)系:

式中:ρ為桿件變形后中性層的曲率半徑;E為桿材料的彈性模量;I為桿件截面對中性軸的慣性矩;EI為桿的抗彎剛度;M為在載荷平面內(nèi)，使桿件產(chǎn)生曲率變化的彎矩。

應(yīng)變中性層的確定是進行柔輪變形分析、計算的重要依據(jù)。當柔輪彎曲變形程度較小時，應(yīng)變中性層基本上處于柔輪厚度的中心，通常認為應(yīng)變中性層與幾何中性層重合;但當柔輪彎曲變形程度較大時，應(yīng)變中性層與柔輪的幾何中心層不重合，而是向柔輪的內(nèi)側(cè)移動。變形量愈大，內(nèi)移量愈大。

在柔輪與剛輪嚙合過程中，受波發(fā)生器的制約，柔輪中性層由圓變成不斷旋轉(zhuǎn)的橢圓，柔輪環(huán)承受交變的彎曲變形。但是中性層在彎曲過程中的長度和彎曲前一樣，即柔輪中性層的長度保持不變，所以中性層是計算柔輪展開長度的基準。柔輪環(huán)變形過程中，柔輪的橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動，橫截面上任一點處的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比，而在距中性軸等距離的同一橫線上各點處的正應(yīng)力相等。諧波齒輪傳動中，柔輪的彈性變形可視作小變形。研究表明，把柔輪齒圈輪緣的中線(即幾何中性層)作為柔輪的應(yīng)變中性層已經(jīng)足夠精確［6］，所以一般認為柔輪的中性層位于柔輪壁厚的1/2處。

3 柔輪變形與截面彎矩數(shù)學模型的建立

為了研究柔輪變形與其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，必須先建立柔輪截面彎矩的計算模型。由于柔輪是一個具有輪齒的圓柱殼體，直接建立柔輪的力學模型很復雜，一般將其簡化為當量光滑圓柱殼體來進行分析。下面以環(huán)型柔輪為例，用圓柱形柔輪作為柔輪中性圓環(huán)變形計算的模型，如圖3a的A1B1C1D1所示。在等截面柔輪圓環(huán)直徑A1B1的兩端，波發(fā)生器對柔輪圓環(huán)施加了方向相反的一對F力，顯然這屬于超靜定結(jié)構(gòu)［5］。

考慮到柔輪圓環(huán)的幾何形狀、載荷具有對稱性，假如沿水平直徑C1D1將圓環(huán)切開，由載荷的對稱性可知，截面C1和D1上的剪力為零，只有軸力和彎矩。利用平衡條件容易求出軸力大小等于F/2，而彎矩Mx屬于多余約束。由于圓環(huán)對于垂直直徑A1B1和水平直徑C1D1都是對稱的，所以只需要研究四分之一圓環(huán)，如圖3b。因為對稱截面A1和D1處的轉(zhuǎn)角等于零，可以把截面A1作為固定端，而把截面D1處的轉(zhuǎn)角為零作為變形協(xié)調(diào)條件。據(jù)此可以寫出力學的正則方程(限于篇幅，推導過程從略)，求得彎矩Mx= －Frm(0.5－1/π)，進一步得到柔輪圓環(huán)任意截面上的彎矩為

式中:F為波發(fā)生器對柔輪圓環(huán)的作用力;rm為柔輪圓環(huán)中性層變形前的圓半徑;φ為從水平截面D1起算的圓環(huán)截面的位置，φ=0～90°，逆時針為正。

由式(2)可以看出，柔輪圓環(huán)截面受到的彎矩大小與波發(fā)生器施加于柔輪的力F及圓環(huán)中性圓的半徑rm成正比，彎矩最大的位置在截面A1和B1處，所以此兩處屬于危險截面。

因為柔輪中心層橢圓長半軸方向和短半軸方向上的變形對剛輪、柔輪的嚙合影響最大，所以必須對柔輪圓環(huán)的垂直直徑A1B1和水平直徑C1D1的長度變化進行分析。

在一對F力作用下，柔輪圓環(huán)垂直直徑A1B1的長度變化，也就是F力作用點A1和B1的相對位移δAB。應(yīng)用莫爾積分［5］沿整個圓環(huán)積分，可求得直徑A1B1的伸長量，即A1、B1兩點的相對位移 δAB為

式中:E為柔輪圓環(huán)材料的彈性模量;I為圓環(huán)截面對中性軸的慣性矩;EI為柔輪圓環(huán)的抗彎剛度，反映材料抵抗彎曲變形的能力。

考慮到慣性矩 I=bδ3/12，則

式中:b為柔輪圓環(huán)的軸向?qū)挾?δ為柔輪圓環(huán)的厚度(也稱為柔輪的壁厚)。

柔輪圓環(huán)垂直直徑A1B1的長度伸長，水平直徑C1D1的長度必定是縮短的，應(yīng)用莫爾積分，可求得C1、D1兩點的相對位移，即直徑C1D1的縮短量δCD為

由于δAB＞δCD，所以柔輪中性層上各點的徑向位移的最大值出現(xiàn)在力作用點處，柔輪的徑向最大變形量(參看圖2)為

柔輪變形前的分度圓直徑為dR=mZr，柔輪齒根高為hfR=，柔輪圓環(huán)體壁厚一般?。?］δ=(0.01 ～0.015)dR，本文取 δ=0.01dR。這里，m、Zr、分別是柔輪的模數(shù)、齒數(shù)和齒根高系數(shù)。根據(jù)通用諧波齒輪漸開線齒廓常用標準，對于α=20°，剛輪、柔輪都是正常齒時，齒根高系數(shù)按文獻［7］取=1.35。

若柔輪是標準齒輪(不變位)，則柔輪的中性圓半徑:rm=0.5dR－h(huán)fR－0.5δ，從而

在柔輪材料、柔輪圓環(huán)的軸向?qū)挾却_定以后，如果波發(fā)生器產(chǎn)生的力一定，則柔輪的徑向最大變形量W0將與(rm/δ)的三次方成正比，即

4 柔輪變形的敏感度分析

為了分析柔輪齒數(shù)對柔輪變形的影響，現(xiàn)提出柔輪變形的敏感度這個概念。

由前面的式(8)知道，柔輪徑向的最大變形量W0與(49.5－135/Zr)3成正比。所謂柔輪變形的敏感度，是指柔輪齒數(shù)改變時，柔輪徑向最大變形量W0如何變化。柔輪變形的敏感度并非表示變形量W0的絕對值，而是反映W0變化的態(tài)勢。式(8)表明，柔輪最大變形量對齒數(shù)的變化比較敏感。

應(yīng)用MATLAB軟件的曲線繪制命令，根據(jù)式(8)可以畫出柔輪最大變形量的變化態(tài)勢與齒數(shù)之間的關(guān)系曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，在柔輪齒數(shù)少于80時，隨著齒數(shù)的增加，變形量急劇增大，表明柔輪齒數(shù)的改變，對柔輪的變形影響特別明顯(很敏感)。當柔輪齒數(shù)大于100以后，柔輪齒數(shù)對變形量的影響逐漸減弱，變得不敏感了。特別是齒數(shù)超過200后，隨著齒數(shù)的增加對變形量的影響逐漸減小，且當齒數(shù)增加到一定值時，變形量基本上趨于恒定。

為了更清楚地看出柔輪齒數(shù)對變形的影響，我們對式(8)求Zr的導數(shù)，得柔輪徑向最大變形量W0的變動快慢(速率)為

圖5是根據(jù)式(9)畫出的柔輪變形量的變動速率W01與齒數(shù)Zr之間的關(guān)系。從圖5中同樣可以得出與圖4類似的結(jié)論:柔輪齒數(shù)低于80時，齒數(shù)的改變引起的變形量的變化很大(很敏感);隨著齒數(shù)的增加，徑向變形量的變化速率迅速遞減。柔輪齒數(shù)超過200以后，變形量的變動處于平緩，齒數(shù)對變形量的影響就不敏感了，且當齒數(shù)大到一定值后，變形量基本上不再變化。

波發(fā)生器裝入柔輪之后，柔輪在強迫力的作用下發(fā)生彎曲變形，勢必在圓環(huán)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力，而應(yīng)力與柔輪的變形程度有關(guān)。為了提高柔輪的工作壽命，必須減小柔輪的變形量，即在設(shè)計諧波齒輪傳動時，柔輪的齒數(shù)應(yīng)當大于200，這也印證了為什么現(xiàn)有諧波減速器的柔輪齒數(shù)都較大。

柔輪的變形敏感程度也可以用柔輪中性層的曲率來衡量。將式(2)代入式(1)并考慮到I=bδ3/12，得到柔輪變形后中性層的曲率半徑為式中:φ是從水平截面D1起算的圓環(huán)截面的位置(參見圖3)，φ =0～90°，逆時針為正。

當柔輪材料、柔輪軸向?qū)挾?、壁厚、中性層半徑及波發(fā)生器對柔輪圓環(huán)的作用力確定以后，中性層的曲率半徑 ρ將與(1/π －0.5cosφ)成反比，即

根據(jù)式(11)可以畫出柔輪變形后曲率半徑與柔輪截面位置之間的關(guān)系曲線，如圖6所示。因為柔輪結(jié)構(gòu)和變形受力的對稱性，只繪制了0°～90°的范圍(即1/4柔輪)。從圖6中可以看出柔輪變形后中性層的曲率變化情況:在角度區(qū)間為35°～65°時，柔輪中性層彎曲方向有變;當柔輪截面在50°這個角度附近，曲率半徑發(fā)生了突變(截面位置的改變引起的變形量的變化很敏感)，即柔輪的彎曲變形情況在此處，出現(xiàn)了圓環(huán)往外側(cè)彎曲向往內(nèi)側(cè)彎曲的變化。在強度計算時，也應(yīng)該把50°這個截面作為危險截面考慮。

5 結(jié)語

本文運用材料力學解決超靜定結(jié)構(gòu)的方法，建立了環(huán)型柔輪初始變形量、截面彎矩的計算模型。通過對諧波齒輪傳動機構(gòu)柔輪中性層變形規(guī)律的分析，可以得出以下結(jié)論:

(1)柔輪的徑向最大變形量與波發(fā)生器施加于柔輪的力F、柔輪中性圓半徑rm的三次方成線性關(guān)系。

(2)柔輪的齒數(shù)、模數(shù)、波發(fā)生器的結(jié)構(gòu)決定了柔輪的變形規(guī)律及其疲勞強度，如果不是尺寸受限，柔輪齒數(shù)最好大于200。

(3)在波發(fā)生器作用力方向上柔輪的徑向變形量最大，此處齒根部容易出現(xiàn)應(yīng)力集中，為危險截面位置;柔輪圓環(huán)位置角為 50°、130°、230°、310°的截面也應(yīng)該作為危險截面考慮。

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