吉林西部氣象干旱的多標(biāo)度分形特征

陳社明，盧文喜，羅建男，康 柱

1.吉林大學(xué)地下水資源與環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130021

2.中國(guó)建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心吉林總隊(duì)，長(zhǎng)春 130033

0 引言

干旱是世界上代價(jià)最高的自然災(zāi)害，每年在全球能夠造成60～80億美元的經(jīng)濟(jì)損失，它所影響的人口數(shù)量超過其他任何一種自然災(zāi)害［1］。各個(gè)部門或?qū)W科對(duì)干旱概念的定義不盡相同，一般把干旱分為氣象干旱、水文干旱、農(nóng)業(yè)干旱和社會(huì)經(jīng)濟(jì)干旱，氣象干旱是其他各類干旱發(fā)生的主要原因［2］。

目前，關(guān)于氣象干旱指標(biāo)已有大量的研究。根據(jù)建立途徑的不同可以把干旱指標(biāo)歸納為2類：一類是通過研究干旱機(jī)理，力圖細(xì)致地反映干旱涉及的各個(gè)物理過程，以干旱監(jiān)測(cè)指數(shù)（Palmer drought severity index，PDSI）［3］、KBDI（Keetch－Byram drought index）［1］和 WAWAHAMO（Wald Wasser Haushalts Modell）［4］等為代表；另一類則是通過氣象學(xué)方法研究降水量的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，以反映干旱的強(qiáng)度和持續(xù)時(shí)間，代表性模型是McKee等在評(píng)估美國(guó)科羅拉多干旱狀況時(shí)提出的基于降水量的標(biāo)準(zhǔn)化降水指標(biāo)（standardized precipitation index，SPI）［5］。由于SPI能夠非常好地反映干旱的強(qiáng)度和持續(xù)時(shí)間，同時(shí)具有多時(shí)間尺度應(yīng)用的特性，使得用同一個(gè)干旱指標(biāo)反映不同時(shí)間尺度和不同方面的水資源狀況成為可能，因而得到廣泛應(yīng)用［6］。

相對(duì)于干旱指標(biāo)來說，國(guó)內(nèi)外對(duì)干旱分析方法的研究還比較薄弱，當(dāng)前的研究方法主要集中在游程理論、隨機(jī)模擬及非參數(shù)方法［7］。由于干旱可以視作時(shí)間軸上的點(diǎn)狀事件，所以干旱災(zāi)害的發(fā)生十分類似于典型的康托爾集（cantor），即局部與整體之間在一定標(biāo)度域內(nèi)具有自相似特征［8］。從數(shù)學(xué)的角度講，自相似性意味著標(biāo)度不變性［9］。20世紀(jì)70年代興起的分形理論能夠?qū)⒉煌叨认碌乃淖兞客ㄟ^標(biāo)度變換聯(lián)系起來，因此運(yùn)用分形的理論和方法，對(duì)不同尺度下干旱的變化規(guī)律進(jìn)行研究，具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。目前，分形理論已經(jīng)在我國(guó)多個(gè)地區(qū)的干旱特征分析中被應(yīng)用：馮平等［10］介紹了分形理論的基本概念及其分維值的計(jì)算方法，探討了干旱要素在一定標(biāo)度范圍內(nèi)的統(tǒng)計(jì)時(shí)間分形特征；朱曉華等［11］基于分形理論對(duì)中國(guó)旱澇災(zāi)害研究方面所存在的問題進(jìn)行了分析；郭毅等［12］采用標(biāo)度變換法對(duì)隴中地區(qū)1368-1948年（明代至新中國(guó)建立前）各等級(jí)干旱災(zāi)害及旱季序列的時(shí)間分維值進(jìn)行測(cè)算，并深入討論了各旱災(zāi)序列時(shí)間分維與其線性特征之間的關(guān)系。上述研究均側(cè)重于運(yùn)用單重分形理論對(duì)干旱的分維值進(jìn)行計(jì)算。然而，在實(shí)際研究中，人們發(fā)現(xiàn)自然界的分形結(jié)構(gòu)是極其復(fù)雜的，僅用一個(gè)分形維數(shù)來描述其精細(xì)結(jié)構(gòu)是不夠的。為了準(zhǔn)確反映這種復(fù)雜性，人們引入了多重分形的概念，多重分形也稱作多標(biāo)度分形。

筆者以標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)作為氣象干旱指標(biāo)，通過引入多標(biāo)度分析理論，運(yùn)用乘法級(jí)聯(lián)模型對(duì)吉林西部地區(qū)氣象干旱的標(biāo)度性質(zhì)進(jìn)行研究，了解其空間分布特征，以期為有效的干旱預(yù)測(cè)提供幫助，為干旱的研究提供新的途徑。

1 數(shù)據(jù)來源

吉林西部地區(qū)位于我國(guó)濕潤(rùn)的東部季風(fēng)區(qū)和干旱內(nèi)陸之間的過渡帶，為半干旱半濕潤(rùn)的大陸季風(fēng)氣候區(qū)。干旱是這一地區(qū)的主要?dú)夂蛱卣?，部分區(qū)域干旱幾乎年年發(fā)生［13］。為了研究氣象干旱的標(biāo)度特征，本次研究共收集到研究區(qū)內(nèi)6個(gè)氣象站點(diǎn)1957年1月-2010年10月的月降水量數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來自于中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)。6個(gè)站點(diǎn)的位置及其降水量序列見圖1，各站點(diǎn)降水統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

2 研究方法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)

McKee等1993年提出了標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)（SPI），用來確定有降水量記錄地區(qū)特定時(shí)間尺度的降水異常事件，其時(shí)空尺度反映區(qū)域不同持續(xù)時(shí)間的水資源特征［14］。SPI是根據(jù)降水量的概率分布計(jì)算累積概率，然后再轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。該指數(shù)具有優(yōu)良的計(jì)算穩(wěn)定的特性。根據(jù)Guttman等［15］提出的計(jì)算SPI過程，第一步是尋找能夠描述降水隨不同尺度分布的概率密度函數(shù)。在降水分析中，常采用伽馬函數(shù)作為概率密度函數(shù)，其概率分布為Γ分布，具體的計(jì)算過程見文獻(xiàn)［16］。

圖1 研究區(qū)范圍及降水量測(cè)站位置Fig.1 Location of study area and precipitation stations

表1 研究區(qū)各氣象站點(diǎn)基本特征Table1 Meteorological stations used in this study and their basic properties

根據(jù)SPI的大小，干旱可以分為4個(gè)等級(jí)。輕度干旱為－0.99～＜0；中度干旱范圍為－1.49～＜－0.99；嚴(yán)重干旱范圍為－1.99～＜－1.49；＜－1.99為極端干旱。

2.2 多標(biāo)度分形理論

定義隨機(jī)變量Yx，腳標(biāo)x為測(cè)量的尺度。根據(jù)分形理論，如果對(duì)任一個(gè)常數(shù)λ＞0，設(shè)Yλx為與尺度λx對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量，若存在一個(gè)關(guān)于λ的函數(shù)Cλ＝λθ使

則稱Y滿足標(biāo)度不變性，或具有標(biāo)度性質(zhì)。其中：P為概率；θ稱為標(biāo)度指數(shù)。θ可為與P無關(guān)的常數(shù)，此時(shí)稱為單標(biāo)度；也可與P有關(guān)，此時(shí)稱為多標(biāo)度［17］。

筆者通過分析不同尺度下干旱時(shí)間（負(fù)SPI月數(shù)）來分析各站點(diǎn)的標(biāo)度性質(zhì)。首先將負(fù)的SPI序列以時(shí)間尺度s分為相互不重疊的N 個(gè)時(shí)段。對(duì)不同的尺度s，分別計(jì)算各個(gè)時(shí)段內(nèi)的干旱月數(shù)F（s，i）；然后計(jì)算F（s，i）的q階矩，并對(duì)i求和，得到統(tǒng)計(jì)矩K（s，q）：

式中：N 是時(shí)段數(shù)，與研究時(shí)段長(zhǎng)度有關(guān)；F（s，i）為時(shí)間尺度s下，i時(shí)段的干旱月數(shù)；s為時(shí)間尺度，月；q是階數(shù)，一般取值范圍在0到4之間。對(duì)于具有標(biāo)度性質(zhì)的變量，統(tǒng)計(jì)矩K（s，q）可以用尺度s和標(biāo)度指數(shù)τ（q）來表示［18］：

如果τ（q）為階數(shù)q的線性函數(shù)，則數(shù)據(jù)序列稱為單標(biāo)度分形；若為非線性函數(shù)，則稱為多標(biāo)度分形。當(dāng)數(shù)據(jù)為多標(biāo)度分形時(shí)，需要一個(gè)能夠描述τ（q）與q關(guān)系的函數(shù)形式。Over和 Gupta［19］提出的倍增串級(jí)模型能夠很好地反映兩者間的相互關(guān)系。因此，筆者采用文獻(xiàn)［19］中介紹的β－對(duì)數(shù)正態(tài)串級(jí)模型進(jìn)行擬合，其具體形式如下：

式中，參數(shù)β和σ是擬合參數(shù)。其中：β表示數(shù)據(jù)的間歇程度（0≤β≤1）；σ2用來量化數(shù)據(jù)的標(biāo)度特征（σ≥0），σ2越大表明多標(biāo)度分形越明顯。因此，研究區(qū)干旱的多尺度特征分析，主要是計(jì)算參數(shù)σ2的大小。

3 計(jì)算結(jié)果的分析與討論

3.1 標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)的計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)研究區(qū)6個(gè)站點(diǎn)1957年1月-2010年12月的月降水資料，利用Visual Basic語言編制的計(jì)算程序包，計(jì)算出各站點(diǎn)的月SPI序列。為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，以扶余站為例，將該站點(diǎn)10月份和5月份的降水量從小到大進(jìn)行排序，并在表2中列出了降水量和SPI值排序前10的年份。根據(jù)表2數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，SPI較好地體現(xiàn)了降水量大小的變化趨勢(shì)，也反映了干旱程度的強(qiáng)弱。

表2 扶余站部分年份10月和5月降水量和SPI值排序結(jié)果Table2 Precipitation and SPI values for the October and May partial years in Fuyu station

由于本次主要研究干旱問題，因此，在分析中根據(jù)干旱分級(jí)表，只考慮月SPI為負(fù)數(shù)的月份。根據(jù)月SPI值大小，對(duì)研究時(shí)間段內(nèi)不同等級(jí)干旱發(fā)生的月份數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，從而了解不同站點(diǎn)干旱程度，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。由表3中看出：在相同的研究時(shí)段內(nèi)，各個(gè)站點(diǎn)總的干旱月數(shù)近似相等，其中白城的干旱月數(shù)最多，為326個(gè)月；極端干旱中，通榆和長(zhǎng)嶺月數(shù)最多，為14個(gè)月；嚴(yán)重干旱中，乾安月數(shù)最多，為25個(gè)月。

表3 不同干旱級(jí)別的月干旱統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table3 Statistical results for monthly drought in different drought categories

3.2 干旱的標(biāo)度性質(zhì)分析

描述研究區(qū)各站點(diǎn)干旱的標(biāo)度性質(zhì)步驟如下：1）將以上計(jì)算得到的各站點(diǎn)SPI序列，去除正值后得到新的干旱序列。2）以不同的時(shí)間尺度s（s＝4i，i＝1，2，…，8）為單位，在整個(gè)統(tǒng)計(jì)時(shí)間域上劃分互不重疊的N個(gè)時(shí)段，計(jì)算各個(gè)時(shí)段內(nèi)干旱月數(shù)并計(jì)算其q階矩，將計(jì)算結(jié)果代入公式（3）得到統(tǒng)計(jì)矩K（s，q）。3）將各站點(diǎn)統(tǒng)計(jì)矩 K（s，q）和不同階數(shù)s繪制在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，確定不同階數(shù)下階矩與尺度曲線的斜率；當(dāng)階數(shù)為q時(shí)，根據(jù)公式（3）可以看出斜率的大小對(duì)應(yīng)標(biāo)度指數(shù)τ（q）；用β－對(duì)數(shù)正態(tài)串級(jí)模型擬合系列的q和τ（q）點(diǎn)，并用相關(guān)系數(shù)的平方來衡量擬合效果。4）根據(jù)擬合最好的曲線，確定β和σ2。

由圖2可以看出，在不同階距下，統(tǒng)計(jì)矩K（s，q）與尺度s在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)內(nèi)呈線性關(guān)系，說明各氣象站點(diǎn)氣象干旱具有標(biāo)度性質(zhì)。根據(jù)不同階數(shù)q對(duì)應(yīng)的斜率，可以計(jì)算出一系列的τ（q）－q散點(diǎn)，將各離散點(diǎn)繪制在平面坐標(biāo)內(nèi)，見圖3中圓點(diǎn)。根據(jù)散點(diǎn)分布可以看出τ（q）與q不是一條直線。因此，各站點(diǎn)干旱的發(fā)生在時(shí)間尺度上可以視為具有多標(biāo)度分形特征。將β－對(duì)數(shù)正態(tài)串級(jí)模型計(jì)算的曲線與觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。選取回歸系數(shù)（R）平方最大時(shí)對(duì)應(yīng)的β及σ2作為最終計(jì)算結(jié)果（表4）。

圖2 各站點(diǎn)0～4階統(tǒng)計(jì)矩與尺度的雙對(duì)數(shù)關(guān)系圖Fig.2 Double－logarithmic relationship diagram with statistical moments of 0－4order with the scale in all stations

圖3 各站點(diǎn)標(biāo)度指數(shù)與階數(shù)的擬合曲線Fig.3 Fitting curve with the scaling exponent and the order in all stations

從表4看出，σ2范圍從0.056 9到0.077 4，β范圍從0.016 4到0.034 5。σ2在各站點(diǎn)均不為0，這說明研究區(qū)內(nèi)各站點(diǎn)的干旱具有多標(biāo)度分形特征。依據(jù)參數(shù)σ2的大小，各站點(diǎn)多標(biāo)度分形特征的強(qiáng)弱排序?yàn)椋洪L(zhǎng)嶺＜通榆＜白城＜前郭＜扶余＜乾安。其中，乾安多標(biāo)度分形特征最強(qiáng)，長(zhǎng)嶺多標(biāo)度分形最弱。

表4 各站點(diǎn)多標(biāo)度分形參數(shù)的擬合結(jié)果Table4 Fitting results of multifractal parameters in all stations

旱澇的發(fā)生在時(shí)間上表現(xiàn)為不連續(xù)的點(diǎn)過程，它不是簡(jiǎn)單的直線，亦非可微分的曲線，而且從周期的角度出發(fā)，不同時(shí)間跨度的周期相互嵌套，長(zhǎng)周期中包含短周期，短周期中又有更短的周期［10］。干旱的發(fā)生存在多時(shí)間尺度特征。在所受影響因素越復(fù)雜的地區(qū)，其干旱的多時(shí)間尺度越明顯，分布的層次結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，相應(yīng)的多標(biāo)度分形特征就越明顯［20］。因此，研究區(qū)不同站點(diǎn)多標(biāo)度分形特征在空間上的強(qiáng)弱不同，反映了各地區(qū)不同尺度或者周期氣候條件對(duì)干旱在時(shí)間上的影響。

根據(jù)前人研究結(jié)果，干旱的物理成因不僅與大氣圈有關(guān)，而且與水圈、巖石圈、生物圈、冰雪圈有關(guān)，其中大氣圈和水圈關(guān)系最為密切；其次與陸面過程有關(guān)，生物過程影響最?。?1］?？紤]研究區(qū)6個(gè)站點(diǎn)所處的大氣候條件相似，海拔高程也相差不大，因此，引起干旱多重分形特征不同的主要因素為海洋和陸地的熱狀況的影響，如具有一定周期特征的厄爾尼諾、南方濤動(dòng)等中尺度氣候活動(dòng)的影響。對(duì)于干旱趨向于單標(biāo)度特征的站點(diǎn)，干旱的發(fā)生受這種中尺度氣候的影響較為強(qiáng)烈和持續(xù)，表現(xiàn)出顯著的周期性；相反，對(duì)于趨向多標(biāo)度特征的站點(diǎn)，干旱的發(fā)生受這種氣候的影響相對(duì)較弱，從而導(dǎo)致干旱沒有顯著的周期。顯然，研究區(qū)內(nèi)扶余和乾安干旱的多標(biāo)度分形特征更加明顯，長(zhǎng)嶺和通榆則趨向于單標(biāo)度分形。趨向于單標(biāo)度分形也就意味著干旱的發(fā)生具有一致性，隨尺度不同，干旱發(fā)生有規(guī)律的變動(dòng)。多標(biāo)度性質(zhì)越明顯意味著干旱的發(fā)生受到的影響因素比較復(fù)雜，干旱發(fā)生的周期性不斷發(fā)生變化。

干旱的多重分形特征分析可為干旱的研究提供新的途徑，其分析結(jié)果有助于區(qū)分不同地區(qū)干旱特征在空間尺度上的差異性，為干旱預(yù)測(cè)模型的參數(shù)推斷提供參考。同時(shí)，分析結(jié)果還能夠指導(dǎo)不同地區(qū)干旱的分維值計(jì)算，評(píng)價(jià)哪些地區(qū)需要用多個(gè)分維值來反映干旱的分形特征。

4 結(jié)論

1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)（SPI）的計(jì)算過程了解到，利用SPI作為干旱指數(shù)具有計(jì)算簡(jiǎn)單、資料容易獲取、計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定的特點(diǎn)。通過對(duì)研究區(qū)內(nèi)6個(gè)氣象站點(diǎn)1957年1月-2010年10月標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)的計(jì)算和分析表明，乾安縣發(fā)生的嚴(yán)重干旱月數(shù)最多，通榆和長(zhǎng)嶺發(fā)生極端干旱的月數(shù)最多。

2）吉林西部氣象干旱的發(fā)生在時(shí)間尺度上均具有多標(biāo)度分形特征，但在不同站點(diǎn)多標(biāo)度分形的強(qiáng)度不同，表現(xiàn)出一定的空間差異性。其強(qiáng)弱次序?yàn)椋洪L(zhǎng)嶺＜通榆＜白城＜前郭＜扶余＜乾安。

3）由于多標(biāo)度分形能夠反映時(shí)間序列的奇異性，越復(fù)雜的事物，分布的層次結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，其多標(biāo)度分形特征就越明顯。研究區(qū)不同站點(diǎn)多標(biāo)度分形特征在空間上的強(qiáng)弱不同，反映了各地區(qū)不同尺度或者周期氣候條件對(duì)干旱在時(shí)間上的影響。越趨向于多標(biāo)度說明其干旱發(fā)生的規(guī)律性越弱，越趨向于單標(biāo)度說明其干旱發(fā)生的規(guī)律性越強(qiáng)。

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