Abel積分的構造研究

王 沖

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 166400)

0 引言

1900年，著名數(shù)學家D.Hilbert 在第二屆國際數(shù)學家大會上提出了二十三個數(shù)學問題[1]，其中第十六個問題的后半部分是：平面n次多項式系統(tǒng)

最多有幾個極限環(huán)？他們的相對位置如何？這里Pn(x,y),Qn(x,y)是次數(shù)不高于n的實系數(shù)多項式，x,y是實變量，此問題一直沒有解決。

1977年V.I.Arnod提出了弱化的Hilbert問題。給出了一個解決此問題的步驟。考慮平面多項式可積系統(tǒng)的擾動系統(tǒng)

對于此類弱化的Hilbert第16問題，等價于研究Abel積分的零點的個數(shù)，我們將利用格林公式把Abel積分轉(zhuǎn)化為二重積分，在轉(zhuǎn)化為定積分，得到Abel積分I(h)的有限生成元表達式，即I(h)=(αh+β)I0(h)+γI2(h)。 Abel積分的構造是此問題的關鍵，因此有必要加以研究。

1 Abel積分的構造方法

考慮平面多項式可積系統(tǒng)的擾動系統(tǒng)

其中max{degX,degY}≤m,max{degP,degQ}≤n,δ是充分小的參數(shù)。假設當δ=0時，系統(tǒng)(1)的積分因子為M(x,y)，具有首次積分為H(x,y)。設Γh為代數(shù)曲線H(x,y)=h的閉分支，∑?R是Γh存在的最大區(qū)間。

對于方程和Γh的表達式,有

最后的結果為

運用此方法來定義Abel積分是一種很有效的方法。

2 對一類可積非Hamilton系統(tǒng)Abel積分的構造

考慮如下的二次擾動系統(tǒng)

(1)

當ε=0時，式(1)為可積非Hamilton系統(tǒng)，積分因子為M(x,y)=x-4，首次積分為

(2)

則系統(tǒng)(1)的Abel積分為：

=αhI-2+βI-3+δI-4+γI-5

其中

即

[參考文獻]

[1] 趙育林.三次Hamilton向量場的Abel積分[D].北京:北京大學博士學位論文，1998.

[2] 宋燕.一平面可積三次非Hamilton系統(tǒng)的Abel積分[J].數(shù)學進展,2002,31(2)163-168.

[3] 張芷芬.微分方程定性理論[M].北京:科學出版社,1985.

[4] 王沖.拋物線邊界二次系統(tǒng)單中心環(huán)域的Poincaré分支[J].大慶師范學院學報，2008,28(5)56-60.

[5] D.Iliev, Chengzhi Li，Jiang Yu.Bifurcations of Limit Cycles From Quadratic Non-Hamiltonian Systems with Two Centers and Two Unbounded Heteroclinic Loops[C]. Research Report,2004:36.