基于矩陣求逆談高等代數(shù)中的計(jì)算及MATLAB實(shí)現(xiàn)

魏鳳英

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 350116)

基于矩陣求逆談高等代數(shù)中的計(jì)算及MATLAB實(shí)現(xiàn)

魏鳳英

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 350116)

以矩陣求逆為例，淺談了高等代數(shù)中MATLAB輔助教學(xué)的可行性.MATLAB輔助教學(xué)使得一些較為復(fù)雜、計(jì)算量大的題目在幾十秒內(nèi)就可以得到答案，對(duì)比傳統(tǒng)的計(jì)算方法，MATLAB介入教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，培養(yǎng)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生在大學(xué)的動(dòng)手能力和科研實(shí)踐能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)課的興趣。

MATLAB;高等代數(shù);矩陣的逆;計(jì)算

0 引言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的主干課。高等代數(shù)所涉及的基本理論和常用方法，是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ);高等代數(shù)的教與學(xué)的過程也是逐步建立學(xué)生的抽象概括的能力、邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算能力以及分析問題和解決問題的能力的過程。由于高等代數(shù)課堂教學(xué)中學(xué)生“主體”地位遠(yuǎn)低于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的“主體”地位，部分學(xué)生不適應(yīng)高等代數(shù)課堂教學(xué);而高等代數(shù)的課堂教學(xué)知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容廣而抽象、計(jì)算量大，主要是以點(diǎn)帶面的講授與學(xué)習(xí)。因此，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)為其枯燥乏味、抽象難懂，對(duì)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)缺乏興趣，甚至有一小部分學(xué)生存在畏懼高等代數(shù)課的現(xiàn)象。針對(duì)高等代數(shù)這門課自身的特點(diǎn)，以及當(dāng)代學(xué)生對(duì)實(shí)用知識(shí)認(rèn)同的現(xiàn)象，筆者認(rèn)為:高等代數(shù)的教學(xué)過程有必要融合MATLAB進(jìn)行輔助教學(xué)。實(shí)際上，MATLAB輔助教學(xué)并非“喧賓奪主”，而是一個(gè)有益的補(bǔ)充，一方面可以開闊學(xué)生解決問題的視野，另一方面可以提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力。

學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以已有的知識(shí)、能力和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程［4］。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣求逆的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，利用定義中較為容易地掌握了待定系數(shù)法，這是一類連接初高中知識(shí)點(diǎn)的初等解題方法;隨著高等代數(shù)中行列式的引入、伴隨矩陣、初等變換的介紹，學(xué)生會(huì)逐次學(xué)習(xí)伴隨矩陣法、初等行變換法(或初等列變換法)等矩陣求逆的方法;隨著矩陣階數(shù)的增加，矩陣求逆是一個(gè)更復(fù)雜、機(jī)械式的計(jì)算，有部分學(xué)生會(huì)在課堂上問教師:有沒有一些程序或者算法能夠更快的解決問題呢?需要用什么軟件，怎么去做呢?此時(shí)，教師引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)MATLAB、利用MATLAB中有關(guān)命令解決相關(guān)問題。這樣的做法，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生可以主動(dòng)爭(zhēng)取“主體”地位;又能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力。本文僅以矩陣求逆這一類計(jì)算題的求解，來(lái)說(shuō)明高等代數(shù)課程中傳統(tǒng)教學(xué)法結(jié)合MATLAB輔助教學(xué)的可行性與益處。

1 常見求矩陣逆的方法

在高等代數(shù)中，與計(jì)算關(guān)聯(lián)的內(nèi)容主要涉及:求n階行列式的值，求矩陣的秩、逆及轉(zhuǎn)置，矩陣的加減、乘與乘方運(yùn)算，矩陣的分解，求矩陣的特征值與特征向量，求線性方程組的基礎(chǔ)解系等等。

在實(shí)際課堂教學(xué)環(huán)境中，教師會(huì)在不同的章節(jié)涉及以下幾種矩陣求逆的方法:

(1)待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是沿襲中學(xué)的思維方式來(lái)求解矩陣的逆。對(duì)已知的n階方陣A，利用公式AB=BA=E(B是待求的n階矩陣)，將所求矩陣B中的所有元素都進(jìn)行待定，將矩陣求逆的問題轉(zhuǎn)化為多元線性方程組的求解問題。當(dāng)矩陣的階比較高的時(shí)候，待定系數(shù)法應(yīng)用起來(lái)既耗時(shí)又費(fèi)力，主要表現(xiàn)在線性方程組的系數(shù)、未知量以及等號(hào)都要逐次書寫，不但書寫量較大，計(jì)算量也相當(dāng)大，稍有不慎就會(huì)導(dǎo)致求解錯(cuò)誤;同時(shí)，隨著矩陣的階增大，計(jì)算的難度增加、準(zhǔn)確率降低。

待定系數(shù)法是求解矩陣的逆這類問題的一種初級(jí)方法，在實(shí)際操作中，大學(xué)一年級(jí)學(xué)生最容易聯(lián)想到的矩陣求逆的方法恰好就是待定系數(shù)法，這與高等代數(shù)這門課所倡導(dǎo)的“用高等方法解決問題、化簡(jiǎn)問題，從而求解”相背離。實(shí)際上，對(duì)于高階的矩陣求逆，問題的解決并不像學(xué)生想象的那樣簡(jiǎn)單容易，因此，在高等代數(shù)的教學(xué)中，舉例一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明待定系數(shù)法求解矩陣的逆是可行的即可，不必細(xì)究。

(2)伴隨矩陣法

(3)初等變換法

初等變換法包括初等行變換法和初等列變換法。

2 運(yùn)用MATLAB求矩陣的逆

MATLAB是Matrix Laboratory的縮寫，意思是矩陣實(shí)驗(yàn)室，它是20世紀(jì)60年代由美國(guó)Math works公司開發(fā)研制的軟件系統(tǒng)，它具有書寫簡(jiǎn)捷、功能強(qiáng)大、包含內(nèi)容豐富等優(yōu)點(diǎn)。近些年，MATLAB成為各高校在講授數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、常微分方程、優(yōu)化設(shè)計(jì)等相關(guān)課程時(shí)的基本輔助教學(xué)工具。

在高等代數(shù)的教學(xué)中，如何引入MATLAB軟件輔助教學(xué)?輔助教學(xué)是否會(huì)占用大量的課堂授課時(shí)間?是否會(huì)便于學(xué)生掌握?筆者認(rèn)為:教師在課堂授課的同時(shí)，結(jié)合授課內(nèi)容以及知識(shí)點(diǎn)，教師在課堂上為學(xué)生提供MATLAB的基本輸入步驟，講解基本調(diào)用命令并演示操作過程即可;同時(shí)，教師選擇適當(dāng)數(shù)量的題目，讓學(xué)生課后去實(shí)現(xiàn)課堂講授的調(diào)用命令，調(diào)動(dòng)學(xué)生實(shí)踐的積極性，加強(qiáng)動(dòng)手能力;當(dāng)然，有課時(shí)條件與硬件條件的院校，結(jié)合開課院系對(duì)高等代數(shù)課程的要求，可以適當(dāng)?shù)亻_展若干節(jié)的上機(jī)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)，以便強(qiáng)化相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

本文以矩陣求逆為例，闡述高等代數(shù)課程中MATLAB輔助教學(xué)的可行性。在講授高等代數(shù)這門課的時(shí)候，教師通常是在不同的章節(jié)分別講授伴隨矩陣法、初等變換法、待定系數(shù)法等矩陣求逆的方法，為了便于學(xué)生掌握歸納，教師先將矩陣求逆這一類問題進(jìn)行小結(jié)，小結(jié)結(jié)束后，可以適時(shí)地提出“用MATLAB求解矩陣的逆”這一方法，此時(shí)，教師需要2分鐘左右講解MATLAB的輸入步驟并演示過程:

第一步，矩陣的輸入是按照行元素從左到右的順序，行是從上至下依次輸入;

第二步，不同行元素之間用分號(hào)分隔，并用一對(duì)方括號(hào)將矩陣的所有元素都放入其中，輸入結(jié)束用分號(hào)標(biāo)示;

第三步，矩陣的求逆調(diào)用命令inv(A);

第四步，執(zhí)行后屏幕顯示就是所求矩陣的逆。

教師演示完畢，立即給學(xué)生一個(gè)適當(dāng)?shù)念}目，讓學(xué)生思考多種不同方法求解矩陣的逆，并體會(huì)求解過程中的差異:

法一:伴隨矩陣法，需計(jì)算九個(gè)二級(jí)子式和一個(gè)三級(jí)行列式，一共是十個(gè)行列式的值;

法二:初等變換法，需多次運(yùn)用初等變換，其中涉及數(shù)字之間的運(yùn)算較多，計(jì)算量相對(duì)較大;

法三:待定系數(shù)法，需要計(jì)算一個(gè)九元一次方程組，其計(jì)算量更大，所耗時(shí)間最多;

法四:MATLAB求解法，只需輸入A=［223;1-10;-121］;以及調(diào)用命令A(yù)-1=inv(A)，執(zhí)行后屏幕顯示

MATLAB求解法從輸入到輸出，短短幾十秒的時(shí)間就可以得到答案，這無(wú)疑增強(qiáng)了學(xué)生躍躍欲試的想法，學(xué)生這種“蠢蠢欲動(dòng)”的感覺正是拉近學(xué)生與高等代數(shù)距離的好時(shí)機(jī)。教師可以適時(shí)地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生眼中抽象枯燥的高等代數(shù)“搖身一變”變成可以看得見、摸得著的內(nèi)容，并且鼓勵(lì)學(xué)生:只要肯于嘗試，肯于動(dòng)手操作，高等代數(shù)是可以“近距離接觸”的。

3 MATLAB在高等代數(shù)中的應(yīng)用

在學(xué)生多次積累了實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)以后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，MATLAB軟件可以解決高等代數(shù)中大部分的計(jì)算題目，例如:多項(xiàng)式求根，行列式求值，線性方程組求解，尋找矩陣的特征值和特征向量等等諸多問題都可以利用計(jì)算機(jī)解決。當(dāng)學(xué)生利用MATLAB軟件求解計(jì)算時(shí)，他們已經(jīng)有意識(shí)地復(fù)習(xí)了所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并能從實(shí)際操作過程中體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)高等代數(shù)的便捷，這與以往繁瑣的計(jì)算大相徑庭，消除了學(xué)生害怕學(xué)習(xí)枯燥高等代數(shù)的心理，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。

4 結(jié)語(yǔ)

在新形勢(shì)下，根據(jù)高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)匾隡ATLAB輔助教學(xué)，不僅可以輔助現(xiàn)有的板書加幻燈片的教學(xué)模式，還可以不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣，逐步將中學(xué)階段固有的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維方式盡快轉(zhuǎn)變?yōu)榇髮W(xué)階段的抽象思維能力和邏輯推理能力，將中學(xué)階段的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為大學(xué)期間的主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生在大學(xué)階段的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐能力。

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù).3版.［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］王勇.提高學(xué)生學(xué)習(xí)《高等代數(shù)》效率的一些舉措［J］.廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，14(3):102-105.

［3］郭志軍.論高等數(shù)學(xué)中計(jì)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)［J］.中州大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24(4):116-118.

［4］劉崢嶸.基于建構(gòu)主義的《高等代數(shù)》教學(xué)策略［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，27(5):258-259.

Study on the Computation and MATLAB Realization in Higher Algebra Based on Matrix Inversion

WEI Feng-ying
(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350116，China)

Taking matrix inversion as an example，this paper discusses the feasibility of MATLAB for assistant teaching in higher algebra，which makes the complex and computational titles get answers in a few seconds by MATLAB assistant teaching.Comparing with the traditional teaching methods，MATLAB assistant teaching can motivate students’interest and initiative，cultivate their autonomous learning ability，improve their practical ability and scientific research ability in universities and increase their interest in learning mathematics.

MATLAB;higher algebra;inversion of matrix;computation

O151

A

1009-3907(2013)10-1279-03

2013-08-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11201075)，福建省自然科學(xué)基金(No.2010J01005)

魏鳳英(1976-)，女，吉林四平人，副教授，博士，主要從事隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用方面的研究。

責(zé)任編輯:

程艷艷