基于Taubin擬合方法的眼睛定位算法

金凌晨，楊定禮

(1．南京大學(xué)金陵學(xué)院，南京210089;2．淮陰工學(xué)院電子與電氣工程學(xué)院，江蘇淮安223003)

0 引言

在機(jī)器視覺(jué)中，如:表情的理解、人機(jī)交互、身份識(shí)別、人臉檢測(cè)等，對(duì)眼睛定位及特征的提取是非常重要的。目前，主要有兩種基本的眼睛定位方法:基于特征點(diǎn)的算法［1，2］和基于模板匹配的算法［3］?；谔卣鼽c(diǎn)的方法是利用特征點(diǎn)構(gòu)造出眼睛輪廓，它的特點(diǎn)是魯棒性強(qiáng)、速度快，缺點(diǎn)是精度較低?；谀０宓姆椒瓤梢缘玫窖劬Φ男螤钚畔?，又可以得到位置信息，但其參數(shù)選擇比較復(fù)雜，速度比較慢。

為了進(jìn)一步提高基于特征點(diǎn)的方法的準(zhǔn)確性，本文提出了一種新的眼睛定位方法，首先用文獻(xiàn)［4］的方法檢測(cè)到人臉，然后得到眼瞼的大概區(qū)域，采用Sobel算子對(duì)含有眼睛的圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，接著通過(guò)尋找具有最大邊緣像素點(diǎn)的聯(lián)通區(qū)域，再用Taubin擬合與RHT變換相結(jié)合的方法獲得眼瞼的橢圓參數(shù)，最后把擬合橢圓的中心點(diǎn)作為眼瞼中心點(diǎn)，將擬合的橢圓作為眼瞼的邊緣，從而提取出眼睛定位信息。

1 用Taubin擬合橢圓

尋找橢圓的方法主要有兩類(lèi):投票聚類(lèi)算法和最優(yōu)算法。Hough變換屬于第一類(lèi)，Taubin擬合方法屬于第二類(lèi)算法，該算法是采用近似均方距離度量法。Taubin使用的目標(biāo)函數(shù)［5］為:

其中Dx和Dy分別為D對(duì)x和y的偏微分。這樣問(wèn)題就變成，在約束‖Dxa‖2+‖Dya‖2=1下，求‖Da‖2的最小值，此時(shí)使度量距離最小的參數(shù)向量amin，便應(yīng)該是廣義特征系統(tǒng):

對(duì)應(yīng)著最小特征值的特征向量。引入拉格朗日方程:

當(dāng)滿(mǎn)足▽aE=0時(shí)，即:

E此時(shí)取得最小值，可以將上述方程改寫(xiě)為:

其中，n為參數(shù)方程的個(gè)數(shù)。該算法是以近似均方距離平方和最小作為擬合的數(shù)學(xué)原則。

橢圓的平面二次曲線(xiàn)的一般方程［6］可以用公式(6)來(lái)表示

其中，B= ［a，b，c，d，e，f］T，X= ［x2，xy，y2，x，y，1］，F(xiàn)(B，Xi)為點(diǎn)［xi，yi］到二次曲線(xiàn) F(B，X)的代數(shù)距離。如果限定BTCB=1，則擬合后的曲線(xiàn)為橢圓，求點(diǎn)到二次曲線(xiàn)F(B，X)=0的代數(shù)距離平方和最小，即求為最小，這里N為擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如果令:

直接用 Taubin 橢圓問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為在 BTCB=1 條件下，求系數(shù)［a，b，c，d，e，f］，使得 ‖DB‖2值最小。引入Lagrange算子可得同解方程組為:

用廣義特征值和廣義特征向量的方法可以求得方程組的解為(λi，ui)，則對(duì)于任意的αi∈R+，(λi，αiui)也是方程組的解。所以(λi，αiui)也必須滿(mǎn)足，則:

對(duì)于本文中圖像數(shù)據(jù)，DTD中的元素都是正數(shù)，因此，分母對(duì)于所有的ui都是正數(shù)，因此式(10)中平方根存在的條件是λi＞0，因此公式(10)的解必須有一個(gè)正的特征值。當(dāng)廣義特征值λi＞0和對(duì)應(yīng)的廣義特征向量ui作為橢圓擬合的解時(shí)，則Bi=αiui也是其解。

由上式得到橢圓方程的6個(gè)參數(shù)以后，將二次曲線(xiàn)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0進(jìn)行轉(zhuǎn)軸與移軸以后可以得到:

可以得到橢圓的傾角為:

橢圓中心在旋轉(zhuǎn)系里的中心坐標(biāo)為:

橢圓中心在圖像中的坐標(biāo)為:

橢圓的長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)度為:

其中C1為中間變量。

2 用改進(jìn)的隨機(jī)Hough變換確定橢圓參數(shù)來(lái)定位眼睛

從前面的擬合已經(jīng)得到橢圓中心的坐標(biāo)xc與yc、橢圓的長(zhǎng)軸M與短軸N以及傾角。但是用上面的擬合的方程，要受到所選的點(diǎn)的影響，如果所選的點(diǎn)的曲率較低，如短軸附近的點(diǎn)，則擬合的結(jié)果與真值的誤差較大，所以本文又引入了Hough變換。由于傳統(tǒng)的Hough變換占用內(nèi)存空間較大，同時(shí)，提取的參數(shù)受參數(shù)空間的量化間隔制約，所以采用隨機(jī)Hough變換(RHT)，在圖像空間中，選取不共線(xiàn)的五個(gè)點(diǎn)映射成參數(shù)空間的一個(gè)點(diǎn)，從而避免了傳統(tǒng)Hough變換的巨大的計(jì)算量，同時(shí)RHT具有參數(shù)空間無(wú)限大，參數(shù)精度任意高的優(yōu)點(diǎn)。雖然RHT只對(duì)多到一映射所得到的參數(shù)分配單元進(jìn)行累積，但在處理復(fù)雜圖像時(shí)，由于隨機(jī)采樣仍引入了大量的無(wú)效單元，從而造成大量無(wú)效累積。因此本文提出改進(jìn)的隨機(jī)Hough變換來(lái)獲取橢圓參數(shù)［7］。

為了防止所選的點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，或者靠得很近，本文提出設(shè)置|x-xother|＞2或者|y-yother|＞2，并設(shè)k如果k=k，則舍去這個(gè)點(diǎn)，重新選擇其他的點(diǎn)。x為當(dāng)前的像素點(diǎn)的橫坐1標(biāo)，xother為前面所選的任意一個(gè)像素的橫坐標(biāo)，y為當(dāng)前的像素點(diǎn)的縱坐標(biāo)，yother為前面所選的任意一個(gè)像素的橫坐標(biāo)。

為了減少計(jì)算量，首先采用Sobel算子提取邊緣時(shí)，參數(shù)盡量設(shè)置高一點(diǎn)，來(lái)提取明顯的邊緣，且邊緣寬帶不超過(guò)1個(gè)像素寬度。同時(shí)通過(guò)尋找具有最大邊緣像素點(diǎn)的聯(lián)通區(qū)域，得到眼睛的真輪廓線(xiàn)，并且只選取那些比較長(zhǎng)且不間斷的邊緣像素，分別如圖1、2所示。

圖1 左右眼邊緣圖像

圖2 處理后左右眼邊緣圖像

然后使用八領(lǐng)域搜索的方法，將邊緣點(diǎn)以順時(shí)針的順序依次存儲(chǔ)于邊緣鏈表中，同時(shí)剔除短小的邊緣分叉，降低了后面的計(jì)算量，但是不可避免地會(huì)將一些有用的邊緣短線(xiàn)段被剔除了。由于大部分連續(xù)邊緣被保存下來(lái)，所以并不影響后續(xù)的邊緣擬合。

運(yùn)用改進(jìn)的RHT變換得到橢圓參數(shù)的步驟為:

(1)將上面處理的邊緣像素點(diǎn)按照順序編號(hào)，然后根據(jù)上面的原則，隨機(jī)取5個(gè)點(diǎn)，并用Taubin擬合橢圓法，得到橢圓中心的坐標(biāo)xc與yc，橢圓的長(zhǎng)軸M與短軸N，以及傾角theta;

(2)將得到的參數(shù)放在矩陣a［N］［6］里，其中a［N］［1］存放xc，a［N］［2］存放yc，a［N］［3］存放橢圓長(zhǎng)軸 M，a［N］［4］存放橢圓短軸 N，a［N］［5］存放橢圓傾角 theta;

(3)運(yùn)用所得到的參數(shù)對(duì)所有邊緣像素點(diǎn)進(jìn)行投票，投票的結(jié)果存放在a［N］［6］中;

(4)重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)的操作30次，選取最大的a［N］［6］中的對(duì)應(yīng)的參數(shù)作為擬合的橢圓參數(shù)。

運(yùn)用改進(jìn)的RHT變換算法擬合的橢圓如圖3、4所示。

圖3 左眼擬合后的橢圓

圖4 右眼擬合后的橢圓

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)中的軟件為 MATLAB7．11．0(R2010b)，PC 機(jī)為雙核 Pentium(R)4 CPU 3．06G，3．07G，內(nèi)存為2．25G。本實(shí)驗(yàn)第一組圖像為從ORL人臉庫(kù)中選取的圖像，第二組圖像為從YALE人臉庫(kù)中選取的圖像，第三組圖像為從CMU+MIT人臉庫(kù)中選取的圖像。

第一種方法采用直接最小二乘法擬合方法(DLS)與Hough變換相結(jié)合的方法對(duì)三組圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn);第二種方法采用Taubin擬合方法與RHT變換相結(jié)合的算法對(duì)三組圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別見(jiàn)表1與表2。

表1 兩種方法定位眼睛的準(zhǔn)確率

從表1中可以看出，運(yùn)用Taubin擬合方法與RHT變換相結(jié)合的算法與運(yùn)用直接最小二乘法擬合方法(DLS)與Hough變換相結(jié)合的算法相比，前者對(duì)眼睛的定位的準(zhǔn)確率高，檢測(cè)時(shí)間短。

表2 兩種方法定位眼睛的檢測(cè)時(shí)間

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先用Sobel算子對(duì)含有眼睛的圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，然后通過(guò)尋找具有最大邊緣像素點(diǎn)的聯(lián)通區(qū)域，再用Taubin擬合與RHT變換相結(jié)合的方法獲得橢圓的參數(shù)，最后把擬合橢圓的中心點(diǎn)作為眼瞼中心點(diǎn)，擬合的橢圓作為眼瞼的邊緣，從而提取出眼睛定位信息。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文提出的算法比運(yùn)用直接最小二乘法擬合方法(DLS)與Hough變換相結(jié)合的算法對(duì)眼睛定位的準(zhǔn)確率高，檢測(cè)時(shí)間短。

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