均值與位置平均數(shù)及分位數(shù)的關(guān)系

◇謝家發(fā)

在描述一組數(shù)據(jù)時(shí)我們常常用一些特征量來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)或典型水平。這些特征量代表這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況，從而反映數(shù)據(jù)資料的典型水平。例如：要對(duì)某學(xué)院2012屆會(huì)計(jì)與統(tǒng)計(jì)核算專業(yè)所有畢業(yè)生各科成績(jī)的集中趨勢(shì)進(jìn)行分析比較時(shí)，顯然不能是各個(gè)畢業(yè)生之間的比較，而必須先計(jì)算出一個(gè)（或幾個(gè)）代表本屆該專業(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)水平的統(tǒng)計(jì)量，然后再對(duì)各科成績(jī)的集中趨勢(shì)進(jìn)行比較分析。因?yàn)檫@些統(tǒng)計(jì)量既是表明本屆該專業(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)中心點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)量，又是表明本屆該專業(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)最中間一點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)量，還是表明本屆該專業(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)出現(xiàn)最多的統(tǒng)計(jì)量，更是表明本屆該專業(yè)畢業(yè)生成績(jī)分布范圍的統(tǒng)計(jì)量。

這些統(tǒng)計(jì)量之所以能代表本屆該專業(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)進(jìn)行相互比較，是因?yàn)樗鼈儚牟煌嵌榷攘苛吮緦迷搶I(yè)畢業(yè)生各科成績(jī)集中于哪一點(diǎn)或哪些范圍，因而通常稱為集中趨勢(shì)的度量。常用度量集中趨勢(shì)的特征值有均值、中位數(shù)、眾數(shù)和分位數(shù)等。均值又叫算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)是總體標(biāo)志總量與總體單位總數(shù)之比值，是一種表示集中趨勢(shì)最常用的統(tǒng)計(jì)量。位置平均數(shù)有眾數(shù)和中位數(shù)，四分位數(shù)有下四分位數(shù)和上四分位數(shù)。現(xiàn)對(duì)某學(xué)院2012屆會(huì)計(jì)與統(tǒng)計(jì)核算專業(yè)所有畢業(yè)生各科成績(jī)分別計(jì)算了算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)和上四分位數(shù)等，其結(jié)果如下表所示。

特征值科目 大學(xué)英語(yǔ)最小值下四分位數(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)上四分位數(shù)最大值34.0 71.0 77.4 79.0 85.0 85.0 96.0大學(xué)語(yǔ)文1.5 85.0 88.4 88.0 90.0 92.0 98.0高等數(shù)學(xué)33.0 76.0 83.2 88.0 94.0 95.0 100.0基礎(chǔ)會(huì)計(jì)26.0 76.0 82.8 86.0 91.0 92.0 100.0體育（一）70.0 82.0 84.8 84.0 80.0 87.0 99.0計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)65.0 82.0 86.7 89.0 91.0 92.0 100.0體育（二）1.0 83.0 86.4 86.0 80.0 90.0 100.0統(tǒng)計(jì)學(xué)原理33.0 73.0 80.7 84.0 88.0 90.0 100.0財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)60.0 82.0 87.6 91.0 96.0 96.0 100.0企業(yè)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)46.0 77.0 84.5 87.0 92.0 93.0 100.0

續(xù)表

如果我們將以上這十九門課程的下四分位數(shù)、最大值、最小值、中位數(shù)和上四分位數(shù)五個(gè)特征值繪制成箱線圖，結(jié)果如下圖所示。

從圖中不難看出各科成績(jī)分布的均勻程度、集中趨勢(shì)、分散程度等特點(diǎn)。總的來(lái)看，各科成績(jī)的上四分位數(shù)與其對(duì)應(yīng)的極大值之間距離都比較近，差異不大，說(shuō)明有25%畢業(yè)生成績(jī)分布在這個(gè)小范圍內(nèi)；而各科成績(jī)的下四分位數(shù)與其對(duì)應(yīng)的極小值之間的距離卻遠(yuǎn)近不一，差別很明顯，說(shuō)明還有25%畢業(yè)生成績(jī)分布在這個(gè)大小不等的范圍內(nèi)。但經(jīng)仔細(xì)觀察和分析，不難發(fā)現(xiàn)各科成績(jī)分布存在以下三個(gè)特點(diǎn)：第一，體育（一）、收銀與出納技術(shù)、稅法等課程的箱子最短，說(shuō)明這些課程成績(jī)的四分位差小，在上下四分位數(shù)之間云集了50%畢業(yè)生的成績(jī)，同時(shí)上四分位數(shù)與極大值之間的距離以及下四分位數(shù)與極小值之間的距離也都很短，這也說(shuō)明另外50%畢業(yè)生的成績(jī)離中位數(shù)距離也不遠(yuǎn)，對(duì)整體均勻程度、集中趨勢(shì)影響不大，所以單科成績(jī)分布集中、均勻程度高，集中趨勢(shì)特別明顯；第二，相比較之下高等數(shù)學(xué)、會(huì)計(jì)電算化和基礎(chǔ)會(huì)計(jì)等課程的箱子最長(zhǎng)，說(shuō)明這些課程成績(jī)的四分位差大，在上下四分位數(shù)之間包括了50%畢業(yè)生的成績(jī)，同時(shí)下四分位數(shù)與極小值之間的距離很大，這也說(shuō)明另外25%畢業(yè)生的成績(jī)離中位數(shù)距離很遠(yuǎn)，對(duì)整體均勻程度、集中趨勢(shì)影響較大，所以單科成績(jī)分布分散，均勻程度低，離中趨勢(shì)十分明顯；第三，還有大學(xué)語(yǔ)文、體育（二）和會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)等課程的箱子雖然也很小，并且上四分位數(shù)與極大值之間的距離也很近，但是下四分位數(shù)與極小值之間的距離卻很遠(yuǎn)，說(shuō)明還有25%畢業(yè)生成績(jī)分散在這個(gè)大范圍之內(nèi)，這就影響了單科成績(jī)整體的均勻程度和集中趨勢(shì)，自然這些課程均值的代表性也就遠(yuǎn)不如其它各科成績(jī)了。

當(dāng)單科成績(jī)完全處于對(duì)稱分布時(shí)，那么根據(jù)該科成績(jī)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者相等，即=Me=M0。這樣上四分位數(shù)與中位數(shù)、均值或眾數(shù)之差也就等于中位數(shù)與下四分位數(shù)、均值或眾數(shù)之差，即 Q3-Me（或、M0）=Me-Q1（或、M0）。但是，當(dāng)單科成績(jī)非完全處于對(duì)稱分布，而是處于右偏或左偏分布時(shí)，那么據(jù)此計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)和上四分位數(shù)之間卻存在著各種不同的數(shù)量關(guān)系。比如，從表中對(duì)19門課程所分別計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)和上四分位數(shù)看，其中依據(jù)各科成績(jī)計(jì)算的中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)均界于對(duì)應(yīng)課程成績(jī)上下四分位數(shù)之間，即大于下四分位數(shù)，小于上四分位數(shù)，用公式表示為：Q1＜＜Q3，Q1＜Me＜Q3。而眾數(shù)與四分位數(shù)的關(guān)系卻比較復(fù)雜。第一種現(xiàn)象，有的課程成績(jī)計(jì)算的眾數(shù)是介于對(duì)應(yīng)課程成績(jī)上下四分位數(shù)之間。比如表中“高等數(shù)學(xué)”這門課程成績(jī)的下四分位數(shù)、眾數(shù)和上四分位數(shù)分別是76分、94分和95分；再比如表中“基礎(chǔ)會(huì)計(jì)”這門課程的情況也是如此。第二種情況，也有的課程成績(jī)計(jì)算的眾數(shù)是介于對(duì)應(yīng)課程成績(jī)上四分位數(shù)或下四分位數(shù)之外。比如表中“體育（二）”這門課程，該課程成績(jī)的眾數(shù)是80分、下四分位數(shù)是83分，所以該門課程成績(jī)的眾數(shù)小于下四分位數(shù)；而表中“會(huì)計(jì)電算化”這門課程情況卻相反，該課程成績(jī)的眾數(shù)是95分、上四分位數(shù)是92分，因此該門課程成績(jī)的眾數(shù)又大于上四分位數(shù)。第三種情況，還有的課程成績(jī)計(jì)算的眾數(shù)是與對(duì)應(yīng)課程成績(jī)上四分位數(shù)或下四分位數(shù)相等。比如表中“大學(xué)英語(yǔ)”這門課程，該課程成績(jī)的眾數(shù)是85分、上四分位數(shù)也是85分，所以該門課程成績(jī)的眾數(shù)等于上四分位數(shù)；又比如表中“收銀與出納技術(shù)”這門課程，該課程成績(jī)的眾數(shù)是83分、下四分位數(shù)也是83分，所以該門課程成績(jī)的眾數(shù)等于下四分位數(shù)。由此我們不難得出如下結(jié)論：在不同的情況下，眾數(shù)既可以在上下四分位數(shù)之間，即Q1＜M0＜Q3；也可以在上下四分位數(shù)之外，即M0＞Q3或M0＜Q1；還可以與上四分位數(shù)或下四分位數(shù)相等，即 Q1=M0，Q3=M0。

同時(shí)，在單科成績(jī)分布呈現(xiàn)右偏或左偏時(shí)，所計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者之間還分別存在三種情況。當(dāng)單科成績(jī)分布右偏時(shí)，眾數(shù)始終是最大，算術(shù)平均數(shù)最小，中位數(shù)居中，即＜Me＜M0。比如表中“基礎(chǔ)會(huì)計(jì)”這門課程成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別是82.8分、86分和91分。但也有算術(shù)平均數(shù)等于中位數(shù)而中位數(shù)又小于眾數(shù)的情況，即=Me＜M0?；蛘呤撬阈g(shù)平均數(shù)小于中位數(shù)而中位數(shù)又等于眾數(shù)的情況，即＜Me=M0，比如表中“稅法”這門課程成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別是82.77分、84分和84分。當(dāng)單科成績(jī)分布左偏時(shí)，眾數(shù)始終是最小，算術(shù)平均數(shù)最大，中位數(shù)居中，即＞Me＞M0。比如表中“收銀與出納技術(shù)”這門課程成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別是87.5分、86分和83分。但也有算術(shù)平均數(shù)等于中位數(shù)而中位數(shù)又大于眾數(shù)的情況，即；=Me＞M0，比如表中“財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)”這門課程成績(jī)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別是84分、84分和83分。或者是算術(shù)平均數(shù)大于中位數(shù)而中位數(shù)又等于眾數(shù)的情況，即＞Me=M0。

綜上所述，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)和上四分位數(shù)在總體分布不是完全對(duì)稱的情況下，它們之間的數(shù)量關(guān)系各有不同，在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)尤其需要重視，否則會(huì)得出完全相反的結(jié)論。