基于Adams積分的GLONASS衛(wèi)星位置解算

呂 達，饒才杰，劉 巖，白志強

(中國航天科工信息技術研究院，北京100070)

0 引言

組合GPS/GLONASS增加了觀測衛(wèi)星的個數(shù)，提高了衛(wèi)星的可用性，改善了衛(wèi)星定位的幾何結構，通過融合可以提高定位精度和可用性，解決GPS網(wǎng)絡RTK定位中困難地區(qū)的定位問題，具有重要應用價值［1，2］。因此，研究 GLONASS 系統(tǒng)定位尤其是組合定位有重要實用價值。如何根據(jù)GLONASS廣播星歷進行衛(wèi)星位置計算是組合定位的重要一環(huán)。GLONASS廣播導航電文沒有給出開普勒軌道參數(shù)，對于一個給定的時刻，不能通過最新的導航電文參考時刻的開普勒軌道參數(shù)直接計算衛(wèi)星位置。GLONASS導航電文給出的是PZ-90坐標系下參考時刻衛(wèi)星的運動狀態(tài)向量，包括參考時刻衛(wèi)星的位置、速度和日月攝動加速度等，每30 min更新一次，這決定了對于某一時刻的衛(wèi)星位置，需要以上述的衛(wèi)星運動狀態(tài)向量為初值，采用受力模型通過積分得到［3］。

大量的國外文獻對GPS衛(wèi)星位置的計算方法進行了闡述，但對GLONASS衛(wèi)星位置計算方法的研究較少。目前GLONASS衛(wèi)星軌道數(shù)值積分方法主要有龍格—庫塔法(Runge-Kutta)，其中以四階龍格—庫塔法最為常用(簡稱R-K法)。文獻［4］等推導了GLONASS衛(wèi)星在地固坐標系中的運動方程，并簡要介紹了利用龍格—庫塔法進行軌道積分的數(shù)值結果;文獻［5］對龍格—庫塔法進行了分析;文獻［6］利用龍格—庫塔法實現(xiàn)了GLONASS衛(wèi)星軌道求解;文獻［7］完成了定步長龍格—庫塔法的計算程序。但是，龍格—庫塔法在計算某一時刻衛(wèi)星位置和速度時只用到前一步的信息，為了保證定位精度，需要多次重新計算多個點處的函數(shù)值［8］，計算量較大。這里采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛(wèi)星軌道積分法來實現(xiàn)GLONASS衛(wèi)星位置解算，該方法通過較多地利用前面幾步的已知信息，在保證較高精度的前提下，運算量降低為龍格—庫塔法的50%，同時穩(wěn)定性更好。實驗結果表明，新方法是一種求解GLONASS衛(wèi)星位置的有效方法。

1 衛(wèi)星的運動方程

GLONASS衛(wèi)星在 PZ-90坐標系下的運動方程為［3］:

式中，x，y，z分別表示衛(wèi)星在PZ-90坐標系下的坐標;vx，vy，vz分別表示3個方向的衛(wèi)星速度;地球引力常量μ=398 600.44 km3/s2;衛(wèi)星到地球質心的距離r=;地球的長半軸ae=6 378.136 km;地球重力位第二帶諧系數(shù)=0.001 082 63;地球自轉速度 ω =0.000 072 921 15 rad/s;為日月攝動加速度。t時刻式(1)的函數(shù)形式可以表示為:

2 Adams衛(wèi)星位置計算方法

GLONASS衛(wèi)星運動方程在 x，y，z三方向的分式均可以抽象成如下微分方程:

其等價的積分方程為:

采用插值多項式代P(t)替上式右端的被積函數(shù)，從而使其離散化以得到數(shù)值公式:

則 Adams顯式公式為［8］:

Adams隱式公式為［8］:

本文研究應用 Adams線性多步法來進行GLONASS衛(wèi)星位置解算，通過較多地利用前面幾步的已知信息，來構造計算量小、精度高的GLONASS衛(wèi)星位置解算的新算法。Adams性多步公式包括隱式方法和顯式方法，同階的隱式公式比顯式公式精確，而且穩(wěn)定性也好。這里將四步四階顯示公式作為預測公式，將三步四階隱式公式作為校正公式聯(lián)合使用，如式(8)所示:

截斷誤差分別為:

用局部截斷誤差進一步修正預測值和校正值，可以得到更精確的預測—校正公式:

將GLONASS衛(wèi)星的加速度值代入式(8)進行積分，就得到了GLONASS衛(wèi)星的速度，對速度值進一步積分，就可以得到GLONASS衛(wèi)星的位置坐標。采用修正后的預測校正公式(10)可以進一步減小截斷誤差。

3 Adams積分法與龍格—庫塔法比較

Adams算法的計算量大約是R-K方法的50%。采用四階龍格—庫塔法進行一步積分運算公式如下:

使用龍格—庫塔法由yn計算yn+1時，只用到前一步的信息yn，為了提高運算精度，需要重新計算4次函數(shù)值f(x)。采用Adams由yn計算yn+1時，用到前4 步的信息 yn－3、yn－2、yn－1和 yn，只需分別計算1次函數(shù)值f(x)、f(x+1)，運算量相當于計算2次函數(shù)值f(x)。由于計算函數(shù)值f(x)(即加速度)是GLONASS軌道積分過程中運算量較大的部分，所以Adams算法運算量大約是龍格—庫塔法的50%。

使用Adams預測校正公式可以達到龍格—庫塔法相同的精度，使用修正Adams預測校正公式的精度可以比R-K方法高一階，使預測校正公式的截斷誤差達到o(h6)。

4 實驗結果及分析

選取2009年8月29日23:45至2009年8月31日16:45每間隔半小時共82個時刻，GLONASS 2號衛(wèi)星的廣播星歷作為實驗數(shù)據(jù)。

分別使用Adams方法與R-K方法，以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:45每半小時間隔的參考時間向前軌道積分30 min，得到2009年8月30日00:15至2009年8月31日16:15半小時間隔的共81個時刻的，GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標，再將計算結果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標進行比較，得到二者差值的統(tǒng)計結果如表1所示。

分別使用Adams方法與R-K方法，以2009年8月29日23:45至2009年8月31日15:15每半小時間隔的參考時間向前軌道積分60 min，得到2009年8月30日00:45至2009年8月31日16:15半小時間隔的共80個時刻的GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標，再將計算結果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標進行比較，得到二者差值的統(tǒng)計結果如表2所示。

表1 30 min軌道積分結果 (單位:m)

表2 60 min軌道積分結果 (單位:m)

對試驗數(shù)據(jù)分析如下:

①向前積分30 min，選取不同步長對2種算法的誤差影響不大，2種算法誤差都比較小，但Adams算法比R-K算法誤差的均值要小。向前積分60 min，Adams算法優(yōu)勢更加明顯，如以200為步長積分時，R-K算法距離誤差均值為 8.971 7，而Adams法為 8.689 3。

②隨著積分時間延長，2種算法的誤差隨之增大，但Adams算法的均值誤差小于R-K算法，且隨著積分時間越長越明顯，說明Adams算法穩(wěn)定性［8］優(yōu)于R-K算法。

③采用R-K方法進行一步積分，需要計算4次三維方向的加速度;采用Adams進行一次運算，只需要計算2次;由于軌道積分運算的代價主要取決于計算加速度的次數(shù)，所以Adams算法的運算量約為R-K算法的50%。

5 結束語

采用了Adams預測校正公式進行GLONASS衛(wèi)星位置解算，并采用GLONASS的廣播星歷對新算法和R-K算法的積分結果和運算效率進行分析，證明了所提方法是一種有效的GLONASS衛(wèi)星位置解算方法。與四階R-K算法相比，新算法精度高、穩(wěn)定性好，而且運算量降低了50%。采用基于Adams預測校正公式的GLONASS衛(wèi)星軌道積分法進行GLONASS位置解算，對確保多系統(tǒng)兼容GNSS接收機的精度、實時性等方面有重要意義。

［1］Bruyninx Carine.Comparing GPS – only with GPS+GLONASS Positioning in a Regional Permanent GNSS Network［J］.GPS Solutions，2007，11(2):97-106.

［2］Alexei E Zinoviev.Using GLONASS in Combined GNSS Receivers:Current Status［C］∥ION GNSS 18th International Technical Meeting of the Satellite Division.Long Beach，CA，USA，2005:1 046-1 057.

［3］ICD-GLONASS.GLONASSInterface Control Document Version 5.1，ICD 2008E［M］.Moscow:Coordination Scientific Information Center，2008.

［4］葛茂榮，過靜珺，葛勝杰.GLONASS衛(wèi)星坐標的計算方法［J］.測繪通報，1999(2):2-4.

［5］楊 劍，王澤民，孟 泱，等.GLONASS衛(wèi)星軌道積分算法分析［J］.武漢大學學報:信息科學版，2006，31(7):613-615.

［6］李建文.GLONASS衛(wèi)星導航系統(tǒng)及GPS/GLONASS組合應用研究［D］.鄭州:信息工程大學，2001:25-29.

［7］葛 奎，王解先.GLONASS衛(wèi)星位置計算與程序實現(xiàn)［J］.測繪與空間地理信息，2009，32(2):137-140.

［8］丁麗娟，程杞元.數(shù)值計算方法［M］.北京理工大學出版社，2008:241-246.