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    球?qū)ΨQ形式物質(zhì)點(diǎn)法及其在水下爆炸中的應(yīng)用*

    2013-09-19 05:50:18陳衛(wèi)東楊文淼張豐超
    爆炸與沖擊 2013年5期
    關(guān)鍵詞:笛卡爾沖擊波計(jì)算結(jié)果

    陳衛(wèi)東,楊文淼,嚴(yán) 涵,張豐超

    (哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

    對(duì)水下爆炸問(wèn)題的研究一直是爆炸沖擊動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),在軍事工業(yè)以及民用建設(shè)領(lǐng)域都具有重要的意義。水下爆炸涉及高能炸藥的爆轟、沖擊波在水介質(zhì)中的傳播和氣泡的脈沖等一系列復(fù)雜過(guò)程,理論與實(shí)驗(yàn)研究都具有一定的局限性。數(shù)值研究具有低成本、可重復(fù)和過(guò)程細(xì)節(jié)易于捕捉等優(yōu)勢(shì),在水下爆炸研究領(lǐng)域中起著越來(lái)越重要的作用。水下爆炸過(guò)程存在大變形問(wèn)題,使得基于隨體網(wǎng)格的拉格朗日方法產(chǎn)生嚴(yán)重的網(wǎng)格畸變,影響計(jì)算精度,甚至使計(jì)算無(wú)法進(jìn)行,所以大都采用具有空間固定坐標(biāo)的歐拉方法對(duì)水下爆炸進(jìn)行數(shù)值分析[1-4]。但歐拉方法不易觀察材料的變形歷史,并且物質(zhì)界面的處理也是歐拉方法面臨的一個(gè)難題,這些都限制了歐拉方法的應(yīng)用。近年來(lái)無(wú)網(wǎng)格方法如SPH(smoothed particle hydrodynamics)、MPM(material-point method)等因?yàn)椴淮嬖诰W(wǎng)格畸變,可以很自然地處理大變形問(wèn)題,在爆炸沖擊問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用[5-12]。MPM由流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的PIC(particle-in-cell)法發(fā)展而來(lái),兼具拉格朗日法和歐拉法的優(yōu)點(diǎn),在處理大變形以及多介質(zhì)耦合問(wèn)題時(shí)具有突出優(yōu)勢(shì)[13]。MPM將問(wèn)題域離散成一系列攜帶材料性質(zhì)的物質(zhì)點(diǎn)集,對(duì)于三維水下爆炸問(wèn)題,尤其是三維遠(yuǎn)場(chǎng)爆炸問(wèn)題,問(wèn)題域的空間尺度是巨大的,并且隨著問(wèn)題維度的增加,物質(zhì)點(diǎn)數(shù)量也會(huì)成指數(shù)增長(zhǎng)。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)水下爆炸,人們關(guān)心的是結(jié)構(gòu)在爆炸沖擊波作用下的沖擊響應(yīng),而對(duì)爆炸沖擊波在水介質(zhì)中傳播過(guò)程的計(jì)算會(huì)占用大量的計(jì)算資源,嚴(yán)重影響求解效率。當(dāng)忽略界面或結(jié)構(gòu)的影響時(shí),水下爆炸產(chǎn)生的沖擊波在水介質(zhì)中具有球?qū)ΨQ性。利用水下爆炸這一特點(diǎn),將沖擊波在自由場(chǎng)中的傳播過(guò)程簡(jiǎn)化為一維球?qū)ΨQ模型進(jìn)行計(jì)算,這樣可以在保證求解精度的前提下提高計(jì)算效率。基于AUTODYN中的映射求解思想[14],建立了基于物質(zhì)點(diǎn)法的水下爆炸重映射求解模型,當(dāng)爆炸沖擊波到達(dá)界面或者結(jié)構(gòu)之前,采用一維球?qū)ΨQ模型進(jìn)行計(jì)算,然后將計(jì)算結(jié)果映射到三維模型中,并將各計(jì)算量作為初值在三維模型中繼續(xù)完成計(jì)算,有效避免了計(jì)算資源在沖擊波傳播過(guò)程上的消耗。

    本文中,首先推導(dǎo)一維球?qū)ΨQ形式的物質(zhì)點(diǎn)法,然后對(duì)球形炸藥水下爆炸過(guò)程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并與Cole經(jīng)驗(yàn)公式[15]以及DYNA計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果吻合較好,驗(yàn)證了一維球?qū)ΨQ形式物質(zhì)點(diǎn)法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上,提出了基于物質(zhì)點(diǎn)法的重映射求解算法,將一維球?qū)ΨQ結(jié)果作為初始條件映射到笛卡爾坐標(biāo)系下的三維模型中,從而可以在三維模型中繼續(xù)求解沖擊波的傳播以及結(jié)構(gòu)的沖擊響應(yīng)過(guò)程。

    1 球?qū)ΨQ形式的物質(zhì)點(diǎn)法

    圖1 球坐標(biāo)系下的離散單元Fig.1 Discrete elements in spherical coordinate system

    在一維球?qū)ΨQ坐標(biāo)下離散的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量是不均勻的,其質(zhì)量大小與質(zhì)點(diǎn)的密度分布以及徑向坐標(biāo)都有關(guān)系。如圖1所示,在球坐標(biāo)系下沿徑向離散的單元坐標(biāo)為r1和r2,單位立體角內(nèi)離散單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為:

    式中:ρ為密度,a為加速度,σ為柯西應(yīng)力張量,b為體力,τ為邊界外力,w為試函數(shù)。

    在MPM中,將連續(xù)體離散成一系列物質(zhì)點(diǎn)集,其密度可以寫成:

    物質(zhì)點(diǎn)法中需要布置歐拉網(wǎng)格覆蓋求解域,同有限元法類似,背景網(wǎng)格單元內(nèi)的場(chǎng)變量可表示為:

    式中:g(x,t)為任意場(chǎng)變量,可代表速度、加速度和試函數(shù)等;Ni(x)為單元形函數(shù)。

    利用式(3)和式(4),式(2)可寫成如下形式:

    在球?qū)ΨQ形式下,各物理量只是r的函數(shù),與θ和φ無(wú)關(guān),應(yīng)力張量有如下形式:

    在球?qū)ΨQ形式下,其內(nèi)力向量只有沿徑向的分量,其徑向分量為:

    采用顯式差分格式求解式(6),從而得到節(jié)點(diǎn)的更新速度:

    式中:上標(biāo)k和k+1分別代表上一時(shí)間步和更新后的時(shí)間步。

    利用更新后的節(jié)點(diǎn)速度更新物質(zhì)點(diǎn)的位置和速度:

    在球?qū)ΨQ形式下,物質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽恐慌cr有關(guān),可以寫成:

    得到物質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽亢?,通過(guò)材料的本構(gòu)方程便可完成物質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力以及其他內(nèi)部變量的更新。在球?qū)ΨQ形式下的應(yīng)力更新過(guò)程與笛卡爾坐標(biāo)系下的計(jì)算過(guò)程沒(méi)有太大的區(qū)別。

    2 水下爆炸的數(shù)值模擬

    2.1 數(shù)學(xué)模型描述

    對(duì)球形TNT裝藥在水下自由場(chǎng)中的爆炸過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬。為了簡(jiǎn)化理論分析,忽略水下爆炸過(guò)程中熱傳導(dǎo)和黏性的影響。水下爆炸過(guò)程可由下列一組歐拉方程和恰當(dāng)?shù)臓顟B(tài)方程來(lái)模擬:

    式中:ρ、e、p、v和t分別為密度、內(nèi)能、壓力、速度矢量和時(shí)間。

    式(13)中前3個(gè)方程分別描述了質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒,最后一個(gè)方程代表不同材料的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程用來(lái)定義固體或流體在不同狀態(tài)下的壓力和密度以及比內(nèi)能之間的函數(shù)關(guān)系。正確選取狀態(tài)方程以及對(duì)狀態(tài)方程中的參數(shù)設(shè)定合適的數(shù)值對(duì)于計(jì)算結(jié)果至關(guān)重要。

    本文中,對(duì)水采用多項(xiàng)式狀態(tài)方程:

    對(duì)TNT炸藥采用JWL狀態(tài)方程:

    在求解水下爆炸沖擊問(wèn)題時(shí),沖擊波將導(dǎo)致壓力、密度、質(zhì)點(diǎn)速度和能量等在波陣面前后發(fā)生突變(跳躍),這種不連續(xù)性給運(yùn)動(dòng)微分方程的求解帶來(lái)了較大的困難。為了解決此問(wèn)題,引入了人工黏性的概念。人工黏性將應(yīng)力波的強(qiáng)間斷面模糊成一個(gè)在相當(dāng)狹窄的過(guò)渡區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化的波陣面,從而給工程應(yīng)用帶來(lái)極大的方便[16]。

    本文中采用線性形式和二次形式相結(jié)合的人工黏性形式:

    式中:c0和c1為人工黏性系數(shù);le為特征長(zhǎng)度,在物質(zhì)點(diǎn)法中,取背景網(wǎng)格最小尺寸;ρ為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形密度為體積應(yīng)變率,c為材料聲速。

    2.2 計(jì)算結(jié)果與分析

    圖2 一維球?qū)ΨQ計(jì)算模型Fig.2 One-dimensional spherically-symmetric model

    計(jì)算模型如圖2所示,球形TNT裝藥半徑為0.1m,水域半徑為5m,離散網(wǎng)格尺寸為0.01m,每個(gè)網(wǎng)格放置2個(gè)物質(zhì)點(diǎn),總粒子數(shù)為1000。

    圖3給出了分別采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式、MPM和DYNA程序得到的水中不同位置處沖擊波壓力峰值,圖中a為炸藥半徑,R為觀察點(diǎn)到起爆中心的距離。從圖3可以看出壓力峰值都隨水中沖擊波的傳播而逐漸減小,而且都呈指數(shù)形式衰減,這符合水下爆炸沖擊波的基本規(guī)律。在離起爆中心較近的地方,采用MPM和DYNA計(jì)算的結(jié)果與采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差較小,但隨著離起爆點(diǎn)距離的增加,相對(duì)誤差有增大的趨勢(shì)。與采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的結(jié)果相比,采用MPM和DYNA計(jì)算的壓力峰值衰減更快。這主要是因?yàn)镸PM和DYNA均采用理想化的計(jì)算模型,忽略了水的黏性、密度不均勻性以及重力等影響因素,而實(shí)際的水下爆炸過(guò)程很復(fù)雜,Cole經(jīng)驗(yàn)公式是由大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的,所以采用MPM和DYNA計(jì)算的結(jié)果與采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的結(jié)果之間的誤差是合理的。不同爆距處,采用MPM和DYNA計(jì)算結(jié)果與采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果之間的相對(duì)誤差εr,MPM和εr,DYNA見(jiàn)表1。

    表1 不同爆距處,采用MPM和DYNA計(jì)算的結(jié)果與采用Cole經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的結(jié)果之間的相對(duì)誤差Table1 Relative errors between calculated results by MPM and DYNA and ones by Cole formula at different locations

    圖4給出了幾個(gè)典型時(shí)刻水下沖擊波壓力沿徑向的分布曲線。從圖4可以看出,采用MPM計(jì)算得到的沖擊波前沿位置與沖擊波峰值大小與采用DYNA的計(jì)算結(jié)果吻合較好,沖擊波沿徑向以近似指數(shù)衰減的階梯式增長(zhǎng)。在炸藥爆轟產(chǎn)物與水介質(zhì)的交界面附近,有一定的數(shù)值振蕩產(chǎn)生,這是由爆轟產(chǎn)物與水介質(zhì)的不均一性導(dǎo)致的,但數(shù)值振蕩與沖擊波大小相比是可以接受的。隨著沖擊波背離起爆中心向外傳播,其波形被不斷拉寬,且峰值具有明顯的衰減現(xiàn)象。

    本算例如果采用三維模型進(jìn)行計(jì)算,并假設(shè)采用與一維球?qū)ΨQ模型相同的網(wǎng)格離散精度,即在0.01m×0.01m×0.01m的離散網(wǎng)格內(nèi)放置8個(gè)物質(zhì)點(diǎn),即使采用1/8模型,離散物質(zhì)點(diǎn)總數(shù)也將達(dá)到1000×1000×1000。三維模型計(jì)算規(guī)模遠(yuǎn)大于離散物質(zhì)點(diǎn)總數(shù)為1000的一維球?qū)ΨQ計(jì)算模型,使數(shù)據(jù)的計(jì)算量和存儲(chǔ)量變得很龐大,很難處理,需在大型并行機(jī)上完成計(jì)算。雖然通過(guò)降低網(wǎng)格離散精度,可以在一定程度上減小三維模型的計(jì)算規(guī)模,但即使采用0.1m×0.1m×0.1m網(wǎng)格尺寸進(jìn)行離散,其物質(zhì)點(diǎn)總數(shù)為100×100×100與一維球?qū)ΨQ模型相比,其計(jì)算規(guī)模仍很巨大。與三維計(jì)算模型相比,一維球?qū)ΨQ模型在保證網(wǎng)格離散精度的同時(shí)可以有效減小計(jì)算規(guī)模。

    圖3 壓力峰值沿徑向的分布曲線Fig.3 Pressure peak distribution along radial direction

    圖4 典型時(shí)刻的壓力分布曲線Fig.4 Pressure distribution curves at typical times

    2.3 基于物質(zhì)點(diǎn)法的重映射算法

    重映射計(jì)算需要用到球坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,2個(gè)坐標(biāo)系下基矢存在如下關(guān)系:

    式中:er、eθ和eφ為球坐標(biāo)系下單位基矢量,ex、ey和ez為笛卡爾坐標(biāo)系下單位基矢量,R為轉(zhuǎn)換矩陣。

    對(duì)于矢量a,如速度、加速度和力等,在笛卡爾坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系間有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

    對(duì)于張量B,如應(yīng)力張量,在笛卡爾坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系間有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

    基于物質(zhì)點(diǎn)法的重映射計(jì)算,采用如下的求解步驟:

    (1)將球?qū)ΨQ形式下物質(zhì)點(diǎn)攜帶的內(nèi)部變量,如密度、壓力和能量等映射到球?qū)ΨQ的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上;

    (2)通過(guò)式(4)得到球坐標(biāo)系下場(chǎng)變量的空間分布;

    (3)通過(guò)式(18)和(19)將場(chǎng)變量轉(zhuǎn)換到笛卡爾坐標(biāo)系下;

    (4)將笛卡爾坐標(biāo)系下場(chǎng)變量的分布空間作為一個(gè)連續(xù)體,采用物質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行離散,其中在一維球?qū)ΨQ形式下的物質(zhì)分界點(diǎn)變成三維空間中的物質(zhì)分界面。

    以上4步便完成了將一維球?qū)ΨQ計(jì)算結(jié)果到三維笛卡爾坐標(biāo)系下的映射計(jì)算過(guò)程。

    圖5 映射后的三維計(jì)算模型Fig.5 Mapping to the three-dimensional computational model

    圖5給出了算例中t=1ms和t=3ms時(shí)刻計(jì)算結(jié)果映射后的三維計(jì)算模型。一維球?qū)ΨQ形式下的計(jì)算結(jié)果將作為初值賦值給三維模型中離散的物質(zhì)點(diǎn),以便在三維空間中繼續(xù)完成結(jié)構(gòu)沖擊響應(yīng)的計(jì)算。為了便于觀察,圖中顯示的是1/8模型。

    3 結(jié) 論

    針對(duì)求解三維遠(yuǎn)場(chǎng)水下爆炸沖擊響應(yīng)問(wèn)題,提出了一維球?qū)ΨQ形式物質(zhì)點(diǎn)法,并進(jìn)行了數(shù)值模擬驗(yàn)證,取得了如下結(jié)論:

    (1)對(duì)比Cole公式、DYNA和一維球?qū)ΨQ形式物質(zhì)點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果,在起爆中心附近MPM、DYNA和Cole公式計(jì)算結(jié)果間相對(duì)誤差較小,隨起爆點(diǎn)距離增加,相對(duì)誤差有增大趨勢(shì),但仍在誤差允許范圍之內(nèi)。因此,采用一維球?qū)ΨQ形式物質(zhì)點(diǎn)法能夠較好模擬水下爆炸過(guò)程;

    (2)在爆炸模擬過(guò)程中,通過(guò)重映射算法,將一維球?qū)ΨQ計(jì)算結(jié)果映射到三維計(jì)算模型中,避免了計(jì)算資源在沖擊波傳播過(guò)程計(jì)算上的消耗,顯著降低了三維遠(yuǎn)場(chǎng)水下爆炸沖擊響應(yīng)求解復(fù)雜度,具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

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