高秀蘭,魯開講,史革盟
(寶雞文理學院,陜西寶雞721007)
近年來,并聯(lián)機器人的應用領域在不斷擴大,隨著科學技術的發(fā)展,對機構的性能提出了越來越高的要求。工作空間是機器人最重要的性能指標,合理地定義工作空間是機器人結構設計的首要環(huán)節(jié)。最大限度地提高機構的運動速度,是現(xiàn)代機器人技術發(fā)展的主要標志,為了適應高速和高加速度的要求,許多學者從運動學和動力學方面[1-8]提出了多種動態(tài)性能指標來量化機器人機構的動態(tài)性能。然而并聯(lián)機構的工作空間與動態(tài)性能之間往往是矛盾的,為了獲得良好的動態(tài)性能,只有放棄使用部分工作空間。目前并聯(lián)機構的結構設計主要是基于運動學[9-12]和動力學[10-12]性能指標進行的,而兼顧機器人工作空間[13-15]的設計較少,其主要原因是并聯(lián)機構工作空間的定義與描述本身就是一個難題。機構的工作空間與動態(tài)性能在很大程度上取決于機構的結構參數(shù),對機構進行優(yōu)化設計將是一種可行的方法,它可以兼顧工作空間和動態(tài)性能這兩個方面,并使它們之間達到均衡,保證機構的總體性能最優(yōu)。作者以關節(jié)驅動力矩在預定設計空間的最大值作為評定機構動力學性能的指標,將機構對設計空間的要求看作是對結構參數(shù)的約束,從而將機構的優(yōu)化設計歸結為約束優(yōu)化問題,得到了兼顧設計空間和動力學性能的最優(yōu)結構參數(shù)。
平面2自由度并聯(lián)機構的末端點C通過兩條支鏈與基座相連,如圖1所示。取參考坐標系Oxy。
圖1 平面2自由度并聯(lián)機構運動簡圖
選取機構一個分支,構成開式運動鏈,該分支關節(jié)速度到動平臺的運動速度˙x的映射關系
式中:x為末端點C的位置矢量,x=[x y]T,上標r表示分支序號,中的下標表示分支中運動副的序號。
當已知動平臺的速度,可求得該分支關節(jié)相對速度
同樣,可以得到每個分支關節(jié)運動加速度¨φ(r)到動平臺的運動加速度矢量的映射關系
式中:xm、ym、xn、yn的下標與該分支關節(jié)序號對應。
選取末端點C的坐標x、y為廣義坐標。由式(1)得
輸入桿質心Gr的速度
輸入構件ArBr對各獨立速度的偏角速度分別為
作用在輸入構件上的主動力有重力及驅動力矩,取質心為簡化中心,其主矢和主矩分別為
輸入構件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力
r'表示質量微元dm相對簡化中心 (質心)的矢徑,a'i為微元dm相對簡化中心的加速度。
由式 (1)得關節(jié)的相對角速度
從動構件角速度矢量
質心Q的速度
按獨立速度整理
機構在末端點C處作用有集中力Fx和Fy(見圖2),它使得從動桿產生附加力,由于桿的重力比Fx和Fy要小得多,因而忽略桿的重力而將從動桿看作二力桿,認為從動桿對末端點的作用力沿桿軸線方向,對末端點進行靜力分析求得附加力
圖2 末端點C的受力分析
作用在從動構件上的主動力有重力和附加力。取質心為簡化中心,其主矢和主矩分別為
從動構件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力
將所有構件上的廣義主動力和廣義慣性力分別求和,得到機構相對于各個獨立速度廣義主動力和廣義慣性力
基于凱恩方法,可以得到機構的動力學方程
寫成矩陣形式
式中:τ為主動關節(jié)驅動力矩矢量,τ=[τ1τ2]T;
V(x)為操作空間的慣性矩陣,B(x)∈R2×2×2;
P(x)是克服外界負載和重力所需的關節(jié)驅動力矩,僅與機構的位形有關。
機構每個分支的工作空間是以Ar為中心的環(huán)形區(qū)域,如圖3所示,機構的工作空間是各支鏈子空間的交集,它由圖中4段圓弧圍成。如果要求工作空間能包容一個邊長為b的正方形,中心在P(x0,y0),其頂點為Ci
式中:αi為PiCi與x軸的夾角,α1,i=1~4。
圖3 機構工作空間解析
如果給定設計空間,則機構結構尺寸必須滿足下面的幾何約束條件:
(1)過A1向C1C4引垂線,如果垂足 D1位于C1C4之間,則要求
如果垂足位于C1C4之外,則要求
同樣對于分支2,如果垂足位于C1C2之間,則要求
如果垂足位于C1C2之外,則要求
(2)在三角形A1G1A2中
(3)各支鏈子空間外邊界應包含 C1、C2、C3、C4,即
對機器人進行軌跡規(guī)劃或實際控制時,必須考慮在整個設計空間以及機構運行速度和加速度的范圍內,關節(jié)驅動力矩的最大值τmax
式中:b為設計變量,包括機構的結構參數(shù)和動力參數(shù);i為分支序號;D為設計空間;、分別為允許運行的最大速度和加速度;τi為主動關節(jié)的驅動力矩。
τmax可以作為評定機構動力學品質優(yōu)劣的性能指標,它代表機器人在整個工作空間的總體性能。
并聯(lián)機構由多條分支組成,其工作空間是各分支子空間的交集,與傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人相比,并聯(lián)機構最大的不足就是工作空間相對較小。另外在工作空間中心部位,動力學性能良好,由里向外,機構的動力特性變差。為了獲得良好的動力學性能,就要放棄使用靠近邊界的這部分工作空間。對機構進行動力學優(yōu)化設計,就是要兼顧設計空間與動力學性能這兩個矛盾的方面,將機構對設計空間的要求看作是對結構尺寸的約束,從而將動力學優(yōu)化描述成:給定機構的設計空間,確定一組結構參數(shù)和動力學參數(shù),在結構參數(shù)滿足工作空間要求的幾何約束條件下,使機構的某種全局性能指標在整個設計空間最優(yōu)。有實用意義的優(yōu)化模型有:
(1)對于僅在低速運行的機構,為了使機構結構最緊湊,占用的空間最小,應使其結構尺寸的總和最小,即在結構尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下,使
(2)對于加減速頻繁和高速運行的機構,在結構尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下,應使機構的動力性能最優(yōu),即
式 (6)的性能指標的含義是:在給定機構的結構參數(shù)和動力學參數(shù)以后,使機構的末端點以允許范圍的速度和加速度在整個設計空間運行時,各個主動關節(jié)驅動力矩的最大值。
根據(jù)使用要求,機構工作空間包含一個邊長b=200 mm、中心坐標P(50 mm,300 mm)的正方形區(qū)域,將其視為機構預定的設計空間,并且要求機構工作時,末端點在此空間能達到的最大速度和加速度=(±2.5,±2.5)m/s,¨xmax=(±250,±250)m/s2。桿AB和BC為均質桿,直徑分別為32 mm和25 mm。
讓性能指標τmax分別取一系列指定值,可以得到關節(jié)驅動力矩在工作空間的等位線,如圖4所示??梢?在工作空間的中部,關節(jié)驅動力矩小,機構動力學性能良好,由里向外,機構的動力學性能逐漸變差。如果將預定設計空間也表示在圖中,將不難看出機構在設計空間中的最大驅動力矩。
圖4 工作空間邊界及關節(jié)驅動力矩等位線圖
以機構結構參數(shù)為設計變量b=[L1,L2,L3,L4,a],求解優(yōu)化模型 (7)和 (8),得到這兩種情形下的最優(yōu)結構參數(shù),如表1所示。按尺度最優(yōu)的設計方案繪制機構的工作空間,如圖5所示,它與設計空間的關系表明,所得的結構參數(shù)是滿足設計空間要求的最緊湊的構型要求。
表1 兩種情形下的最優(yōu)結構參數(shù)
圖5 尺度最優(yōu)方案下的工作空間與設計空間
為了測試優(yōu)化結果對動力學性能影響的程度,用動力學仿真的方法,計算末端點在整個設計空間運動時的關節(jié)驅動力矩,結果如圖6所示,關節(jié)驅動力矩在整個預定的設計空間峰值小,變化平緩,變化范圍小。這預示著,按最優(yōu)結構參數(shù)設計的機構,在預定的設計空間具有較好的動力學性能。
圖6 動力性能優(yōu)化后關節(jié)驅動力矩在設計空間的變化規(guī)律
采用影響系數(shù)理論,分析了機構逆向運動學,以機構末端點坐標為廣義坐標,建立機構動力學模型,關節(jié)驅動力矩能用解析式表示,為動力學性能的靈敏度分析創(chuàng)造了條件。將機構對設計空間的要求處理為對結構參數(shù)的幾何約束,從而將機構的優(yōu)化設計歸結為基于性能指標的約束優(yōu)化問題,所得的最優(yōu)結構參數(shù),兼顧了設計空間與動力學性能。在實例中,采用動力學仿真的方法,驗證了方法的有效性。
【1】ASADA H.A Geometrical Represantation of Manipulator Dynamics and Its Application to Arm Design[J].Trans of ASME J of Dynamic Systems,Measurement and Control,1983,105(3):131 -142.
【2】YOSHIKAWA J.Manipulability of Robotic Mechanisms[J].Int J Robotics Research,1987,4(2):3 -9.
【3】劉爽,郭希娟,劉彬.4-RR(RR)R并聯(lián)機構的動力學性能指標分析[J].機械工程學報,2008,44(7):63-68.
【4】高洪,趙韓.6-3-3并聯(lián)機構逆動力學分析與仿真[J].農業(yè)機械學報,2007,38(9):130 -133.
【5】GUO Xijuan,CHANG F Q.Aceeleration and Dexterity Performance Indices for 6-DOF and Lower-mobility Parallel Mechanism[C]//ASME 2004 DETC,2004:851 -855.
【6】XU Younan,XI F F.A Real-time Method for Sowing the Forward Kinematics of a Tripod with Fixed-length Legs[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering,2006,128:1 -9.
【7】馮志友,張燕,楊廷力,等.基于牛頓歐拉法的2UPS-2RPS并聯(lián)機構逆動力學分析[J].農業(yè)機械學報,2009,40(4):193-197.
【8】郭希娟,彭艷敏,耿清甲.LR-Mate機器人動力學性能分析[J].機械工程學報,2008,44(10):123 -128.
【9】劉新軍,王立平,吳澤啟,等.基于力傳遞性能的平面并聯(lián)機器人的優(yōu)化設計[J].清華大學學報:自然科學版,2008,48(11):1926 -1930.
【10】MONSARRAT B,GOSSELIN C M.Workspace Analysis and Optimal Design of a 3-leg 6-DOF Parallel Platform Mechanism[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,2003,19(6):954 -966.
【11】李寧寧,趙鐵石.并聯(lián)式四自由度定位平臺性能優(yōu)化[J].機器人,2008,30(2):130 -137.
【12】郭祖華,陳五一,陳鼎昌.基于全局性能的并聯(lián)機床結構參數(shù)優(yōu)化[J].中國機械工程,2004,15(20):861-864.
【13】彭斌彬,高峰.五軸并聯(lián)機床的尺度綜合[J].機器人,2006,28(1):76 -80.
【14】曹永剛,張玉茹,馬運忠.6-RSS型并聯(lián)機構的工作空間分析與參數(shù)優(yōu)化[J].機械工程學報,2008,44(1):19-24.
【15】孫立寧,丁慶勇,劉新宇.2自由度高速高精度并聯(lián)機器人的運動學優(yōu)化設計[J].機械工程學報,2005,41(7):94-98.