Black-Litterman 模型在中國(guó)養(yǎng)老金入市投資中的應(yīng)用

王海琳

（山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

一、研究背景

一方面，中國(guó)養(yǎng)老金目前的狀況不容樂(lè)觀。因此，養(yǎng)老金的增值保值問(wèn)題成為熱點(diǎn)問(wèn)題。增值保值的一大方法是放棄養(yǎng)老金單一的投資方法，轉(zhuǎn)而進(jìn)行多渠道的投資，比如投資債券，股票等高收益的金融資產(chǎn)。2012年3月20日，中國(guó)廣東省政府將千億養(yǎng)老金交于全國(guó)社?；鹄硎聲?huì)代理投資運(yùn)營(yíng)，這是對(duì)中國(guó)養(yǎng)老金投資運(yùn)營(yíng)的試點(diǎn)，也是中國(guó)在養(yǎng)老金管理和運(yùn)營(yíng)方面邁出的一大步。這表明中國(guó)養(yǎng)老金入市投資成為必然趨勢(shì)。

養(yǎng)老金入市面臨的首要問(wèn)題是如何保證在高風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)中保證穩(wěn)定的收益。想要解決這個(gè)問(wèn)題，可以首先從對(duì)各種金融資產(chǎn)的投資比例進(jìn)行研究，即如何分配投資的金融資產(chǎn)的各項(xiàng)比例來(lái)達(dá)到在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下獲得最高的收益。

另一方面，針對(duì)如何確定最優(yōu)投資比例的問(wèn)題，Black-Litterman模型較好得解決了這個(gè)問(wèn)題。Black-Litterman模型是由Fisher Black和Robert Litterman在1992年首先提出，是基于金融行業(yè)對(duì)馬可威茨（Markowitz）均值-方差模型數(shù)十年的研究和應(yīng)用的基礎(chǔ)上優(yōu)化。Black-Litterman模型利用概率統(tǒng)計(jì)方法，將投資者對(duì)大類資產(chǎn)的觀點(diǎn)與市場(chǎng)均衡回報(bào)相結(jié)合，產(chǎn)生新的預(yù)期回報(bào)。Black-Litterman模型自提出來(lái)后，已逐漸被華爾街主流所接受，現(xiàn)已成為高盛公司資產(chǎn)管理部門(mén)在資產(chǎn)配置上的主要工具。

基于以上兩點(diǎn)，本文將用Black-Litterman模型來(lái)解決如何最優(yōu)化養(yǎng)老金在各項(xiàng)金融資產(chǎn)中的投資比例這一問(wèn)題。

二、Black-Litterman模型

本文使用的對(duì)資產(chǎn)配置的模型為可融入主觀觀點(diǎn)的Black-Litterman（BL）資產(chǎn)配置模型。

（一）Black-Litterman 模型的簡(jiǎn)介

Black-Litterman模型對(duì)markowitz模型要用到的均值和方差的估計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)，它采用貝葉斯分析框架來(lái)處理這兩個(gè)預(yù)測(cè)值，使之能夠融合組合管理人的主觀觀點(diǎn)。在這個(gè)方法下，組合管理人只需要提供任意數(shù)量的觀點(diǎn)，模型就會(huì)把這些觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化為明確的證券收益率預(yù)測(cè)和相關(guān)的協(xié)方差矩陣。因此，Black-Litterman模型解決了將觀點(diǎn)翻譯成明確的收益率的預(yù)測(cè)問(wèn)題。而在Black-Litterman模型出現(xiàn)之前，沒(méi)有辦法可以直接地，系統(tǒng)地把觀點(diǎn)或信息轉(zhuǎn)化為明確的預(yù)測(cè)。

（二）Black-Litterman模型的推導(dǎo)

1.市場(chǎng)模型

假設(shè)市場(chǎng)中有N個(gè)資產(chǎn)，收益率服從

對(duì)于μ值，Black-Litterman采用了貝葉斯的看法。此模型把均值參數(shù)看作隨機(jī)變量，即

其中π是對(duì)μ的最佳估計(jì)。

市場(chǎng)均衡假設(shè)所有投資者為了最大化均值-方差的效用而進(jìn)行無(wú)約束最優(yōu)化

其中λ表示市場(chǎng)平均的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)，w：組合中資產(chǎn)所占權(quán)重向量。若weq表示均衡的市場(chǎng)組合的權(quán)重，由一階條件可得相應(yīng)的參照期望收益率

2.主觀觀點(diǎn)

BL模型中考慮關(guān)于預(yù)期收益率μ的觀點(diǎn)，而且是線性的觀點(diǎn)。設(shè)組合管理人對(duì)N 個(gè)資產(chǎn)產(chǎn)生了K 個(gè)觀點(diǎn)，這K 個(gè)觀點(diǎn)互不相關(guān)，用K×N的觀點(diǎn)“選擇”矩陣P 來(lái)表示。其中第k行表示第k個(gè)觀點(diǎn)，這一行的每個(gè)元素表示對(duì)應(yīng)期望收益率的相對(duì)權(quán)重，每個(gè)觀點(diǎn)的權(quán)重和為1或0，分表表示絕對(duì)觀點(diǎn)和相對(duì)觀點(diǎn)。觀點(diǎn)的期望收益向量用v來(lái)表示，協(xié)方差矩陣ΩK×K分別量化了觀點(diǎn)及其不確定性，即組合管理人對(duì)觀點(diǎn)的信心水平。由于觀點(diǎn)互不相關(guān)，ΩK×K是對(duì)角矩陣。

舉例說(shuō)明，面對(duì)三種資產(chǎn)，組合管理人有兩條觀點(diǎn)：第一種資產(chǎn)的年收益率比第二種高3%，第三種資產(chǎn)的年收益率為5%。則其選擇矩陣為

觀點(diǎn)向量為v=（3%，5%）’。如果投資者對(duì)以上兩個(gè)觀點(diǎn)的信心水平為w1和w2，則其不確定性可用表示。

3.后驗(yàn)結(jié)果

利用貝葉斯公式從觀點(diǎn)信息得到

4.資產(chǎn)分配結(jié)果

在最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是Markowitz臨界線算法，也就是市場(chǎng)均衡假設(shè)下所有投資者共享的效用函數(shù)，直接得到的優(yōu)化結(jié)果是：

三、Black-Litterman模型對(duì)養(yǎng)老金投資比例優(yōu)化的實(shí)證

文本首先針對(duì)運(yùn)用black-litterman模型對(duì)養(yǎng)老金的投資方向的比例進(jìn)行計(jì)算。

（一）假設(shè)

對(duì)養(yǎng)老金的投資方向做簡(jiǎn)化處理，下面只考慮國(guó)債，企業(yè)債券以及股票這三個(gè)投資渠道。

（二）數(shù)據(jù)分析及來(lái)源

本文采用的數(shù)據(jù)是國(guó)債指數(shù)，企債指數(shù)以及滬深300指數(shù)，時(shí)間區(qū)間是2011年4月1日至2013年3月31日，每種指數(shù)都有484個(gè)數(shù)據(jù)。之所以選擇國(guó)債指數(shù)和企債指數(shù)是因?yàn)閮烧呔莻袌?chǎng)的晴雨表，他們的編制方法使得他們能夠代表債券市場(chǎng)的收益情況；而選擇滬深指數(shù)是因?yàn)榇酥笖?shù)囊括上證和深證的有影響力和代表性的股票，因此也能較好的反應(yīng)整體股市的情況和收益率。數(shù)據(jù)的來(lái)源是大智慧軟件。

（三）以數(shù)據(jù)的均值與方差作為black-litterman模型的主觀觀點(diǎn)

選擇均值和方差作為black-litterman模型的主觀觀點(diǎn)是因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間產(chǎn)生的多樣本的均值與方差可以體現(xiàn)國(guó)債，公司債券以及股票相對(duì)穩(wěn)定的收益率及風(fēng)險(xiǎn)情況，而這種情況可以作為組合管理人的主觀觀點(diǎn)。當(dāng)然，由于組合管理人的觀點(diǎn)具有很強(qiáng)的主觀性，因此也可以有其他的方法來(lái)體現(xiàn)主觀觀點(diǎn)，如利用時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)的結(jié)果作為主觀觀點(diǎn)等，但本文利用均值與方差作為對(duì)國(guó)債，企債和股票的主觀觀點(diǎn)。

我們采用以下的辦法把指數(shù)變換成復(fù)利收益率：

其中tP表示資產(chǎn)在t時(shí)刻的指數(shù)。

由于black-litterman模型中使用的是超額收益率，本文采用一年期的定期存款利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，年利率為3.25%，另外仍需把年利率轉(zhuǎn)換為每天的利率來(lái)計(jì)算超額收益率。每天的利率是3.25%/365。下表是對(duì)國(guó)債，企債，股票收益率的描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。國(guó)債收益率的均值為0.0000622，標(biāo)準(zhǔn)差為0.000262；企債收益率的均值為0.000167，標(biāo)準(zhǔn)差為0.000564；股票的收益率的均值為0.000472，標(biāo)準(zhǔn)差為0.013182。

（四）把主觀觀點(diǎn)轉(zhuǎn)換為可輸入black-litterman模型的信息

其中P就是觀點(diǎn)選擇矩陣，由于本文對(duì)3種資產(chǎn)都發(fā)表了絕對(duì)觀點(diǎn)，所以P 是3維的單位矩陣。

（五）應(yīng)用Black-litterman模型獲取后驗(yàn)分布

應(yīng)用市場(chǎng)變量的black-litterman模型，結(jié)合組合管理人發(fā)表的觀點(diǎn)及其不確定性，得到市場(chǎng)變量的后驗(yàn)分布。要想得到后驗(yàn)分布，我們還需要計(jì)算出市場(chǎng)均衡情況下的隱含收益向量π和各行業(yè)指數(shù)超額收益率的3維協(xié)方差矩陣Σ。

矩陣Σ易得，為

其中λ為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。本文利用

國(guó)債占0.2152%，企債占2.5535%，股票占97.2313%。

有了上述π，Σ，v，Ω，P的數(shù)據(jù)，就可以代入（2.4）（2.5），通過(guò)matlab的實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的矩陣代數(shù)運(yùn)算可得到后驗(yàn)分布

（六）得出投資分配比例