隨機脈沖控制下超混沌復Lü系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性*

黃冬梅 徐偉 王 亮

(西北工業(yè)大學理學院應用數(shù)學系，西安 7 10072)

隨機脈沖控制下超混沌復Lü系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性*

黃冬梅?徐偉 王 亮

(西北工業(yè)大學理學院應用數(shù)學系，西安 7 10072)

基于脈沖微分方程的穩(wěn)定性理論，研究了具有隨機信號的脈沖作用下，超混沌復Lü系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性．給出了確定性和隨機脈沖作用下系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定的判據(jù)．并且提出了在等距脈沖間隔下，系統(tǒng)達到穩(wěn)定的區(qū)域估計值．通過數(shù)值算例，討論了確定性脈沖和隨機脈沖的異同點，并證實，此方法對于外界噪聲是比較穩(wěn)健的．

穩(wěn)定性， 脈沖控制， 超混沌復Lü系統(tǒng)， 噪聲

引言

1982年，F(xiàn)owler等［1］引入了復變量的 Lorenz系統(tǒng)，并討論了它在實際應用中的重要性［2］．除了著名的復Lorenz系統(tǒng)，2007年，Gamal M．Mahmoud等［3］引入了復Chen和Lü系統(tǒng)，并研究了它們的自適應控制和同步問題．

一個混沌吸引子如果至少有兩個正的李雅普諾夫指數(shù)即為一個超混沌吸引子．近30年，超混沌實變量動力系統(tǒng)已成為許多國內(nèi)外學者研究的對象，在許多重要領域如非線性電路、同步、脈沖控制和神經(jīng)網(wǎng)絡等方面都有研究，如文獻［4－6］．2009年，通過加狀態(tài)反饋控制器和引入復周期激勵，Mahmoud等構(gòu)造了新的超混沌復Lü系統(tǒng)［7］．

基于脈沖微分方程理論，確定性脈沖控制下實變量系統(tǒng)已經(jīng)有了很多研究成果，如文獻［8－13］．眾所周知現(xiàn)實生活中的系統(tǒng)總是或多或少受到各種隨機噪聲的影響的［14］，當然，對于脈沖控制的系統(tǒng)也不例外，因此研究隨機因素擾動的脈沖控制系統(tǒng)是十分必要的．近幾年，徐、王等人［15－16］討論了隨機脈沖作用下Lorenz和Liu系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性．但是，對于在隨機脈沖作用下超混沌復系統(tǒng)的研究，目前尚未見有文獻．本文以超混沌復Lü系統(tǒng)為例，給出了確定性和隨機脈沖作用下系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定的充分條件，并給出了確定性和隨機脈沖系統(tǒng)達到穩(wěn)定時穩(wěn)定區(qū)域的估計值，通過數(shù)值算例，證實了該方法的有效性與理論分析是一致的，同時說明此方法對于加性噪聲和乘性噪聲都是比較穩(wěn)健的．

1 脈沖微分方程的基本理論

令U(i，x)表示狀態(tài)變量在ti時刻的改變量，則有

考慮如下所示的一般動力系統(tǒng)［9－10］

一般地，假設x()=x(t)，U(i，x)=Bix，Bi是一個n×n矩陣，i=1，2，…，則在給定初始條件下，聯(lián)立方程(1)和(2)，就可得到一個脈沖微分系統(tǒng)，如下所示

2 脈沖控制下超混沌復Lü系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

取文獻［7］中提出的超混沌復Lü系統(tǒng)，其中一種形式如下:

其中x1=y1+iy2，x2=y3+iy4，x3=y5，x4=y6，則系統(tǒng)(4)對應的實變量系統(tǒng)可以用一個六維的實自治系統(tǒng)(5)來描述:

其中 θ1，θ2，θ3和 θ4是實系數(shù)．

當系數(shù)取值 θ1=42．0，θ2=25．0，θ3=6．0，θ4=10．0，根據(jù)文獻［7］，系統(tǒng)(5)有兩個正的李亞普諾夫指數(shù) λ1=2．7813，λ2=0．4068，因此系統(tǒng)有一個超混沌吸引子，如圖1所示．

圖1 超混沌復Lü系統(tǒng)的超混沌吸引子在三維空間的投影Fig．1 the projection of the chaotic attractors of the hyperchaotic complex Lü system in three－dimensional space

系統(tǒng)(5)也可以表示為如下形式:

其中y=(y1，y2，y3，y4，y5，y6)T，Ay和 Φ(y)分別為系統(tǒng)的線性和非線性項部分，即

像許多實變量系統(tǒng)［4－6，9－13］，此類復變量系統(tǒng)也會不可避免地受到脈沖的影響，因此，根據(jù)脈沖微分方程的基本理論，可以得到脈沖控制下的超混沌復Lü系統(tǒng)如下:

ti代表施加脈沖的時刻．

2．1 確定性脈沖控制下系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

定理1:設 λmax，βi是矩陣(A+AT)和(I+Bi)T(I+Bi)的最大特征值，P=max()，如果存在一個常數(shù)α＞1，

(i)當λmax+P≥0時，滿足

則確定性脈沖控制下系統(tǒng)(8)的原點是漸近穩(wěn)定的．

證明:設V(y)=yTy，則V(y)對時間t求導，可以得到

(ii)當λmax+P＜0時，滿足

由(9)和(10)，可以得到下列結(jié)果:

對于t∈(t0，t1］，

一般地，對于t∈(ti－1，ti］，

對于t∈(t2i－1，t2i］，

由方程(11)～(14)，可以看到確定性脈沖控制下系統(tǒng)(8)的原點是漸近穩(wěn)定的．

考慮到實際應用中控制器的可實現(xiàn)性與可操作性，脈沖間距和控制矩陣常選為常數(shù)，于是根據(jù)定理1可獲得如下結(jié)果．

推論1:設脈沖間隔ti+1－ti=τi=τ＞0，Bi=B，(i=1，2，…)，P=max()，λmax和 β 是矩陣(A+AT)和(I+Bi)T(I+Bi)的最大特征值，若存在α＞1滿足

則確定性脈沖控制下系統(tǒng)(8)的原點是漸近穩(wěn)定的．

2．2 隨機脈沖控制下系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性

如果Bi是一個隨機矩陣，則(I+Bi)T(I+Bi)的最大特征值βi仍是隨機變量．記~βi=E(βi)，這里E(·)表示對對應的隨機變量取數(shù)學期望．可得到如下結(jié)果．

注1:令隨機變量表示隨機矩陣(I+Bi)T(I+Bi)的最大特征值，β~i=E)，λmax是矩陣(A+AT)的最大特征值，若存在α＞1滿足

則隨機脈沖控制下系統(tǒng)(8)的原點是漸近穩(wěn)定的．

注2:脈沖間距τi和控制矩陣Bi(i=1，2，…)分別取為常數(shù)τ和B時，隨機變量表示隨機矩陣(I+B)T(I+B)的最大特征值，β~=E()，λmax是矩陣(A+AT)的最大特征值，若存在α＞1滿足

則隨機脈沖控制下系統(tǒng)(8)的原點是漸近穩(wěn)定的．

注1、注2的證明類似定理1，這里就不在闡述．

注3:定理1、推論1、注1、注2給出系統(tǒng)(8)原點漸近穩(wěn)定條件是充分的，而非必要的．也就是說，可能在某些情況下，定理1、推論1、注1和注2的條件并不滿足，然而系統(tǒng)(8)的原點仍然是漸近穩(wěn)定的．在后面的數(shù)值模擬中，將進一步直觀地闡述這種現(xiàn)象．

3 數(shù)值模擬

系統(tǒng)(5)的參數(shù)取值同2節(jié)，則有

此時A+AT的最大特征值為λmax=62．0778．

從圖1所示的超混沌吸引子，可以取P為45．0，則 λmax+P=107．0778．

取控制矩陣Bi=B=diag(K1，K2，K3，K4，K5，K6)，取K1=K2=K3=K4=K5=K6=K是一個隨機變量，對于加性噪聲的情形，K=k+σN;對于乘性噪聲的情形，K=k(1+σN)．此時N表示服從于標準正態(tài)分布的隨機噪聲，σ代表其強度，k為一個常數(shù)．

當σ=0時，系統(tǒng)(8)退化為確定性脈沖控制下的系統(tǒng)，可以得到βi=β=(K+1)2．當σ≠0時，若取加性噪聲，則有 β~=E()=(K+1)2+ σ2;若取乘性噪聲，則有 β~=E)=(K+1)2+(σK)2．根據(jù)推論1和注2，圖2給出了控制矩陣B中控制參數(shù)K變化時，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的等距脈沖間隔τ的估計區(qū)域．由圖2可以看出，兩個隨機脈沖控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域都比確定性脈沖控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域要小，也就是說不管是加性噪聲還是乘性噪聲，它們在某種程度上都會影響原確定性系統(tǒng)穩(wěn)定性．

圖2 脈沖控制下超混沌復Lü系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的估計Fig．2 The estimates of the asymptotic stable regions for the hyperchaotic complex Lü system under impulsive control

圖3 漸近穩(wěn)定結(jié)果(a)τ=0．02，σ=0．0;(b)(c)分別是 τ=0．02，σ =0．1 時加性噪聲和乘性噪聲的情形;(d)τ=0．025，σ =0．0Fig．3 Asymptotically stable results with(a)τ=0．02，σ =0．0;(b)(c)are τ=0．02，σ =0．1 with additive noise and multiplicative noise;(d)τ=0．025，σ =0．0

圖4 漸近穩(wěn)定結(jié)果 τ=0．025，σ=0．1(a)加性噪聲的情形;(b)乘性噪聲的情形Fig．4 Asymptotically stable results with τ=0．025，σ =0．1(a)with additive noise;(b)with multiplicative noise

圖5 不穩(wěn)定結(jié)果 τ =0．05，σ =0．1，(a)加性噪聲的情形;(b)乘性噪聲的情形Fig．5 Unstable results with τ=0．05，σ =0．1，(a)with additive noise;(b)with multiplicative noise

取K= －0．75，由(15)式 0≤τ≤0．0259;取噪聲強度σ=0．1，由(17)式，在加性噪聲下0≤τ≤0．0245，乘性噪聲下 0≤τ≤0．0251．取脈沖間隔 τ=0．02，圖 3(a)是在初始條件y=(1．0，2．0，3．0，4．0，5．0，6．0)T下確定性脈沖的控制結(jié)果，可以看到系統(tǒng)很快漸近穩(wěn)定到原點．圖3(b)(c)是在隨機脈沖控制下系統(tǒng)(8)的控制結(jié)果，從圖3可以看出，系統(tǒng)經(jīng)過短暫的波動會很快穩(wěn)定到原點，并且系統(tǒng)的運動性質(zhì)和確定性脈沖控制下相比，沒有發(fā)生本質(zhì)性的變化，也就是說，這種控制方法對于加性噪聲和乘性噪聲都是比較穩(wěn)健的．

取K= －1．3，此時，由(15)和(17)式可以得到等距脈沖間隔τ的最大值，對于確定性脈沖控制系統(tǒng)，τmax=0．0225，對于具有加性噪聲和乘性噪聲的隨機脈沖控制系統(tǒng)，τmax分別為 0．0215和0．0209，令 τ=0．025，即這時推論 1 和注 2 的條件是不滿足的，但是，此時系統(tǒng)卻是漸近穩(wěn)定的，如圖3(d)，圖4所示．

但是脈沖間隔也不能太大，當K=－1．3時取脈沖間隔τ=0．05，如圖5所示，系統(tǒng)很難達到漸近穩(wěn)定．即使可以達到穩(wěn)定狀態(tài)，也需要花費很長的時間，而且在達到穩(wěn)定之前，系統(tǒng)狀態(tài)變量會有較大大的波動．實際中，可能會給系統(tǒng)帶來一定的損害和影響，因此，盡管定理1、推論1中的條件是充分的，脈沖間隔仍然不能太大．

4 結(jié)論

針對近幾年提出的超混沌復Lü系統(tǒng)，利用脈沖微分方程理論，給出了確定性和隨機脈沖控制下系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定的一個充分條件;并給出了系統(tǒng)達到漸近穩(wěn)定時穩(wěn)定區(qū)域的估計值;模擬結(jié)果證實了，該方法的有效性與可行性，并進一步說明該方法對于加性噪聲和乘性噪聲都是穩(wěn)健的．雖然上述所做的各種數(shù)值模擬都是針對等距脈沖而進行的，但是，對于非等距脈沖的各種理論結(jié)果也應該是正確的．進一步的數(shù)值模擬還顯示，對于系統(tǒng)取其他參數(shù)或控制矩陣取其他形式時，由這種控制方法所得到的結(jié)論是同樣有效的．

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16 Wang L，Zhao R，Xu W，Zhang Y．Stochastic impulsive control for the stabilization of Lorenz system．Chinese Physics B，2011，20:020506

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172233，10932009)and NPU Foundation for Fundamental Research(JC20110228)

? Corresponding author E－mail:huangdongmei123@mail．nwpu．edu．cn

STOCHASTIC IMPULSIVE CONTROL FOR THE ASYMPTOTIC STABILIZATION OF HYPERCHAOTIC COMPLEX Lü SYSTEM*

Huang Dongmei?Xu WeiWang Liang
(Department of Applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi'an710072，China)

Based on the theory of impulsive differential equations，this paper studied the asymptotic stability of hyperchaotic complex Lü system under the stochastic impulsive signal．Some criteria were derived for the stabilization of the complex system via an impulsive method．And we also presented the estimate of the stable regions for the equal impulsive intervals．Numerical simulations demonstrated the effectiveness of the theoretical results and also showed that the method was robust against the noise．

stability， impulsive control， hyperchaotic complex Lü system， noise

30 June 2012，

22 July 2012．

10．6052/1672－6553－2013－048

2012－06－30 收到第 1 稿，2012－07－22 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(11172233，10932009)、西北工業(yè)大學基礎研究基金資助項目(JC20110228)

E－mail:huangdongmei123@mail．nwpu．edu．cn