運用伸縮變換求解兩個數學問題

安徽省旌德中學 趙忠華 （郵編：242600）

近期，《數學通報》問題解答欄目刊登了兩道涉及橢圓點共線問題，給出的答案均比較煩瑣，本文將用伸縮變換的方法給出比較簡單的證明.首先介紹一下伸縮變換的有關內容.

并且我們有以下結論［1］：

1.任何不同的兩點，只改變距離，不改變相對位置；

2.點分有向線段所成的比不變，特別是線段的中點依舊變?yōu)榫€段的中點；

3.兩條平行線仍舊平行，兩條相交直線仍舊相交，但交角改變；

4.點與曲線的相對位置關系不變；

5.直線與曲線相交、相切、相離的相對位置關系不變.

以下我們著手解決這兩個問題：

數 學 問 題 2077［2］橢 圓b2x2＋a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的外切 △ABC中，BC、CA、AB上的切點為D、E、F，過A作兩直線分別與OB、OC交于M、N，且k·k＝k·k＝－，則AMOBANOC MN落在△ABC中位線的位置上.如圖1：

圖1

我們只要在圖2中證明問題結論成立即可，而這很容易證明.

不妨設

A（xA，yA）、B（xB，yB）、M（xM，yM）、O（0，0）， 變 換 后A′（xA′、yA′），B′（xB′、yB′）、M′（xM′，yM′）、O′（0，0），則

圖2

所以kA′M′·kO′B′＝－1.

同理kA′N′·kO′C′＝－1.

因為kA′M′·kO′B′＝－1.所以A′M′⊥O′B′，所以 △A′M′B′? △H′M′B′，則點M′是A′H′的中點，同理點N′是A′G′的中點，M′N′／／B′C′，且M′N′落在 △A′B′C′中位線的位置上，于是MN落在△ABC中位線的位置上，命題得證.

圖3

圖4

從這兩個問題的證明可以看出，對于橢圓中有關共線點、共點線或比例問題，通過伸縮變換將橢圓問題轉換為圓中共線點、共點線或比例問題，可以輕松求解.

1 數學手冊編寫組.數學手冊［M］.北京：人民教育出版社，1979

2 數學問題解答2077［J］.數學通報，2012，8

3 數學問題解答2092［J］.數學通報，2012，12